新高一步步高必修一第一章 1.1 第1课时

1．1集合的概念

第1课时集合的概念

学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．

知识点一元素与集合的概念

1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．

3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．

4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．

思考我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？

答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．

知识点二元素与集合的关系

1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.

知识点三常见的数集及表示符号

1．组成集合的元素一定是数．(×)

2．接近于0的数可以组成集合．(×)

3．分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的．(√)

4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)

一、对集合的理解

例1(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()

①中国各地的美丽乡村；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．

A．③④B．②③④C．②③D．②④

答案 B

解析①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.

(2)下列说法中，正确的有______．(填序号)

①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；

②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；

③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．

答案②

解析①不正确.book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.

②正确.集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．

③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．

反思感悟判断一组对象是否为集合的三依据

(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．

(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．

(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．

二、元素与集合的关系

例2下列关系中正确的个数为()

①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z.

A．1B．2C．3D．4

答案 B

解析①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．

反思感悟判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．

跟踪训练1给出下列说法：

①R中最小的元素是0；

②若a∈Z，则－a∉Z；

③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.

其中正确的个数为()

A．0B．1C．2D．3

答案 B

解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．

三、元素特性的应用

例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

解∵－3∈A，

∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

若－3＝a－3，

则a＝0，

此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；

综上所述，a＝0或a＝－1.

延伸探究

若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．

解∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，

解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，

符合题意．

故所求a的值为1.

反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤

跟踪训练2已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________. 答案－1

解析若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，

∴a≠1.

当a＝－1时，

集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．

∴a＝－1.

1．下列给出的对象中，能组成集合的是()

A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．方程x2－1＝0的实数根

答案 D

2．下列结论不正确的是()

A．0∈N B.2∉Q C．0∉Q D．8∈Z

答案 C

解析0是有理数，故0∈Q，所以C错误．

3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形

C．菱形D．矩形

答案 A

解析由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．

答案10

解析由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．

5．如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是________．

答案x≠0,2

解析由集合元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0,2.

1．知识清单：

(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．

(2)常用数集的表示．

(3)集合中元素的特性及应用．

2．方法归纳：分类讨论．

3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．