《证明不等式的基本方法-反证法与放缩法》课件
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2.3反证法和放缩放
例1、已知x, y 0, 且x+ y >2.求证： 1 x 1 y , 中至少有一个小于2. y x
分析：要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不 够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2 等进行分类讨论，而从反面证明，则只需证明两个分式都不小于2是不可能的 即可.
综上所述，a>0.
同理可证，b>0, c 0.
所以，原命题成立.
例3、实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，
求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数， 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误， ∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设 1 x 1 y , 都小于2，即 1 x 2, 且 1 y 2 y x y x
x, y 0,
1 x 2 y, 且1 y 2x,
把上面两个不等式相加，得 2 x y 2( x y)
从而x y 2 这与已知条件x y 2矛盾.
ab
a
b
证明：因为0 a+b a b , 所以
ab 1 1 1 1 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b ab a 1 a b b 1 a b a 1 a b 1 b ab
上述过程中，我们证明了 1 a b 1 a b
例4、已知a,b,c, d R .求证： a b c d 1 2. abd bca cd b d a c
高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法课件新人教A版选修45
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2 设x>0,y>0,z>0,
求证 ������2 + ������������ + ������2 + ������2 + ������������ + ������2>x+y+z.
证明：因为 x>0,y>0,z>0,
所以 ������2 + ������������ &明命题“若p,则q”时,证明������ q假,进而得q为真. ( )
(2)若m>n>0,则
������
������
������ + 1 < ������ + 1
.
(
×
)
(3)命题“x,y都是偶数”的否定是“x,y都不是偶数”. ( × )
(4)若|a|<1,则|a+b|-|a-b|<2. ( )
������(1-������)
≤
������+(1-������) 2
,
������(1-������) ≤ ������+(21-������),
当且仅当 a=b=c=d=12时,等号成立,
∴������+(1-������)
2
>
1 2
,
������+(1-������) 2
>
1 2
,
������+(1-������) 2
1 2
+
13+…+
1
������<2
������(n∈N+)
成立.
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
z x 3 ＋(y＋ )＋(z＋ )＝ (x＋y＋z)． 2 2 2
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端
的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，
进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法， 利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正
[例 2]
2
已知实数 x、y、z 不全为零．求证：
2 2 2 2 2
3 x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x > (x＋ y＋ 2 z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方
后再用放缩法证明．
[证明] ＝ ≥
x2＋xy＋y2 y2 3 2 x＋ ＋ y 2 4 y2 x＋ 2
点击下图进入创新演练
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．
2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，
然后由 此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定
理、性质等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明 假设 不成立，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立； 假设不成立 ，从
(
)
B．a，b，c中至多有一个为0
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
[精讲详析]
本题考查放缩法在证明不等式中的应用，
解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不 能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放 大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk－1 kk＋1 1 1 1 1 1 即k－ ＜ 2＜ －k(k∈N*且 k≥2)． k＋1 k k－1 分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ， － ＜ 2＜ － ， 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n－n＋1＜n2＜n－1－n，将这些不等式相加得
于是有f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．
当a＜b时，－a＞－b，于是有f(a)<f(b)，f(－b)<f(－a)， ∴f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)与已知矛盾． ∴a<b.
[研一题] [例2] 实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1， 求证：a、b、c、d中至少有一个是负数． [精讲详析] 本题考查“至多”、“至少”型命题的证明方 法．解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得 出矛盾． 假设a、b、c、d都是非负数， 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误， ∴a、b、c、d中至少有一个是负数．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋…＋n－ ＜ 2＋ 2＋…＋ 2＜1－ 2 3 3 4 n 2 n＋1 2 3 1 1 1 1 ＋ － ＋…＋ － ， 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即 － ＜ ＋ ＋…＋ 2＜1－n， 2 n＋1 22 32 n 1 1 1 1 1 1 ∴1＋ － ＜1＋ 2＋ 2＋…＋ 2＜1＋1－n， 2 n＋1 2 3 n 3 1 1 1 1 1 即 － ＜1＋ 2 ＋ 2 ＋…＋ 2 ＜2－ n (n∈N* 且 2 n＋1 2 3 n n≥2)成立．
反证法与放缩法 课件
xn＝ 1＋k2kn2n＝n＋n 1，
yn＝kn(xn＋1)＝n
2n＋1 n＋1 .
(2)
11－ ＋xxnn＝
11－ ＋nn＋ ＋nn 11＝
2n1＋1，2n2－n 1
＝
2n4－n212＜
24nn－ 2－112＝
x1x3…x2n－1＝12×34×…×2n2－n 1
2n－1 2n＋1
＜ 13×53×…×22nn＋－11＝
分析：运用放缩法进行证明． 解析：(1)由题设得 a2＋ab＋b2＝a＋b， 于是(a＋b)2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，故 a＋b＞1. 又(a＋b)2＞4ab，而(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ＝a＋b＋ab＜a＋b＋a＋4b2，即34(a＋b)2＜a＋b， ∴a＋b＜43.∴1＜a＋b＜43.
所以 x2－x＋1≥34.
设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、
|f(3)|中至少有一个不小于
1 2
.
证明：(反证法)假设|f(1)|＜12，
|f(2)|＜12，|f(3)|＜12，
则有：－12＜1＋a＋b＜12①
－12＜4＋2a＋b＜12②
－12＜9＋3a＋b＜12③
①＋③得：－1＜10＋4a＋2b＜1
反证法与放缩法
1．反证法
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法．也 就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证 明不等式成立．但对于一些较复杂的不等式，有时很难 直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法．所谓 间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是 证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真， 以间接地达到目的．其中，反证法是间接证明的一种基 本方法．
则＝ay＋＋c2zbx－＋xa＋＋bxc＋＋2zy－b＋ay＋c x＋2yz－z
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适 当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母 放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小， 则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放 大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数 相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中
的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
[研一题]
[例1]
设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－
b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
[精讲详析]
本题考查反证法的应用．解答本题若采用
直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手 解决．
假设 4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1， 4d(1－a) ＞1，则有 1 1 a(1－b)＞ ，b(1－c)＞ ， 4 4 1 1 c(1－d)＞ ，d(1－a)＞ . 4 4 1 1 ∴ a1－b＞ ， b1－c＞ ， 2 2 1 1 c1－d＞ ， d1－a＞ . 2 2 a＋1－b b＋1－c 又∵ a1－b≤ ， b1－c≤ ， 2 2
[读教材· 填要点] 1．反证法 先假设 要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得 到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明 假设 不正确，从而证明原命题成立，我 们称这种证明问题的方法为反证法． 2．放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法 称为放缩法．
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反证法与放缩法 课件
【例 2】 设 x，y，z 满足 x＋y＋z＝a(a>0)，x2＋y2＋z2＝12 a2.求证：x，y，z 都不能是负数或大于23a 的数．
【分析】 本题结论中含有都不是，从语言上来判断可以 用反证法．
【证明】 (1)假设 x，y，z 中有负数， 若 x，y，z 中有一个负数，不妨设 x<0， 则 y2＋z2≥12(y＋z)2＝12(a－x)2， 又∵y2＋z2＝12a2－x2， ∴12a2－x2≥12(a－x)2. 即32x2－ax≤0，这与 a>0，x<0 矛盾． 若 x，y，z 中有两个是负数，不妨设 x<0，y<0，
【分析】 待证不等式中，左边是三个根式的和，且根式 内的式子不是完全平方式．用前面的几种方法难以奏效，故考 虑对根式内的式子进行放缩．
【证明】
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2≥
x＋2y2
＝|x＋2y|≥x＋2y.
同理 y2＋yz＋z2≥y＋2z，
z2＋zx＋x2≥z＋2x.
由于 x，y，z 不全为零，故上面三个式子中至少有一个式
【变式训练 1】 若假设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数， 求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能 都大于 1.
证明 假设 4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大 于 1，则 a(1－b)>14，b(1－c)>14，c(1－d)>14，d(1－a)>14.
例
如：n12<nn1－1
＝
n－1 1－1n
，n12>
1 nn＋1
＝1n－
1 n＋1
；
1 n
>
反证法与放缩法课件
又因为 S＝1＋1×1 2＋…＋1×2×31×…×n>1.故选 C. 答案：C
5．令
P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n，Q＝
n，则 P 与 Q 的大小
关系是________．
解析：P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1≥ n
1＋ n
1 ＋…＋ n
1＝ n
n＝ n
n，当且仅当 n＝1 时取等号，∴P≥Q.
b，c 中至少有一个不大于1；④a，b，c 中至少有一个不小于1.
3
4
其中正确说法的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：∵实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，则在①②中，当 a＝b＝c＝13时，满足 a＋b＋c＝1，所以命题不正确；对于③中， 假设 a，b，c 三个数都大于13，则 a＋b＋c>1，这与已知条件是 矛盾的，所以假设不成立，则 a，b，c 中至少有一个不大于13， 所以③是正确的；对于④中，假设 a，b，c 三个数都小于14，则 a＋b＋c<1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则 a， b，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．
反证法与放缩法
1．反证法 先假设要证的___命__题__不__成__立___，以此为出发点，结合已知 条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得 到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实 等)__矛__盾__的__结__论____，以说明假设不正确，从而证明原命题成立， 这种方法称为反证法．
命题的结论．
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③
解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条
5．令
P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n，Q＝
n，则 P 与 Q 的大小
关系是________．
解析：P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1≥ n
1＋ n
1 ＋…＋ n
1＝ n
n＝ n
n，当且仅当 n＝1 时取等号，∴P≥Q.
b，c 中至少有一个不大于1；④a，b，c 中至少有一个不小于1.
3
4
其中正确说法的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：∵实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，则在①②中，当 a＝b＝c＝13时，满足 a＋b＋c＝1，所以命题不正确；对于③中， 假设 a，b，c 三个数都大于13，则 a＋b＋c>1，这与已知条件是 矛盾的，所以假设不成立，则 a，b，c 中至少有一个不大于13， 所以③是正确的；对于④中，假设 a，b，c 三个数都小于14，则 a＋b＋c<1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则 a， b，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．
反证法与放缩法
1．反证法 先假设要证的___命__题__不__成__立___，以此为出发点，结合已知 条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得 到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实 等)__矛__盾__的__结__论____，以说明假设不正确，从而证明原命题成立， 这种方法称为反证法．
命题的结论．
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③
解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条
三反证法与放缩法课件4
常见 词语
否定 假设
至少有 一个
一个也 没有
至多 有 一个
有两 个或 两个 以上
唯一 一个
没有或 有 两个或 两个以 上
不 是
不存在
是
有或 存在
全 都是
不 不都 全是
利用反证法证明不等式
△ABC 的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求 证：∠B ＜90°.
【思路探究】 本题中的条件是三边间的关系 b2＝ 1a＋ 1c，而要证明的是∠ B 与90°的大小关系．结论与条件之间的 关系不明显，考虑用反证法证明．
两式相加， 得2＋x＋y≥2x＋2y， 所以x＋y≤2， 这与已知条件x＋y>2 矛盾，
1＋x 1＋y 因此 y <2和 x <2中至少有一个成立.
实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：
a、b、c、d中至多有三个是非负数． 【证明】 a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少
有一个是负数，故有假设 a、b、c、d都是非负数． 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误， 故a、b、c、d中至少有一个是负数．即 a，b，c，d中至多有三个是非负数．
这与已知矛盾， 故只有a＋b≥0. 逆命题得证．
利用反证法证“至多”、“至少”、 “唯一”型命题
已知f(x)＝x2＋px＋q，求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)f|(1)、| |f(2)、| |f(3)中| 至少有一个不小于12.
【思路探究】 (1)把f(1)、f(2)、f(3)代入函数f(x)求值推 算可得结论．
反证法与放缩法 课件
证明：证法一 假设三式同时大于14，
即有(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14. 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞614. 又(1－a)a≤1－2a＋a2＝14，
同理，(1－b)b≤14，(1－c)c≤14，
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614，与假设矛盾．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．
第二步，做出与所证不等式__相__反____的假定．
第三步，从_条__件__和__假__定___出发，应用正确的推理方法， 推出______矛__盾结果．
第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假 定_不__正__确___，于是原证不等式___成__立___．
∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于14.
证法二 假设三式同时大于14.
∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
－a
2
＋b≥
－a
b＞ 41＝12.
－b ＋c －c ＋a
1
同理
2
，
2
都大于2.
33 三式相加，得2＞2，此式矛盾，
∴原命题成立．
1．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.
分析：a＋b≤2 的反面是 a＋b>2，用反证法证． 证法一 假设 a＋b>2，
题型二 放缩法证明不等式
例 2 求证：23－n＋1 1<1＋212＋…＋n12<2－n1(n∈N*，且 n≥2)．
分析：欲证的式子中间是一个和的形式，但我们还
不能利用求和公式或其他办法求，可以将分母适当放大
或缩小成可以求和的形式，进而求和，最后证得该不等
即有(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14. 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞614. 又(1－a)a≤1－2a＋a2＝14，
同理，(1－b)b≤14，(1－c)c≤14，
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614，与假设矛盾．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．
第二步，做出与所证不等式__相__反____的假定．
第三步，从_条__件__和__假__定___出发，应用正确的推理方法， 推出______矛__盾结果．
第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假 定_不__正__确___，于是原证不等式___成__立___．
∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于14.
证法二 假设三式同时大于14.
∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
－a
2
＋b≥
－a
b＞ 41＝12.
－b ＋c －c ＋a
1
同理
2
，
2
都大于2.
33 三式相加，得2＞2，此式矛盾，
∴原命题成立．
1．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.
分析：a＋b≤2 的反面是 a＋b>2，用反证法证． 证法一 假设 a＋b>2，
题型二 放缩法证明不等式
例 2 求证：23－n＋1 1<1＋212＋…＋n12<2－n1(n∈N*，且 n≥2)．
分析：欲证的式子中间是一个和的形式，但我们还
不能利用求和公式或其他办法求，可以将分母适当放大
或缩小成可以求和的形式，进而求和，最后证得该不等
2014年人教A版选修4-5课件 3.反证法与放缩法
例2. 已知 a, b, c 为实数, a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0, 求证: a>0, b>0, c>0. 证明: 假设 a, b, c 不全大于 0, 若 a=0, 则 abc=0, 与已知 abc>0 矛盾; 若 a<0, 则由 abc>0 得 bc<0, ① 又由 ab+bc+ca>0 得, bc>-ab-ca, ② 由①②得 ab+ca>0, (比较课本解法, 即 a(b+c)>0, 有什么区别) b+c<0, ∵ a<0, 于是得 a+b+c<0, 这与已知 a+b+c>0 矛盾. 因此 a≤0 不成立. 同理可得 b≤0 不成立, c≤0 不成立. ∴原命题成立.
③ 如果前两个分数变为同分母 a+b, 则两个分 数相加和为 1, 后两个又如此得和为 1, 于是靠近右 边目标; ④ 分母减少一个正数, 分数增大, 进行放缩得 同分母.
例3. 已知 a, b, c, dR+, 求证 a c 1 + b + + d 2. a + b+ d b+ c+ a c+ d + b d + a + c 证明: ∵ a, b, c, dR+, a a a , a + b+ c + d a + b+ d a + b b b b , a + b+ c + d b+ c + a a + b c c c , a + b+ c + d c + d + b c + d d d d , a + b+ c + d d + a + c c + d 四个同向不等式相加即得 1 a + b + c + d 2. a + b+ d b+ c + a c + d + b d + a + c
2019_2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法3反证法与放缩法课件新人教A版选修4_5
如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 C [假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与 已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．]
教材整理 2 放缩法 阅读教材 P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题． 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ， 简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
第二讲 证明不等式的基本方法
三 反证法与放缩法
学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2.了解放 缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)
自主预习 探新知
教材整理 1 反证法 阅读教材 P26～P27“例 2”及以上部分，完成下列问题． 先假设 要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条件，应 用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和 命题的条件 (或 已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾 的结论，以说明假设 不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证 法．
则 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)， 而 a3＋b3＝2，故 a2－ab＋b2<1， ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而 ab<1， ∴a2＋b2<1＋ab<2， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4， ∴a＋b<2. 这与假设矛盾，故 a＋b≤2.
否定假设
没有或有 不
有两个或两
一个也没有
两个或两 是个以上个以上Fra bibliotek不存在
不全 不都是
【例 3】 已知△ABC 的三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求 证：∠B＜90°.
2020版高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法课件新人教A版选修4_5
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典例透析
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】
已知
a>0,b&g
1+������ ������
,
1+������ ������
中至少有一个小于 2.
证明：假设
1+������ ������
,
1+������ ������
都不小于2,则
1+������ ������≥2,
题型一 题型二 题型三
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典例透析
题型三
易错辨析
易错点 证明不等式时放缩不当致错
【例 4】 已知实数 x,y,z 不全为零.求证:
������2 + ������������ + ������2 +
������2 + ������������ + ������2 +
������2
题型二 题型三
题型一 利用反证法证明不等式
【例1】 若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2. 证法二：假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6. 故ab(a+b)>2. ∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0. 这不可能,故a+b≤2.
《证明不等式的基本方法-反证法与放缩法》课件
5
例2 已知a, b, c为实数 , a b c 0, ab bc ca 0, abc 0, 求证: a 0, b 0, c 0.
证明 : 假设a , b, c不全是正数, 即其中至少有一个不是 正数, 不妨先设a 0, 下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0, 则abc 0, 与abc 0矛盾, a 0不可能. ( 2)如果a 0, 那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0, 于是ab bc ca a (b c ) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0, 同理可证b 0, c 0, 所以原命题成立.
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课堂小结
• 证明不等式的特殊方法: • （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 • 适当的放缩实现证明的方法。 • （2）反证法：先假设结论的否命题成立， • 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 • 论成立的方法。
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2
7
放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。
8
• • • •
例4 已知a, b, c, d R ,求证 a b c d 1 2 a bd bca cd b d a c
4
例1 已 知x , y 0, 且x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1 x 1 y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x
例2 已知a, b, c为实数 , a b c 0, ab bc ca 0, abc 0, 求证: a 0, b 0, c 0.
证明 : 假设a , b, c不全是正数, 即其中至少有一个不是 正数, 不妨先设a 0, 下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0, 则abc 0, 与abc 0矛盾, a 0不可能. ( 2)如果a 0, 那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0, 于是ab bc ca a (b c ) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0, 同理可证b 0, c 0, 所以原命题成立.
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课堂小结
• 证明不等式的特殊方法: • （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 • 适当的放缩实现证明的方法。 • （2）反证法：先假设结论的否命题成立， • 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 • 论成立的方法。
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放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。
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例4 已知a, b, c, d R ,求证 a b c d 1 2 a bd bca cd b d a c
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例1 已 知x , y 0, 且x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1 x 1 y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x
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例1 已 知x , y 0, 且x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1 x 1 y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x
1 x 1 y 即 2, 且 2, y x x , y 0, 1 x 2 y , 1 y 2 x , 2 x y 2( x y ) x y 2, 这与已知条件x y 2矛盾. 1 x 1 y 与 中至少有一个小于2 y x
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放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小, 寻找一个 中间量, 如将A放大成C , 即A C , 后证C B .常用的 放缩技巧有 : (1)舍掉(或加进)一些项; ( 2)在分式中放大或缩小分 子或分母; ( 3)应用基本不等式进行放 缩 .如 1 2 3 1 2 ① (a ) (a ) ; 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ② 2 , 2 , , k ( k 1) k k ( k 1) k k k 1 k 1 2 (以上k 2且k N ) k k k 1 13
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放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。
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例4 已知a, b, c, d R ,求证 a b c d 1 2 a bd bca cd b d a c
不等式的证明
2.3《证明不等式的 基本方法--反证法与放缩法》
2
复习
• 不等式证明的常用方法: • 比较法、综合法、分析法
3
三、反证法与放缩法
1.什么是反证法？ 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明. 2.反证法主要适用于什么情形？ (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.
• 练习：若p>0,q>0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤2
6
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a, 不可能同时大于1/4
证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4,
(1 c)a>1/4,
则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 1 64
证明 : a , b, c , d 0, a a a abcd abd a b b b b abcd bca a b c c c abcd cd b cd d d d abcd d ac c d
9
把以上四个不等式相加 得 abcd a b c d abcd abd bca cbd d ac ab cd . 即 ab cd a b c d 1 2 abd bca cba d ac
a 2 3 2 (b ) a 2 4
a 2 (b ) 2 abc
2 2 2
a 2 (c ) 2
练习：已知实数x, y, z不全为零，求证： 3 11 x xy y y yz z z zx x ( x y z ) 2
2 2 2
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例2 已知a, b, c为实数 , a b c 0, ab bc ca 0, abc 0, 求证: a 0, b 0, c 0.
证明 : 假设a , b, c不全是正数, 即其中至少有一个不是 正数, 不妨先设a 0, 下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0, 则abc 0, 与abc 0矛盾, a 0不可能. ( 2)如果a 0, 那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0, 于是ab bc ca a (b c ) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0, 同理可证b 0, c 0, 所以原命题成立.
ab 1 a b a 1 a b 1 b
练习: 已知a, b是实数c∈ R ，求证：
a ab b a ac c a b c
2 2 2 2
略 解
a 2 ab b 2
a 2 ac c 2 a 2 3 2 (c ) a 2 4
又∵0 < a, b, c < 1
①
1 以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 64 与①矛盾∴结论成立
1 1 ( 1 b ) b (1 c ) c 同理： 4 4
1 (1 a ) a ∴0 (1 a )a 2 4
补充练习题:
1.已 知ABC的 三 边 长 是 a , b, c , 且m为 正 数 , a b c 求 证: am bm cm
x m 证明 : 设函数f ( x ) 1 ( x 0, m 0), xm xm 易知f ( x )在( 0,)上是增函数. a b a b f (a ) f (b) am bm abm abm ab f (a b) abm c 又a b c , f (a b ) f ( c ) cm a b c am bm cm
例6：求证： 1 1 1 * 2（ n+1-1）<1+ ... 2 n (n n ) 2 3 n
1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 1
1 1 1 1 2 3 n 2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
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课堂小结
• 证明不等式的特殊方法: • （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 • 适当的放缩实现证明的方法。 • （2）反证法：先假设结论的否命题成立， • 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 • 论成立的方法。
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例1 已 知x , y 0, 且x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1 x 1 y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x
1 x 1 y 即 2, 且 2, y x x , y 0, 1 x 2 y , 1 y 2 x , 2 x y 2( x y ) x y 2, 这与已知条件x y 2矛盾. 1 x 1 y 与 中至少有一个小于2 y x
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放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小, 寻找一个 中间量, 如将A放大成C , 即A C , 后证C B .常用的 放缩技巧有 : (1)舍掉(或加进)一些项; ( 2)在分式中放大或缩小分 子或分母; ( 3)应用基本不等式进行放 缩 .如 1 2 3 1 2 ① (a ) (a ) ; 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ② 2 , 2 , , k ( k 1) k k ( k 1) k k k 1 k 1 2 (以上k 2且k N ) k k k 1 13
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放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。
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• • • •
例4 已知a, b, c, d R ,求证 a b c d 1 2 a bd bca cd b d a c
不等式的证明
2.3《证明不等式的 基本方法--反证法与放缩法》
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复习
• 不等式证明的常用方法: • 比较法、综合法、分析法
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三、反证法与放缩法
1.什么是反证法？ 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明. 2.反证法主要适用于什么情形？ (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.
• 练习：若p>0,q>0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤2
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例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a, 不可能同时大于1/4
证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4,
(1 c)a>1/4,
则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 1 64
证明 : a , b, c , d 0, a a a abcd abd a b b b b abcd bca a b c c c abcd cd b cd d d d abcd d ac c d
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把以上四个不等式相加 得 abcd a b c d abcd abd bca cbd d ac ab cd . 即 ab cd a b c d 1 2 abd bca cba d ac
a 2 3 2 (b ) a 2 4
a 2 (b ) 2 abc
2 2 2
a 2 (c ) 2
练习：已知实数x, y, z不全为零，求证： 3 11 x xy y y yz z z zx x ( x y z ) 2
2 2 2
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例2 已知a, b, c为实数 , a b c 0, ab bc ca 0, abc 0, 求证: a 0, b 0, c 0.
证明 : 假设a , b, c不全是正数, 即其中至少有一个不是 正数, 不妨先设a 0, 下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0, 则abc 0, 与abc 0矛盾, a 0不可能. ( 2)如果a 0, 那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0, 于是ab bc ca a (b c ) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0, 同理可证b 0, c 0, 所以原命题成立.
ab 1 a b a 1 a b 1 b
练习: 已知a, b是实数c∈ R ，求证：
a ab b a ac c a b c
2 2 2 2
略 解
a 2 ab b 2
a 2 ac c 2 a 2 3 2 (c ) a 2 4
又∵0 < a, b, c < 1
①
1 以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 64 与①矛盾∴结论成立
1 1 ( 1 b ) b (1 c ) c 同理： 4 4
1 (1 a ) a ∴0 (1 a )a 2 4
补充练习题:
1.已 知ABC的 三 边 长 是 a , b, c , 且m为 正 数 , a b c 求 证: am bm cm
x m 证明 : 设函数f ( x ) 1 ( x 0, m 0), xm xm 易知f ( x )在( 0,)上是增函数. a b a b f (a ) f (b) am bm abm abm ab f (a b) abm c 又a b c , f (a b ) f ( c ) cm a b c am bm cm
例6：求证： 1 1 1 * 2（ n+1-1）<1+ ... 2 n (n n ) 2 3 n
1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 1
1 1 1 1 2 3 n 2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
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课堂小结
• 证明不等式的特殊方法: • （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 • 适当的放缩实现证明的方法。 • （2）反证法：先假设结论的否命题成立， • 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 • 论成立的方法。
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