湘教版九年级数学下册课件：2.3 垂径定理

A
E
B
弧：
D
新知探究
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D。
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂
直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三
角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，
当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个
半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，
AEB
∴ AE OA 2 OE 2
O·
10 2 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
随堂演练
3．如图14－1，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于
点C，则OC的长为( B )
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
图14－1
随堂演练
42、．如图 14－2，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，则下列结论中正
随堂演练
2、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
O
A
E
B
D
B
O A
O
E
B
D
是
不是
是
例题讲解
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长。
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
C
∴
AD
1 2
AB
1 2
8
4
(cm)
设OC=xcm，则OD=x-2,根据
A⌒C、A⌒D分别和B⌒C、B⌒D重合。
A
因此
┗
C
.O
E
B
AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
D
新知探究
垂径定理
1、文字语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
A
2、图形语言 由 ① AB是直径 ③ AB⊥CD
可推得
②CE=DE
④A⌒C=A⌒D, ⑤⌒CB=B⌒D.
3、符号语言
O
O
C
B
C
CB D
O
随堂演练
1、判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分
C
E
D
B
因 为 AB CD于 E， AB为 O的 直 径
CE=DE,
AC =AB ,
BC=BD.
新知探究 垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.过点M作直径CD.你能发现图中有哪些等量关系?
说说你的想法和理由.
C
A
┗●M
B 由① CD是直径 ③ AM=BM
●O
可推得
②CD⊥AB,
④⌒AC= ⌒BC, ⑤⌒AD= ⌒BD.
确的是( B )
A．AC＝AB C．∠C＝∠B
B．∠C＝12∠BOD D．∠A＝∠BOD
图14－2
随堂演练
5．如图14－3，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB 为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC＝__6_0_°.
图14－3
随堂演练
6．一条排水管的截面如图14－4所示，已知排水管的半径OA＝1 m， 水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管内水面上升了0.2 m，则此 时排水管的水面宽CD＝____m.1.6
勾股定理，得
.O
┐
A
EB
x2=42+(x-2)2，
D
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
∴ CD=2r=10cm
例题讲解
例2 证明：圆的两条平行弦所夹弧相等．
已知：如图,圆o 中，弦AB与弦CD 平行．
E
求证： AC BD.
C
D
证明:
作直径EF 垂直于弦AB， 由于AB∥CD，因此 EF⊥CD． 由于EF⊥AB，因此，AE BE
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB
交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，
CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
A
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
∵ OA2 AD2 OD2
R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
O·
A
B
F
由于 EF⊥CD 因此 CE DE.
从而 AE CE BE DE.
即 AC BD.
例题讲解
例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。
O.
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的两条弧.
新知探究
垂径定理的本质是:
满足其中任两 条，必定同时 满足另三条
（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧
知二推三
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
基本图形及 构造Rt△利用勾股定理 变 式 图 形 计算或建立方程.
┐
A C ED B
所以，AC＝BD
例题讲解
例4 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆
心为O，半径为R.
C
D
B
O
随堂演练 1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列 结论中不成立的是C（ ）
A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=AE
A
C
D E
O·
D.B⌒D=⌒BC
B
随堂演练
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cmபைடு நூலகம்OE=6cm,则AB= cm。 解：连接OA，∵ OE⊥AB
图14－4
课后小结
内容
推论 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这 条弦所对的两条弧.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不 是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣 弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论 （“知二推三”）
辅助线 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距
第2章 圆
2.3 垂径定理
情景引入
A
O
C
E
B
问题：左图中AB为圆O的直径，CD为圆O的弦。 相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有 特殊情况？
直径AB和弦CD互相垂直
D
新知探究
在⊙O中，AB为弦，CD为直径，AB⊥CD
C
提问：你在圆中还能找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
O
线段：AE=BE，