3平行线等分线段定理详解

l1 l2
图3
F
请同学们自己完成下面两图的证明
A B
A1 B1
l1 l2
A（A1） B C
图5
B1 C1
∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
l3
C
图4
C
1
l3
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其它直线上截 得的线段也相等。
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直 线上截得的线段相，那么在 其他直线上截得的线段 也相等.
a
b
图1
图2
练习
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3 ,AB=BC. 求证； A1B1=B1C1
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ABB1E和□BCFB1
l1 l2 l3
A1
B C
A
3 ？1
E
B1
？
证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于点E、F
2 4
C1
∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC,∴EB1=B1F. 又∠1=∠2，∠3=∠4
AB，O为CD中点，
D （2题） O A E C B
OA=AB
3）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，以AC、AD为边作 E 平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F， 求证：EF=BF 证明： （一）连接AE交CD于O （3题）
四边形ACED是平行四边形
OA=OE AB//DC EF=BF A
C B
D
N
C
A B
D E
l1 l2 F l 3
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。 Ｍ Ｄ Ａ Ｎ Ｅ
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线 ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于 点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
A F E D H C AF=1/3AC
BD=CD
DH//BF FH=CH 同理 AF=FH
B AF=FH=CH
2）如图 ，已知AC AB，DB 求证：OA=AB 证明：过O做OE AB于E AC AB DB AB OE AB AE=BE OE AB AC//OE//BD OC=OD
若BD=20，则EF= ——
2 已知：AB=AC，AD垂直BC于D，M是 AD的中点，CM交AB于P，DN ∥ CP， 若AB=6，则AP=—— 若PM=1，则PC=——
3 如图AB∥EM∥ BC，AE=ED，EF ∥ BC， 练 EF=12，则BC= —— 习
4 如图，已知：在梯形ABCD中， AD ∥BC，E是CD的中点，EF∥ BC交AB于F， FG ∥ BD交AD于G，求证：AG=DG
D1
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l3
l4
C
D
∴B1C1 =C1D1
思考：我们学过有关平行线 的哪些知识？
1 ）平行线的三线八角 2）平行线间的平行线段
。 。
已知：直线a//b//c,AB=BC. 求证：DE=EF D
分析过程： ＤＥ＝ＥＦ
a b c
A
G
ＥＧ＝ＥＨ
B
C H
E
F ＡＢ＝ＧＥ ＢＣ＝ＥＨ ＡＢ＝ＢＣ
Ａ A
Ｅ E
D
C O
F
（二）延长EC交AB于H
四边形ACED是平行四边形 AD=CE AD//CH AB//DC
B
H
CE=CH EF=BF
AD=CH
AB//DC
例 3：
证 明 如图，在三角形ABC中，在CA的延 长线上取一点D，使DA=1/2CA，E 为BC的中点，DE交AB于F，过F引 FG垂直于DE与CB的延长线交于G。 求证：GD=GE G
D
A F H
B
E
C
1已知：如图， △ABC中，E是AB中点， 1 练 EF∥BD，EG ∥ AC交BD于G，CD= AD， 2 习 若EG=5，则AC = ——
证明： 四边形ABCD是平行四边形 AD//BC AD=BC DF=1/2AD BE=1/2BC 四边形FDEB是平行四边形 BF//DE AF=DF
AH=HG 同理CG=HG
AH=HG=CG
练习题
1) 如图：AD是三角形ABC的中线， E为AD的中点， BE的延长线交 AC于F， 求证：AF=1/3AC （1题） 证明 ：（一）过D做DH//BF交AC于H
Ｄ D
Ｆ F
Ａ A
Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
Ｂ B
Ｃ C
推论１：
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB， DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点 F、G，则点F、G三等分AC ( )
D E B
A F G C
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、 A CD上若AM=BM、DN=CN 则 M AD∥MN∥BC ( ) 3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 的距离都相等，则这组平行线能等分线 段。 ( ) 4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么 AB=BC=DE=EF ( )
证明题
1、已知：如图，M、N分别为平行四边形ABCD 边AB、CD的中点．CM、AN分别交BD于点E、F． 求证：BE=EF=FD
平行四边形对边相等；一 组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 分析：1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
？
A F
M
？ E ？
B
D
N
C
例２：
如图，平行四边形ABCD中， BC与AD的中点分别为E、F， 且BF、DE、与对角线AC交于H、G。 求证：AH=HG=GC
练习
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 。 ∠ABC=90 M是CD的中点 求证：AM=BM
D M C
分析：过M点作ME∥AD交AB A 于点E B E 又∵在梯形ABCD中，MD= MC 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 ∴AE=EB 平行线等分线段定理 易证ME是AB的垂直平分线 及推论的基本图形。
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ， AB=BC.
l1 l2 l3
A B C
A1 B1 C1
∴ A1B1=B1C1
思考：
已知：直线l1∥l2∥l3∥l4 ，AB=BC=CD.
求证； A1B1=B1C1 =C1D1.
分析：
l1 l2
A
B
A1
？B1 ？C1 ？
∵直线l1∥l2∥l3 ,AB=BC. ∴A1B1=B1C1 ∵直线l2∥l3∥l4 ,BC=CD.