高考数学全国卷选做题之不等式

2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷 设函数f(x)=241x -+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；

（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.

2011全国卷 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．

（I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．

（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．

2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.

(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；

(Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.

（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；

（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：

(1)ab ＋bc ＋ac ≤13

； (2)2221a b c b c a

++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；

（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

2014全国卷Ⅱ 设函数()f x =1(0)x x a a a

++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2 （Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围. 2015全国卷Ⅰ 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围

2015全国卷Ⅱ 设d c b a ,,,均为正数，且d c b a +=+.证明：

（1）若cd ab >，则a b +>c d +;

（2）a b +>c d +是d c b a -<-的充要条件.

2016全国卷Ⅰ已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.

（I ）在答题卡第（24）题图中画出y= f (x )的图像；

（II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。

2016全国卷Ⅱ 已知函数f (x )= ∣x -21∣+∣x +21∣，M 为不等式f (x ) ＜2的解集.

（I ）求M ；

（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣。

2010全国卷

（Ⅰ）由于()x f ={25,23, 2.x x x x -+<2.-≥则函数()x y f =的图像如图所示。 ……5分 （Ⅱ）由函数()x y f =与函数y ax =的图像可知，当且仅当2a <-时，函数()x y f =与函数y ax =的图像有交点。故不等式()x f ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为

()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭

。 ……10分 2011全国卷

（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。

(?Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤

此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30

x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩

即 4

x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a

x x ≤- 由题设可得2a

-= 1-，故2a =

2012全国卷

（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥

2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323

x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥ （2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立

22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤

2013全国卷Ⅰ

(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，

则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.

所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．

(2)当x ∈1

,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.

所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣

⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43

a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦

.

解：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，

得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .

由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.

所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 故222()a b c a b c b c a

+++++≥2(a ＋b ＋c )， 即222a b c b c a

++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a ++≥1. 2014全国卷Ⅰ

(Ⅰ) 由1

12ab a b ab

=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立， 故3333342a b a b +≥=g ，且当2a b ==时等号成立，∴33a b +的最小值为42………5分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知：232643a b ab +≥≥，由于43＞6，从而不存在,a b ，使得236a b +=.…10分

2014全国卷Ⅱ

（Ⅰ）由a>0,有f （x ）=｜x+1/a ｜+｜x-a ｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a ≥2. 所以f （x ）≥2.

（Ⅱ）f （x ）=｜3+1/a ｜+｜3-a ｜.

当a ＞3时，f （3）=a+1/a ，由f （3）＜5得3＜a ＜

当0

（）