2018-2019学年江苏省南通市如东中学、栟茶中学高一下学期期中数学试题(解析版)
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且 ，所以可知四边形 为平行四边形
所以 // ，又 平面 ，
平面 ，所以 //平面
（2）由 平面 ， 平面
所以 ，又 ，所以
平面 ，所以 平面
由（1）可知： // ，所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面
【点睛】
本题主要考查线面平行，面面垂直的判定定理，属中档题.
20．如图，正三角形 的边长为4， 分别在三边 上，且 为 的中点，
2．棱长均为1的正四面体的表面积是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果.
【详解】
如图
由正四面体的概念可知，
其四个面均是全等的等边三角形
由其棱长为1，
所以
所以可知：正四面体的表面积为
故选：A
【点睛】
本题考查正四面体的表面积，属基础题.
（1）求角 的大小；
（2）若 且 ，求 的值，
【答案】（1） ；（2）8
【解析】（1）根据正弦定理，边化角，可得结果.
（2）根据三角形面积公式，结合（1）的结论以及余弦定理，可得结果.
【详解】
（1）在 中,由
所以 ，则
即 ，又
所以 ，又
所以
（2）
由 且
所以
由
即 ，
又 ，所以
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理，余弦定理的应用以及三角形的面积公式，属中档题.
【答案】
【解析】根据两条直线平行的关系，可知所求直线的斜率，可得结果.
【详解】
由直线 与直线 平行
所以直线 的斜率为：
又直线 过点 ，所以根据点斜式
可得直线 方程为：
即
故答案为：
【点睛】
本题考查直线方程，对于平面中两条直线的位置关系，可想到斜率之间的联系，属基础题.
12．在 中， ， ，且 的面积为 ，则 __________．
6．已知直线 与直线 垂直，则实数 的值是（）
A．3B．1C．3或-1D．-3或1
【答案】C
【解析】根据两条直线垂直的充要条件，可得结果.
【详解】
由
且
所以
即
解得： 或
故选：C
【点睛】
本题考查两条直线垂直求参数，要掌握两条直线垂直与平行的充要条件，方便解题，属基础题.
7．已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 .则蚂蚁爬行的最短路程长为（）
本题考查圆锥的展开图，还考查了弧长公式，考验空间想象能力以及思维能力，属中档题.
8．已知 的三个内角 所对的边分别为 .若 .则该三角形的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】根据相同正弦值的两角的关系，可得结果.
【详解】
在 中，有
所以 或
（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由面面垂直的性质可得， 平面 ，由此得 ，结合 利用线面垂直的性质定理可得 平面 ，从而可得结果；（2）结合（1），侧棱与底面所成的角为 ， ，利用直角三角形的性质可得 ， ，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离的一半为1，结合“等积变换”，利用锥体的体积公式可得结果.
【详解】
（1） 平面 平面 平面 平面 ，
平面 ， ，又 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面 .
（2）由（1）可知， 平面 平面 ，
则 平面 ，
又侧棱与底面所成的角为 ，
， ， ，
点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离的一半为1，
则 ，
.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理以及锥体的体积公式，属于难题题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.
连接 ，则 是四棱锥的高，
因为四棱锥的表面积是 ，
，
即 ， ，
，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查正棱锥的性质与应用，考查了锥体的表面积与体积，属于中档题.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
3．设函数 .则函数 的最小正周期为（）
A．2πB．4πC．2D．4
【答案】D
【解析】根据正弦函数的最小正周期，以及周期公式，可得结果.
【详解】
因为 且
所以
故选：D
【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期，属基础题.
4．在 中，若 ，则下列结论一定成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对条件中的式子利用 进行化简，得到关于 的式子，再进行化简后得到答案.
22．已知函数 是偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）当 时，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若函数 与 的图像只有一个公共点，求实数 的取值范围.
2018-2019学年江苏省南通市如东中学、栟茶中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.
【详解】
由直线的方程得直线的斜率为 ，设倾斜角为 ，则 ，又 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角，考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
A．8cmB． cmC．10cmD． cm
【答案】B
【解析】采用数形结合，根据圆锥的展开图，结合弧长公式，可得结果.
【详解】
由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点 ，
爬行的最短路程长为
如图
作 ，
由圆锥的母线长为5cm，底面半径为 cm，
所以 cm
由 ，所以
即 ，所以
故 cm
所以 cm
故选：B
【点睛】
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
10．在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离，当 、 变化时， 的最大值为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 为单位圆上一点，而直线 过点 ，则根据几何意义得 的最大值为 .
14．在 中，边 所对的角分别为 ， 的面积 满足 ，若 ，则 外接圆的面积为______________.
【答案】
【解析】根据正弦定理与余弦定理以及三角形面积公式，可得 ，进一步得到外接圆半径，可得结果.
【详解】
设 外接圆的半径为
在 中，
由 ，所以
可知 ，又
所以 ，则
所以
可知 外接圆的面积为
故答案为：
【答案】C
【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可作出判断．
【详解】
对于①，若 ， ，则 平行或相交，故错误；
对于②，若 ， ， ，则 平行、相交或异面，错误；
对于③，若 ， ，则 平行或异面，错误；
对于④，若 ， ， ，由面面平行性质定理可知 ，正确，
故选：C
【点睛】
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
【答案】
【解析】根据三角形面积公式得到 再由余弦定理得到AC长.
【详解】
在 中， ， ，且 的面积为 ，由正弦定理的面积公式得到：
再由余弦定理得到
故得到 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
（1）若 ，求 的面积；
（2）求 的面积 的最小值，及使得 取得最小值时 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时，
【解析】（1）根据已知 ，可得 长度，结合三角形面积公式，可得结果.
（2）根据正弦定理以及两角和的正弦公式，表示出面积，根据角度的范围，可得结果.
【详解】
（1）在边长为4的正三角形 中
由 为 的中点，所以
【详解】
由
所以 ①
由
所以
①化简可得
又二面角 的平面角为60°，所以
与 的夹角为 ，所以
所以
所以 的长为
故答案为：
【点睛】
本题考查立体几何中利用向量的方法求解长度，灵活转换思路，学会知识的交叉，属中档题.
16．已知 ，动直线 过定点 ，动直线 过定点 ，若 与 交于点 （异于点 ），则 的最大值为_________.
当直线 原点时， 方程为：
当直线 不过原点时，设 方程为
则 ，故 方程为： ，
即
综上所述：
的方程为 或
【点睛】
本题主要考查直线方程的求法，灵活假设直线方程，理清题意，细心计算，属中档题.
19．如图，已知四棱锥 中， 平面 ， ， // ， ， 是 的中点.
（1）求证： //平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
【答案】
【解析】根据观察两条直线的位置关系，结合不等式，可得结果.
【详解】
由题可知：
动直线 过定点
动直线 过定点
且 ，可知 ，所以
，且
所以
即
当且仅当 时取“=”
所以 的最大值为
故答Байду номын сангаас为：
【点睛】
本题考查直线过定点问题，还考查了基本不等式应用，属中档题.
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别是 ，且 .
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】（1）取 的中点 ，利用中位线定理，可得 的长度和位置关系，以及根据线面平行的判定定理，可得结果
（2）通过 ,结合（1）的条件，以及面面垂直的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）取 的中点 ，连接 ，如图
由点 是 的中点，
所以 // 且 ，
又 // ， ，可知 //
18．已知直线 的方程为 ，若 在 轴上的截距为 ，且 .
（1）求直线 和 的交点坐标；
（2）已知直线 经过 与 的交点，且在 轴上截距是在 轴上的截距的2倍，求 的方程.
【答案】（1）交点为 ；（2） 的方程为 或
【解析】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线 在 轴上的截距，可得 方程，联立方程，可得结果.
（2）利用（1）的结论，采用分类讨论的方法，可假设直线 的截距式，利用（1）的结论，可得结果.
【详解】
（1）由直线 的方程为 且
可得直线 的斜率为：2，
又 在 轴上的截距为 ，即过点
所以直线 方程：
即 ，
联立 方程，得：
，
故交点为
（2）依据题意可知：
直线 在 轴上截距是在 轴上的截距的2倍，
且直线 经过 与 的交点
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理，余弦定理的应用以及三角形外接圆的面积，掌握公式，仔细计算，属基础题.
15．如下图，60°的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 .已知 ，则 的长为______.
【答案】
【解析】采用向量法，将 用 表示，计算 ，然后根据所给长度与数量积公式，可得结果.
【详解】
在 中，有 ，
，
为 的内角，
, ,即
【点睛】
本题考查三角函数公式的运用，化简过程中消元的思想，属于简单题.
5．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下面四个命题：
①若 ， ，则 ②若 ， ， ，则
③若 ， ，则 ④若 ， ， ，则
其中正确命题的序号是( )
A．①④B．①②C．④D．②③④
又 ，所以 ，
又 ，所以
所以
所以
（2）
由 ，
化简可知：
，
由
所以
又
即
即
所以
则
由
所以当 ，即 时，
【点睛】
本题重在利用正弦定理求解三角形的面积，熟练掌握公式，边角互换，同时考验计算能力，属中档题.
21．已知斜三棱柱 的侧面 与底面 垂直，侧棱与底面所成的角为 ， ， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
13．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 的正方形，且 ，已知四棱锥的表面积是 ，则它的体积为________．
【答案】
【解析】先判断四棱锥是正四棱锥，由表面积求出斜高，由勾股定理求得棱锥的高，再利用棱锥的体积公式可得结果.
【详解】
四边形 是边长为 的正方形，且 ，
是正四棱锥，
设 中点为 ， 与 交与 ，则 平面 ，
则 或
所以 是等腰三角形或直角三角形
故选：D
【点睛】
本题考查根据角度判断三角形的形状，属基础题.
9．已知 中，满足 ，则这样的三角形有
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】C
【解析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案.
【详解】
由题意，在 中，满足 ， .
.
所以这样的三角形有2个，故选C.
【详解】
为单位圆上一点，而直线 过点 ，
所以 的最大值为 ，选C.
【点睛】
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
二、填空题
11．过点 且与直线 平行的直线 的方程为________________.
所以 // ，又 平面 ，
平面 ，所以 //平面
（2）由 平面 ， 平面
所以 ，又 ，所以
平面 ，所以 平面
由（1）可知： // ，所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面
【点睛】
本题主要考查线面平行，面面垂直的判定定理，属中档题.
20．如图，正三角形 的边长为4， 分别在三边 上，且 为 的中点，
2．棱长均为1的正四面体的表面积是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果.
【详解】
如图
由正四面体的概念可知，
其四个面均是全等的等边三角形
由其棱长为1，
所以
所以可知：正四面体的表面积为
故选：A
【点睛】
本题考查正四面体的表面积，属基础题.
（1）求角 的大小；
（2）若 且 ，求 的值，
【答案】（1） ；（2）8
【解析】（1）根据正弦定理，边化角，可得结果.
（2）根据三角形面积公式，结合（1）的结论以及余弦定理，可得结果.
【详解】
（1）在 中,由
所以 ，则
即 ，又
所以 ，又
所以
（2）
由 且
所以
由
即 ，
又 ，所以
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理，余弦定理的应用以及三角形的面积公式，属中档题.
【答案】
【解析】根据两条直线平行的关系，可知所求直线的斜率，可得结果.
【详解】
由直线 与直线 平行
所以直线 的斜率为：
又直线 过点 ，所以根据点斜式
可得直线 方程为：
即
故答案为：
【点睛】
本题考查直线方程，对于平面中两条直线的位置关系，可想到斜率之间的联系，属基础题.
12．在 中， ， ，且 的面积为 ，则 __________．
6．已知直线 与直线 垂直，则实数 的值是（）
A．3B．1C．3或-1D．-3或1
【答案】C
【解析】根据两条直线垂直的充要条件，可得结果.
【详解】
由
且
所以
即
解得： 或
故选：C
【点睛】
本题考查两条直线垂直求参数，要掌握两条直线垂直与平行的充要条件，方便解题，属基础题.
7．已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 .则蚂蚁爬行的最短路程长为（）
本题考查圆锥的展开图，还考查了弧长公式，考验空间想象能力以及思维能力，属中档题.
8．已知 的三个内角 所对的边分别为 .若 .则该三角形的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】根据相同正弦值的两角的关系，可得结果.
【详解】
在 中，有
所以 或
（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由面面垂直的性质可得， 平面 ，由此得 ，结合 利用线面垂直的性质定理可得 平面 ，从而可得结果；（2）结合（1），侧棱与底面所成的角为 ， ，利用直角三角形的性质可得 ， ，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离的一半为1，结合“等积变换”，利用锥体的体积公式可得结果.
【详解】
（1） 平面 平面 平面 平面 ，
平面 ， ，又 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面 .
（2）由（1）可知， 平面 平面 ，
则 平面 ，
又侧棱与底面所成的角为 ，
， ， ，
点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离的一半为1，
则 ，
.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理以及锥体的体积公式，属于难题题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.
连接 ，则 是四棱锥的高，
因为四棱锥的表面积是 ，
，
即 ， ，
，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查正棱锥的性质与应用，考查了锥体的表面积与体积，属于中档题.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
3．设函数 .则函数 的最小正周期为（）
A．2πB．4πC．2D．4
【答案】D
【解析】根据正弦函数的最小正周期，以及周期公式，可得结果.
【详解】
因为 且
所以
故选：D
【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期，属基础题.
4．在 中，若 ，则下列结论一定成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对条件中的式子利用 进行化简，得到关于 的式子，再进行化简后得到答案.
22．已知函数 是偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）当 时，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若函数 与 的图像只有一个公共点，求实数 的取值范围.
2018-2019学年江苏省南通市如东中学、栟茶中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.
【详解】
由直线的方程得直线的斜率为 ，设倾斜角为 ，则 ，又 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角，考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
A．8cmB． cmC．10cmD． cm
【答案】B
【解析】采用数形结合，根据圆锥的展开图，结合弧长公式，可得结果.
【详解】
由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点 ，
爬行的最短路程长为
如图
作 ，
由圆锥的母线长为5cm，底面半径为 cm，
所以 cm
由 ，所以
即 ，所以
故 cm
所以 cm
故选：B
【点睛】
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
10．在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离，当 、 变化时， 的最大值为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 为单位圆上一点，而直线 过点 ，则根据几何意义得 的最大值为 .
14．在 中，边 所对的角分别为 ， 的面积 满足 ，若 ，则 外接圆的面积为______________.
【答案】
【解析】根据正弦定理与余弦定理以及三角形面积公式，可得 ，进一步得到外接圆半径，可得结果.
【详解】
设 外接圆的半径为
在 中，
由 ，所以
可知 ，又
所以 ，则
所以
可知 外接圆的面积为
故答案为：
【答案】C
【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可作出判断．
【详解】
对于①，若 ， ，则 平行或相交，故错误；
对于②，若 ， ， ，则 平行、相交或异面，错误；
对于③，若 ， ，则 平行或异面，错误；
对于④，若 ， ， ，由面面平行性质定理可知 ，正确，
故选：C
【点睛】
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
【答案】
【解析】根据三角形面积公式得到 再由余弦定理得到AC长.
【详解】
在 中， ， ，且 的面积为 ，由正弦定理的面积公式得到：
再由余弦定理得到
故得到 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
（1）若 ，求 的面积；
（2）求 的面积 的最小值，及使得 取得最小值时 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时，
【解析】（1）根据已知 ，可得 长度，结合三角形面积公式，可得结果.
（2）根据正弦定理以及两角和的正弦公式，表示出面积，根据角度的范围，可得结果.
【详解】
（1）在边长为4的正三角形 中
由 为 的中点，所以
【详解】
由
所以 ①
由
所以
①化简可得
又二面角 的平面角为60°，所以
与 的夹角为 ，所以
所以
所以 的长为
故答案为：
【点睛】
本题考查立体几何中利用向量的方法求解长度，灵活转换思路，学会知识的交叉，属中档题.
16．已知 ，动直线 过定点 ，动直线 过定点 ，若 与 交于点 （异于点 ），则 的最大值为_________.
当直线 原点时， 方程为：
当直线 不过原点时，设 方程为
则 ，故 方程为： ，
即
综上所述：
的方程为 或
【点睛】
本题主要考查直线方程的求法，灵活假设直线方程，理清题意，细心计算，属中档题.
19．如图，已知四棱锥 中， 平面 ， ， // ， ， 是 的中点.
（1）求证： //平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
【答案】
【解析】根据观察两条直线的位置关系，结合不等式，可得结果.
【详解】
由题可知：
动直线 过定点
动直线 过定点
且 ，可知 ，所以
，且
所以
即
当且仅当 时取“=”
所以 的最大值为
故答Байду номын сангаас为：
【点睛】
本题考查直线过定点问题，还考查了基本不等式应用，属中档题.
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别是 ，且 .
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】（1）取 的中点 ，利用中位线定理，可得 的长度和位置关系，以及根据线面平行的判定定理，可得结果
（2）通过 ,结合（1）的条件，以及面面垂直的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）取 的中点 ，连接 ，如图
由点 是 的中点，
所以 // 且 ，
又 // ， ，可知 //
18．已知直线 的方程为 ，若 在 轴上的截距为 ，且 .
（1）求直线 和 的交点坐标；
（2）已知直线 经过 与 的交点，且在 轴上截距是在 轴上的截距的2倍，求 的方程.
【答案】（1）交点为 ；（2） 的方程为 或
【解析】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线 在 轴上的截距，可得 方程，联立方程，可得结果.
（2）利用（1）的结论，采用分类讨论的方法，可假设直线 的截距式，利用（1）的结论，可得结果.
【详解】
（1）由直线 的方程为 且
可得直线 的斜率为：2，
又 在 轴上的截距为 ，即过点
所以直线 方程：
即 ，
联立 方程，得：
，
故交点为
（2）依据题意可知：
直线 在 轴上截距是在 轴上的截距的2倍，
且直线 经过 与 的交点
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理，余弦定理的应用以及三角形外接圆的面积，掌握公式，仔细计算，属基础题.
15．如下图，60°的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 .已知 ，则 的长为______.
【答案】
【解析】采用向量法，将 用 表示，计算 ，然后根据所给长度与数量积公式，可得结果.
【详解】
在 中，有 ，
，
为 的内角，
, ,即
【点睛】
本题考查三角函数公式的运用，化简过程中消元的思想，属于简单题.
5．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下面四个命题：
①若 ， ，则 ②若 ， ， ，则
③若 ， ，则 ④若 ， ， ，则
其中正确命题的序号是( )
A．①④B．①②C．④D．②③④
又 ，所以 ，
又 ，所以
所以
所以
（2）
由 ，
化简可知：
，
由
所以
又
即
即
所以
则
由
所以当 ，即 时，
【点睛】
本题重在利用正弦定理求解三角形的面积，熟练掌握公式，边角互换，同时考验计算能力，属中档题.
21．已知斜三棱柱 的侧面 与底面 垂直，侧棱与底面所成的角为 ， ， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
13．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 的正方形，且 ，已知四棱锥的表面积是 ，则它的体积为________．
【答案】
【解析】先判断四棱锥是正四棱锥，由表面积求出斜高，由勾股定理求得棱锥的高，再利用棱锥的体积公式可得结果.
【详解】
四边形 是边长为 的正方形，且 ，
是正四棱锥，
设 中点为 ， 与 交与 ，则 平面 ，
则 或
所以 是等腰三角形或直角三角形
故选：D
【点睛】
本题考查根据角度判断三角形的形状，属基础题.
9．已知 中，满足 ，则这样的三角形有
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】C
【解析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案.
【详解】
由题意，在 中，满足 ， .
.
所以这样的三角形有2个，故选C.
【详解】
为单位圆上一点，而直线 过点 ，
所以 的最大值为 ，选C.
【点睛】
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
二、填空题
11．过点 且与直线 平行的直线 的方程为________________.