20200613弹簧振子在竖直方向的振动规律及应用

弹簧振子在竖直方向的振动规律及应用
大家知道，简谐振动具有对称性，这种对称性指空间对称、时间对称、有关物理量对称，也就是说：运动的时间和空间、位移和速度、力和加速度、动量和能量等等，都是关于“平衡位置”对称的。

利用简谐运动模型、利用简谐运动的这种对称性，对解决“物体与弹簧系统，特别是竖直方向的振动系统”问题很有益处。

这类问题的常用的分析方法依然是力学中的受力分析、运动分析、做功和能量转化情况的分析。

在分析过程中要注意利用简谐运动的有关规律去寻找、暴露和揭示所求的关键状态或临界条件。

( D E I )【例1】（模型：小球落到竖直弹簧上。

知识链接：运动物理量的对称性。

）如图所示，一铁球从竖直立在地面上的下端固定的轻弹簧正上方某高度处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的整个过程中（弹簧均为弹性形变），下列叙述不正确的是：
A ．整个过程中弹簧对铁球的弹力一直增大．
B ．整个过程中铁球受到的合外力先减少后增大．
C ．小球的加速度先减小后增大．
D ．小球的速度先减小后增大．
E ．小球与弹簧刚接触时小球的速度最大．
F ．当k x =mg 时，（x 为弹簧的压缩量）铁球的动能最大．
G ．当弹簧压缩至最大形变时，铁球的加速度最大，且大于重力加速度． H ．当弹簧压缩至最大形变时，弹簧弹力大于2mg ． I ．整个过程中小球的机械能先减少后增大．
J ．整个过程中小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒． K ．小球的动能与弹簧的弹性势能之和变大．
L ．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先变小后变大．
M ．整个过程中，如果某个位置的动能大小是1.3J ，则一定还另一个位置的动能也是1.3J 。

题后小结：我们可以将压缩过程细分为2个过程4个特殊位置，请注意分析。

( B )【针对练习1】一个铁球从竖直在地面轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩到最大时：
A 、球所受的合力最大，但不一定大于重力值
B 、球的加速度最大，且一定大于重力加速度值
C 、球的加速度最大，有可能小于重力加速度值
D 、球所受弹力最大，但不一定大于重力值 （ BD ）【例2】（知识链接：加速度的对称性，超重与失重问题）如图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定着一质量为M 的平台。

另有一质量为m 的物块放在平台的上表面（不粘连），随平台一起在竖直方向上做上下振动，则下列说法正确的是：
A 、当平台向下经过平衡位置时，平台和物体的速度最大，物体最可能最容易脱离平台.
B 、要让它们保证能够一起在竖直方向上做上下振动，则振动的最大加速度大小为g.
C 、要让它们保证能够一起在竖直方向上做上下振动，则振动的振幅不能超过Mg/k.
D 、当平台振动到最低点时，物体对平台的正压力最大，大小为2mg ．
解析： 物体和平台有压力就不会脱离，当有向下的加速度g 时，完全失重，这就是
脱离的临界条件，所以物体最可能最容易脱离平台的位置是系统振动到最高点不而不是平台向下经过平衡位置时，A 错误、B 正确。

系统保持静止时的位置是平衡位置，这时弹簧的压缩量是（M+m ）g/k ，所以其振幅应当等于（M+m ）g/k ，C 错误。

由加速度的对称性结合牛顿第二定律知D 项正确。

【针对练习2】如图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为M 的薄板P ，另有一质量为m 的物块B 放在P 的上表面。

向下压B ，突然松手，使系统上下振动，欲使B 、P 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？ 解：B 和p 在最高处有向下的最大加速度时，最可能分离，若不分离则B 和p 间的压力N ≥0，取N=0、对B ，由牛顿第二定律：mg=ma ………① 即振动的最大加速度为a=g.
结合对称性知B 和p 在最低处时弹簧的压缩量最大，对整体再用牛顿第二定律有：
()()a M m g M m kx +=+-………②
()k
g
M m x +=
2
（ B ）【例3】（知识链接：回复力的对称性）如右图所示，质量分别为m A =2Kg 和m B =3Kg 的A 、B 两物体，用劲度系数为k 的轻弹簧相连接盒后竖直放在水平面上，今用大小为45N 的力把物块A 向下压而使之处于平衡状态，突然撤去压力，则：
A 、物块
B 有可能离开水平面。

B 、物块B 不可能离开水平面。

C 、只要k 足够小，物块B 就可能离开水平面。

D 、只要k 足够大，物块B 就可能离开水平面。

讨论：（1）如果F=55N 呢？
（2）如果m A =3Kg 和m B =2Kg 呢？ （3）如果m A =3Kg 和m B =1Kg 呢？
A B
k F
B
P
解析：今用大小为45N 的力把物块A 向下压而使之处于平衡状态，突然撤去压力F ，由受力分析可知，该45N 力的大小就是物块A 上下振动的最大回复力，由于对称，物块振动到最高点时也需要向下的最大
回复力45N ，物块A 在最高处受力如图(mg 是重力、F /
是弹簧弹力)，有 0F g m F A =+' ,代入数据有：
F '+20=45
所以F '=25(N)，弹簧弹力小于物块B 的重力，不足以将物块B 拉离地面，所以选项B 正确。

讨论：（1）如果F=55N 呢，则上式中的F '=35N ＞30 N ，可以将物块B 拉离地面，则选A 。

（2）如果m A =3Kg 和m B =2Kg ，则F '=15N ＜20 N ，不可以将物块B 拉离地面，则选B 。

（3）如果m A =3Kg 和m B =1Kg ，则F '=15N ＞10 N ，可以将物块B 拉离地面，则选A 。

（ A ）【针对练习3】如下图在质量为M 的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为m （M ≥m ）的A 、B 两物体，支架放在水平地面上，开始各物体都静止，突然剪断A 、B 间的连线，此后A 做简谐运动，当A 运动到最高点时，支架对地面的压力为: A. Mg B. (M －m)g C. (M+m)g D. (M+2m)g
【解析】剪断细线的瞬间，弹簧对A 的弹力为k x =2mg ，A 受到向上的合外力为mg 。

当A 运动到上方最大位移处，由简谐运动的回复力的对称性知，A 将受到竖直向下的合外力，其大小仍为mg ，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力大小为Mg 。

应选A 。

（ AC ）【例4】原长为30cm 的轻弹簧竖立于地面，下端固定在地面上。

现将一个质量为m=0.1kg 的物体放到弹簧顶部，物体保持静止即平衡时离地面高度为26cm ，如图3a 所示。

如果该物体
从距离地面130cm 处自由下落到弹簧上（与弹簧接触时不损失能量），当物体压缩弹簧到距离地面22cm 时，（不计空气阻力，取g=10m/s 2，重物在地面时，重力势能为零）则：
A. 物体的动能为1J
B. 物体的重力势能为1.08J
C. 弹簧的弹性势能为0.08J
D. 物体的动能和重力势能之和为2.16J 解析：根据能量的对称性知，物体距地面22cm 处的动能与距地面30cm 处的动能相等，物体下降1m 时获得动能大小是E k =mgh 1=0.1×10×1＝1J ，所以A 项正确。

物体距地面22cm 处的重力势能E P 重=0.2J ，B 错误。

物体从距地面130cm 处到距地面22cm 过程中，系统机械能守恒，减少的重力势能＝增加的动能+弹性势能，即：0.1×10×1.08＝1+ E P 重，得E P 重=0.08J ，C 正确。

物体的动能和重力势能之和为1+0.2＝1.2J ，D 错误。

所以正确答案为：A 、C 。

（ A ）【针对练习4】如图所示，物体放在轻弹簧上，沿竖直方向在AB 之间做简谐运动．物体在沿DC 方向由D 运动到C （Ｄ与Ｃ两点未在图中画出）的过程中，弹簧的弹性势能减少了3.0焦耳，物体的重力势能增加了1.0焦耳．则在这段过程中：
Ａ．物体经过Ｄ点时的运动方向是指向平衡位置的． Ｂ．物体的动能增加了４．０焦耳． Ｃ．Ｄ点的位置一定在平衡位置以上． Ｄ．物体的运动方向可能是向下的．
C h 1
O h 2
B
图3b
A B mg
F /。