画相对速度矢量图 解相对运动问题

画相对速度矢量图 解相对运动问题

Solve Problems of the Relative Movement by Drawing a Relative Velocity Vector Graph

程靖龙 陕西.西安 陕西瀚普思教育咨询有限公司 710072

摘 要：分析指出了相对运动速度关联关系图示方法存在的不足，给出了新的图示方法。图中每条线段的两个端点（称作节点）分别代表两个研究对象，节点跟研究对象之间一一对应，各节点之间的空间关系呈现了各研究对象之间相对速度的关联关系。

关键词：相对速度矢量图 相对运动 速度合成定理 节点

同一物理情景，选用了不止一个参考系时就会牵涉到相对运动关联关系的分析。相对速度矢量图即相对速度关联关系矢量图，可以集中、形象、简洁地呈现出各研究对象之间相对速度的关联关系。借助相对速度矢量图，通过几何分析可以求解该类问题。分析相对速度关联关系，就是在图中确定各个节点的位置。 1、相对运动速度关联关系图示方法之现状

就相对运动，国内的大学物理教材均介绍了速度合成定理，即绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。速度矢量方程的图示方法，介绍的是平行四边形定则和三角形定则。

介绍三角形定则时，对牵连速度和相对速度在图中首尾相接的先后次序，各版本《大学物理》普遍持无所谓态度。这样，针对同一物理情景画出的速度三角形，就会有两种不同的几何形态。

以小船渡河模型为例，υ1表示水的流速，即牵连速度，υ2表示船在静水中的航速，即相对速度，υ3表示船相对于大地的速度，即绝对速度，按照两种不同的次序分别得到如图1中甲和乙。

v 1v 2

v 3

乙

v 1

甲

v 2

v 3

图1

多运动对象问题，各版本教材均没有明确给出作图思路,个别教材介绍了这方面的例题。可是，即使是按“相对速度在前”介绍知识的教材在例题中也“悄然”改用“牵连速度在前”完成作图[1] [2]，图2和图3分别来自这两本教材。

图2

图3

有文献[3]中出现了如图4和图5两幅插图，耐人寻味。

图4

图5

很显然，作者在同一幅图中试图图示两个运动对象之间的一对相对速度时遇到了问题。

笔者查阅了33本大学物理教材，仅找到一例可以参考[4]，如图6。分析可知，作者按“相对速度在前”作图。

图6

2、相对速度矢量图的基本画法

对以上小船渡河的情景，选大地为参考系，在Vx —Vy 直角坐标系中画出表示水的流速υ1和船的对地航速υ3的有向线段，如图7。

水

船v y

v x

v 1

v 2

v 3

O 地

图7

两条有向线段的箭头（坐标）位置跟“水”和“船”两个研究对象有对应关系，可以在箭头位置分别标注“水”和“船”。大地是画图时选定的参考系，速度为零，故坐标原点位置跟大地对应，可标注“地”。

我们把速度坐标系中跟运动对象有对应关系的点称作节点，则任意两个节点之间的线段就图示了对应的两个运动对象之间的一对相对速度。比如，图7中由节点“水”指向节点“船”的有向线段图示了船对水的速度，由节点“船”指向节点“水”的有向线段图示了水对船的速度。

图1中，“甲”三角形跟图7中“地”“水”“船”三个节点围成的三角形具有完全相同的几何形态，而“乙”三角形的三个顶点跟水、船和大地三个运动对象之间找不到对应关系！

可见，只有按“牵连速度在前”的要求作图，图中的线段端点跟各运动对象之间才存在确定的对应关系。这正是前面两本教材图示多运动对象问题时不得不放弃“相对运动在前”而改用“牵连速度在前”完成作图的原因。

平行四边形定则无法表现先后次序，线段端点跟运动对象之间的对应关系更是无从谈起，导致了文献3的两幅插图，特别是图5因为牵涉到多运动对象而不可避免出现了不协调。

图7中，各运动对象之间相对速度的关联关系由各节点在速度坐标空间中的相对位置图示出来，跟各个运动对象对应的节点的坐标值的绝对值无关，故画相对速度矢量图时，速度坐标系隐去不画，如图8。

水

船v 1

v 2

v 3

地

图8

相对速度矢量图中每一条线段同时图示了两个运动对象之间的一对相对速度，只有明确指出某条线段的具体含义时，才画出相应的箭头。 3、例题

3.1.通过“雨飘车窗”模型进一步掌握确定节点位置的方法

题：下雨天，汽车以某速度υ迎风沿直线匀速行驶，风速为υ′，雨滴在竖直的车窗玻璃上留下了跟竖直方向成θ角的痕迹如图9。求雨滴对地速度的大小。

图9 图10

解析：可认为雨滴相对于空气的速度竖直向下，又由雨滴在车窗上留下的痕迹的方向可确定雨滴相对于车的速度的方向。作有向线段表示车对地的速度υ, 并标注节点“车”“地”，再作有向线段表示风速υ′，即空气对地的速度,标注节点“气”。过节点“气”画竖直线，过节点“车”画跟雨滴在车窗上留下的痕迹的方向平行的直线，交点即为节点“雨”的位置。完成相对速度矢量图如图10。

根据几何关系有

θυυυtan ='

+雨气

雨滴对空气的速度 θυυθ

υυυcot )(tan ⋅'+='

+=雨气

雨滴对地速度的大小 222cot )('+⋅'+=υθυυυ雨

3.2.求解两运动直杆交点速度的大小和方向

题：如图11，同一竖直平面内有两根与水平面夹角分别为α=30°、β=45°的足够长直杆甲和乙，交点为P 。当两杆分别以水平速度υ1=4m/s 和υ2=6m/s 在两杆所确定的竖直平面内运动时，求解交点P 的速度的大小和方向。

解析：相对于直杆甲，交点P 的速度方向在直杆甲所在直线上；相对于直杆乙，交点P 的速度方向在直杆乙所在直线上。

图11 图12

参看图12，最终完成相对速度矢量图如图13。

图13

图13中，对节点“甲”“乙”“P ”围成的三角形，由正弦定理有

()[]βαπυυαυ+-+=sin sin 21乙P ()

()21sin sin υυβαα

υ+⋅+=乙P 代入数值有 ()132

5-=乙P υ

对节点“地”“乙”“P ”围成的三角形，由余弦定理有

βυυυυυcos 2222

22

⋅⋅-+=乙乙P P P

解得P 点的速度大小为 βυυυυυcos 222

2

2⋅⋅-+=乙乙P P P