人教版初中数学专题复习分式知识点和典型例习题

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第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】

【思想方法】 1.转化思想

转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等. 2.建模思想

本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义. 3.类比法

本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c

a a a a

±±=≠

2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da

a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠;

3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd

a d a c ac

÷=•=

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a

m

a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m -n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m

= a m

b n

, (a m

)

n

= a

mn

7.负指数幂: a

-p

=

1p

a a 0

=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a

2

- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

(一)、分式定义及有关题型

题型一:考查分式的定义

【例1】下列代数式中:y

x y

x y x y x b a b a y x x -++-+--1

,

,,21,22π,是分式的有: .

题型二:考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时,下列分式有意义

(1)

44+-x x (2)232+x x (3)122-x (4)3||6--x x

(5)x

x 11-

题型三:考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1)3

1

+-x x

(2)

4

2

||2

--x x (3)

6

53222----x x x x

题型四:考查分式的值为正、负的条件

【例4】(1)当x 为何值时,分式

x

-84

为正; (2)当x 为何值时,分式2

)1(35-+-x x 为负;

(3)当x 为何值时,分式

3

2

+-x x 为非负数. 练习:

1.当x 取何值时,下列分式有意义:

(1)

3

||61

-x

(2)

1

)1(32++-x x (3)

x

111+

2.当x 为何值时,下列分式的值为零:

(1)4

|1|5+--x x

(2)

5

62522+--x x x

3.解下列不等式 (1)

01

2

||≤+-x x (2)

03

252>+++x x x

(二)分式的基本性质及有关题型

1.分式的基本性质:

M

B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=

2.分式的变号法则:

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.

(1)y x y

x 4

1313221+- (2)

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二:分数的系数变号

【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

(1)y x y

x --+- (2)b a a --- (3)b a ---

题型三:化简求值题

【例3】已知:511=+y x ,求y

xy x y

xy x +++-2232的值.

提示:整体代入,①xy y x 3=+,②转化出y

x 1

1+. 【例4】已知:21=-

x x ,求2

21

x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ,求

y

x 241

-的值.

练习:

1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

(1)

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

(2)b a b

a 10

141534.0-+ 2.已知:31=+x x ,求1

242

++x x x 的值.

3.已知:

311=-b a ,求a

ab b b ab a ---+232的值. 4.若0106222=+-++b b a a ,求b

a b

a 532+-的值.

5.如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---.

(三)分式的运算

1.确定最简公分母的方法:

①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

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