有理数的混合运算的方法与技巧

有理数混合运算的方法技巧

一、理解运算顺序

有理数混合运算的运算顺序：

①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；

有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1.计算：3＋50÷22×(5

1-)－1

②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.

例2.计算：()[]

232315.011--⨯⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⨯--

③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）；

例3：计算：⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

-38871278

7

4

31

二、应用四个原则：

1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。

2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。

3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。

4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：

(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和．

(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。

(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．

(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 例4.计算：-0.252÷(－12

)4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2

说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。

三、掌握运算技巧 （1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例 计算2+4+6+…+2000 （6）、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。

乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便.

（7）绝对值和偶次幂的非负性。

如，()0352

=+++b a ，求a-b 的值；又如，计算：

5

1

4131412131-+-+- 例5.计算：

(1) -321625 ÷(-8×4)+2.52

+(12 +23 －34 －1112 )×24

(2)(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－14

15

)

四、理解转化的思想方法

有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。

因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。

把所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化： 一是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；

二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法； 三是将乘方运算转化为积的形式．

若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了． 例6.计算：

（1）(-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9) (2)(-212 )÷114 ×(-4) (3)22+(2-5)×13 ×[1-(-5)2

]

五、会用三个概念的性质

如果a ．b 互为相反数，那么a+b=O ，a= -b ； 如果c ，d 互为倒数，那么cd=l ，c=1/d ； 如果|x|=a(a ＞0)，那么x=a 或-a.

例7. 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求x 2-(a+b+cd)x+(a+b)2016+(-cd)2017

的值

有理数的混合运算习题

一．选择题

1. 计算3

(25)-⨯=（ ）

A.1000

B.－1000

C.30

D.－30 2. 计算2

2

23(23)-⨯--⨯=( )

A.0

B.－54

C.－72

D.－18

3. 计算11(5)()555

⨯-÷-⨯= A.1 B.25 C.－5 D.35

4. 下列式子中正确的是（ ）

A.4

2

3

2(2)(2)-<-<- B. 3

4

2

(2)2(2)-<-<- C. 4

3

2

2(2)(2)-<-<-

D. 2

3

4

(2)(3)2-<-<- 5. 4

2

2(2)-÷-的结果是（ ）

A.4

B.－4

C.2

D.－2

6. 如果()0312

=++-b a ，那么

1b

a

+的值是（ ） A.－2

B.－3

C.－4

D.4

三.计算题

1. 2

(3)2--⨯ 2. 12411()()()23523

+-++-+-

3. 11

( 1.5)4 2.75(5)42

-+++- 4. 8(5)63-⨯--

5. 3

145()2

-⨯- 6. 25()()( 4.9)0.656

-+----

7. 2

2(10)5()5

-÷⨯- 8. 3

2

3(5)()5

-⨯-

9. 2

5(6)(4)(8)⨯---÷- 10. 1612()(2)472

⨯-÷-