流体力学第五章(理想不可压缩流体的平面势流)
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流体力学
—— 理想不可压缩流体的
平面势流
内容
¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质 ¾ 平面流动及其流函 ¾ 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 ¾ 基本的平面有势流动 ¾ 有势流动叠加
基本方程组，边界条件及初始条件 理想不可压缩流动的基本方程组是
运动方程
边界条件 ¾ 在静止壁面上，un = 0
¾ 静止固壁上 ¾ 自由面上： ¾ 无穷远处：
P = Pa
对无旋流得到几个方面的简化
连续性方程化为一个线性二阶偏微分方程----拉普拉斯方程、 对这个方程的性质及解已经研究得很清楚了。运动方程由原 来的微分方程积分结果变为一个有限关系式 方程组由四个变成两个，未知数也由四个变成两个φ与P 原来ui , P互相影响必须联解，现可分别求出 φ与P，即先由 拉普拉斯方程求出 φ ，再由拉格朗日积分或伯努利积分式 中求出P来
只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得： 速度势函数的性质我们已经讨论过了
流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：
若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为
称为流函数
知道了流函数 与流速ux ，uy 之间的关系之后
在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置
有关。因而势函数为单值函数。 在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量
势函数 为多值函数。速度势函数及无旋运来自的性质(已作介绍)内容
¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质 ¾ 平面流动及其流函数 ¾ 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 ¾ 基本的平面有势流动 ¾ 有势流动叠加
将其代入连续性方程可得
即 在直角坐标系中有
一个线性的二阶偏微分方程 (拉普拉斯方程) 线性方程的一个优点是解的可叠加性
再看运动方程，因为流体是理想不可压缩的，重力有势且运动 是无旋可得：
——— 拉格朗日积分
对于定常流： 则由伯努利方程
得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：
初始条件
t=t0时
边界条件
这些简化了方程的非线性，但也使方程从原来的一阶升至二阶
理想不可压缩流体无旋运动的适用范围
理想 不可压缩 无旋运动
粘性力比其它类型的力小得多 通常条件下运动的的流体及低速运动的气体 理想正压流体、外力有势条件下，从静止或无旋 状态启动的不定常运动及无穷远处均匀来流的定 常连续绕流问题
内容
¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质 ¾ 平面流动及其流函 ¾ 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 ¾ 基本的平面有势流动 ¾ 有势流动叠加
jur
+
∂ϕ ∂z
kur
=
∇ϕ
势函数的性质
（1）流线与等势面垂直
证：令 元线段
duϕusr(x，du,usry上,的z )速度= 为coVrn,s求t两为者等点势积面，在其上任取一微
ur uur r r r r r r
V ⋅ ds = (ui + v j + wk) ⋅ (dxi + dy j + dzk)
= udx + vdy + wdz
= ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dz
∂x ∂y ∂z
= dϕ
r
ϕ =c V
duusr
在等势面上，ϕ = c 故
dϕ = 0
即
ur uur V ⋅ ds = 0
速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等 势面垂直。
2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的 分量
柱坐标
Vr
=
∂ϕ ∂r
Vθ
=
1
r
∂ϕ ∂θ
Vz
=
∂ϕ ∂z
把 ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。故理想流体无旋流也称势流
用势函数表示速度矢量：
Vr = uir + v jur + w kur
=
∂ϕ ∂x
ir
+
∂ϕ ∂y
平面流动及其流函数
平面问题是指
流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即
适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。 如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等
研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为
• 若 已知，可由
求出流速场
• 若 ux ，uy 已知，可用积分
速度势与流函数 平面流动
垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动
速度势函数 速度势函数存在的条件
∂w ∂y
−
∂v ∂z
=0
∂u ∂z
−
∂w ∂x
=0
∂v ∂x
−
∂u ∂y
=
0
此条件称 柯西—黎曼条件
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使
速度势函数及无旋运动的性质
在无旋流中有 若已知函数 ，则可求出 若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数
上式中 为任意常数，因此 的值相对于不同的 Mo点可
以差一个 ，
为某一常数，但并不影响流动的实
质，因为当求流动的特征量ui , P时，常数的差别便消失不
见了，所谓的结果完全一样
φ涉及到单值和多值问题
∂ϕ
∂l
= Vl
3）φ与Γ之间的关系
∫ ΓAB
=
B udx + vdy + wdz
A
=
B
∫A
∂ϕ dx ∂x
+
∂ϕ dy ∂y
+
∂ϕ dz ∂z
∫=
B dϕ
A
=
ϕB
− ϕA
由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端 点势函数的差，与曲线的形状无关
在其切线方向上的速度 ¾ 在自由面上，P=Pa , Pa为大气压强。 ¾ 对绕流问题而言，还要加上无穷远处的边界条件
方程内组容为四个一阶非线性偏微分方程，确定流速（u,v,w）和 压力P，理论上可解，但实际求解是非常困难的，因为ui与P交 错在一起，不能单独求出，且方程为非线性
若流动为无旋问题，可以得到简化，由于流动是无旋的，必 存在速度势函数φ，使得
udx + vdy + wdz 成为某一个函数 ϕ(x ,y ,z,t )
全微分的充要条件，即
d ϕ = udx + vdy + wdz
而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为
dϕ
=
∂ϕ dx ∂x
+
∂ϕ dy ∂y
+
∂ϕ dz ∂z
比较两式有
u
=
∂ϕ ∂x
v
=
∂ϕ ∂y
w
=
∂ϕ ∂z
—— 理想不可压缩流体的
平面势流
内容
¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质 ¾ 平面流动及其流函 ¾ 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 ¾ 基本的平面有势流动 ¾ 有势流动叠加
基本方程组，边界条件及初始条件 理想不可压缩流动的基本方程组是
运动方程
边界条件 ¾ 在静止壁面上，un = 0
¾ 静止固壁上 ¾ 自由面上： ¾ 无穷远处：
P = Pa
对无旋流得到几个方面的简化
连续性方程化为一个线性二阶偏微分方程----拉普拉斯方程、 对这个方程的性质及解已经研究得很清楚了。运动方程由原 来的微分方程积分结果变为一个有限关系式 方程组由四个变成两个，未知数也由四个变成两个φ与P 原来ui , P互相影响必须联解，现可分别求出 φ与P，即先由 拉普拉斯方程求出 φ ，再由拉格朗日积分或伯努利积分式 中求出P来
只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得： 速度势函数的性质我们已经讨论过了
流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：
若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为
称为流函数
知道了流函数 与流速ux ，uy 之间的关系之后
在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置
有关。因而势函数为单值函数。 在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量
势函数 为多值函数。速度势函数及无旋运来自的性质(已作介绍)内容
¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质 ¾ 平面流动及其流函数 ¾ 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 ¾ 基本的平面有势流动 ¾ 有势流动叠加
将其代入连续性方程可得
即 在直角坐标系中有
一个线性的二阶偏微分方程 (拉普拉斯方程) 线性方程的一个优点是解的可叠加性
再看运动方程，因为流体是理想不可压缩的，重力有势且运动 是无旋可得：
——— 拉格朗日积分
对于定常流： 则由伯努利方程
得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：
初始条件
t=t0时
边界条件
这些简化了方程的非线性，但也使方程从原来的一阶升至二阶
理想不可压缩流体无旋运动的适用范围
理想 不可压缩 无旋运动
粘性力比其它类型的力小得多 通常条件下运动的的流体及低速运动的气体 理想正压流体、外力有势条件下，从静止或无旋 状态启动的不定常运动及无穷远处均匀来流的定 常连续绕流问题
内容
¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质 ¾ 平面流动及其流函 ¾ 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 ¾ 基本的平面有势流动 ¾ 有势流动叠加
jur
+
∂ϕ ∂z
kur
=
∇ϕ
势函数的性质
（1）流线与等势面垂直
证：令 元线段
duϕusr(x，du,usry上,的z )速度= 为coVrn,s求t两为者等点势积面，在其上任取一微
ur uur r r r r r r
V ⋅ ds = (ui + v j + wk) ⋅ (dxi + dy j + dzk)
= udx + vdy + wdz
= ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dz
∂x ∂y ∂z
= dϕ
r
ϕ =c V
duusr
在等势面上，ϕ = c 故
dϕ = 0
即
ur uur V ⋅ ds = 0
速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等 势面垂直。
2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的 分量
柱坐标
Vr
=
∂ϕ ∂r
Vθ
=
1
r
∂ϕ ∂θ
Vz
=
∂ϕ ∂z
把 ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。故理想流体无旋流也称势流
用势函数表示速度矢量：
Vr = uir + v jur + w kur
=
∂ϕ ∂x
ir
+
∂ϕ ∂y
平面流动及其流函数
平面问题是指
流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即
适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。 如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等
研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为
• 若 已知，可由
求出流速场
• 若 ux ，uy 已知，可用积分
速度势与流函数 平面流动
垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动
速度势函数 速度势函数存在的条件
∂w ∂y
−
∂v ∂z
=0
∂u ∂z
−
∂w ∂x
=0
∂v ∂x
−
∂u ∂y
=
0
此条件称 柯西—黎曼条件
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使
速度势函数及无旋运动的性质
在无旋流中有 若已知函数 ，则可求出 若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数
上式中 为任意常数，因此 的值相对于不同的 Mo点可
以差一个 ，
为某一常数，但并不影响流动的实
质，因为当求流动的特征量ui , P时，常数的差别便消失不
见了，所谓的结果完全一样
φ涉及到单值和多值问题
∂ϕ
∂l
= Vl
3）φ与Γ之间的关系
∫ ΓAB
=
B udx + vdy + wdz
A
=
B
∫A
∂ϕ dx ∂x
+
∂ϕ dy ∂y
+
∂ϕ dz ∂z
∫=
B dϕ
A
=
ϕB
− ϕA
由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端 点势函数的差，与曲线的形状无关
在其切线方向上的速度 ¾ 在自由面上，P=Pa , Pa为大气压强。 ¾ 对绕流问题而言，还要加上无穷远处的边界条件
方程内组容为四个一阶非线性偏微分方程，确定流速（u,v,w）和 压力P，理论上可解，但实际求解是非常困难的，因为ui与P交 错在一起，不能单独求出，且方程为非线性
若流动为无旋问题，可以得到简化，由于流动是无旋的，必 存在速度势函数φ，使得
udx + vdy + wdz 成为某一个函数 ϕ(x ,y ,z,t )
全微分的充要条件，即
d ϕ = udx + vdy + wdz
而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为
dϕ
=
∂ϕ dx ∂x
+
∂ϕ dy ∂y
+
∂ϕ dz ∂z
比较两式有
u
=
∂ϕ ∂x
v
=
∂ϕ ∂y
w
=
∂ϕ ∂z