第七章 粒子在电磁场中的运动.
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第七章 粒子在电磁场中的运动
§7.1 电磁场中荷电粒子的Schrdinger 方程 两类动量
一、荷电q 粒子在电磁场中的Newton 方程（经典描述） 质量μ，荷电q 的粒子在电磁场中运动，其经典Hamilton 为
φμq A c q P +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=H 2
21
A ：电磁矢势， φ：电磁标势， P
：正则动量。
将上式代入正则方程，有
P
Ηr ∂∂=.
,r ΗP .
∂∂-=
以x 分量为例，有
)(1.
x x x A c
q
P P H x -=∂∂=
μ φμx
q x A c q A c q P x H P i i i i x ∂∂
-∂∂-=∂∂-=∑=31.
)(1
第一式给出x x x x A c
q v A c q x P +=+
=
μμ.
A c
q v P +=∴μ
对于A c
q v P +=μ,P ：正则动量；v
μ：机械动量。
可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量并不相等。 将式)(1
.
x x A c q
P x -
=
μ
微分，得 （第二步：将φμx q x A c q A c q P P i i i i x ∂∂
-∂∂-=∑=3
1.
)
(1
代入）（.A 对t 微分） （第三步利用.i i i r A c
q
P μ=-） （利用),,(z y x A A x x =即t
z
z A t y y A t x x A t A A x x x x x ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=.
） （第四步重新组合）
[]
x
x x x x z y x x i i x i x
i i i x
i i i i x
i i i i x
x A c
q A t c q A z z A y y A x x x A z x A y x A x c q A t c x
q r A r t A c q x q x A r c q A c
q x q x A c q A c q P A c q x q x A c q A c q P A c q P x )(1111......31.
31..31.31.
.
..
⨯∇⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+∇-=⎥
⎦⎤∂∂-∂∂-∂∂
-⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=-∂∂-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∂∂-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑∑====νφφφφμφμμ 即[]
x x A c q A t c q x )(1..
⨯∇⨯+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+
∇-=νφμ 所以)1()(1..
B c E q A c
q A t c q r ⨯+=⨯∇⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+∇-=ννφμ 式中φ∇-∂∂-=A t c E
1→电场强度
A B
⨯∇=→磁场强度
上式即为荷电q 的粒子在电磁场中的Newton 方程。式中右边第二项即Lorentz 力，实践证明是正确的。
二、电磁场中荷电粒子的Schrödinger 方程
按照量子力学中的正则量子化程序，把正则动量P 换成算符P ˆ
，即
∇-=→ i P P ˆ
则电磁场中荷电q 粒子的Hamiltonian 算符可表为
φμq A c
q P +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=H ∧2
21ˆ 因而Schrödinger 方程可表为
ψφμψ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂
∧q A c q P t i 221 一般说来，P ˆ
，A 不对易，但A 是r 的函数，利用证明对易关系的一般方法可以证明
A i P A A P ⋅∇-=⋅-⋅∧∧
利用电磁波的横波条件0=⋅∇A
则上述第一方程可表为
ψφμμμψ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⋅-=∂∂q A c q P A c q P t i 22
222ˆ
ˆ21 三、讨论
1. 定域的几率守恒与流密度 将式
ψφμμμψ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⋅-=∂∂q A c q P A c q P t i 22
222ˆˆ21 取复共轭，注意到在坐标表象中P P ˆ
ˆ* -=，则
*2
2
22*2ˆ21ψφμμμψ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⋅+=∂∂-∧q A c q P A c q P t i ⨯*
ψ第1式－⨯ψ第2式，注意0=⋅∇A
，且2A 与φq 不是微分算符，得
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--⋅∇-=⋅--⋅=⋅+⋅--=∂∂∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ψψψψψψμψψμψψψψμψψψψμψψψψμψψA c q P P i A P c
q P P P P A P A c
q P P t i **
**
****
*22**2)(2)
()(21)(][21)( 令ψψρ*
=
)()ˆ(2
1)()(21)(21*********
*ψνψψνψψνψψψψψμψψμψψψψμ∧∧∧∧∧∧=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+-=--= e R A c q P A c q P A c
q P P j 式中⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
∇-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=∧∧
A c q
i A c
q
P
μμν11 为粒子的速度算符。代入前式