《函数与导数》解题方法总结_教(学)案
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《函数与导数》解题方法总结 教案
解题策略
1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.
2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.
3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对含参数的二次函数问题，应分a ＝0和a ≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a 时，需按a ＞1和0＜a ＜1分两种情况讨论.
4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.
5．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间部的点，不会是端点；②若()f x 在（a ，b ）有极值，那么()f x 在（a ，b ）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数()f x 在［a ，
b ］上连续且有有限个极值点时，函数()f x 在［a ，b ］的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点
为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.
6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即/
()f x ＝0的解x 0；②用极值的方法确定极值；③将（a ，
b ）的极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当()f x 在（a ，b ）只有一个可疑点时，
若在这一点处()f x 有极大（小）值，则可以确定()f x 在该点处了取到最大（小）值.
7．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①'
()f x ＞0是()f x 递增的充分条件而非必要条件（'
()f x ＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据'
()f x ＞0（或'
()f x ＜0）解出在定义域相应的x 的围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.
8．函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题. 典型例题
考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法 例1、函数2
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y x x =
--+的定义域为
A ．(4,1)--
B ．(4,1)-
C ．(1,1)-
D ．(1,1]-
解：由2
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1141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩
⎩.故选C 例2、用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设()f x =min{2x
, x+2,10-x} (x ≥ 0),则()f x 的最大值为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，
很容易的得到函数的最大值是当4x =时，()f x 的最大值为6
考点二. 函数的零点
例1、函数2x +2x-3,x 0
x)=-2+ln x,x>0
f ⎧≤⎨
⎩（的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
解:当0x ≤时，令2
230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以选C 。
【方法总结】：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公
式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
例2、设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。
解：原方程等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-x
a x x x a x x )3)(1(0
030
1即⎩⎨⎧<<-+-=31352x x x a 构造函数)31(352
<<-+-=x x x y 和
a y =，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31≤ 13=a 时，原方 程有一解；②当4133<