函数的极值和最值讲解

函数的极值和最值

【考纲要求】

1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.

3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值

4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、函数的极值

函数的极值的定义

一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，

（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作

)(0x f y =极大值；

（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记

作)(0x f y =极小值.

极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

要点诠释：

求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数)(x f '；

③求方程0)(='x f 的根；

④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点二、函数的最值

1.函数的最大值与最小值定理

若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1

()(0)f x x x

=

>. 要点诠释：

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：

若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在

],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '；

（2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；

（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，

)(b f ；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.

【典型例题】

类型一：利用导数解决函数的极值等问题

例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；

【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈

因为1)(-=x x f 在处取得极值

所以'(1)3630f m -=--=

所以3m =。

又(1)3,'(1)12f f ==

所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=-

即1290x y --=.

举一反三：

【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；

(2)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+．

【解析】（1）由()22,x f x e x a x =-+∈R 知()2,x f x e x '=-∈R ．

令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，

()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+

(2)证明：设2()21x g x e x ax =-+-，x ∈R

于是()22x g x e x a '=-+，x ∈R

由(1)知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0.g a '=-+>

于是对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()g x 在R 内单调递增．

于是当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >．

而(0)0g =，从而对任意(0,),()0x g x ∈+∞>．

即2210x e x ax -+->，故221x e x ax >-+．

【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。

类型二：利用导数解决函数的最值问题

【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题三】

例2.已知函数2()(),x f x x mx m e =-+其中m R ∈。

（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；

（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间；并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【解析】（1）因为函数()f x 存在零点，则20x mx m -+=有实根，

240m m ∆=-≥，即04m m ≤≥或

（2）当0m <时，函数定义域为R

由()0f x '=，则02x x m ==-或

由()0f x '>，则02x x m ><-或

由()0f x '<，则20m x -<<

列表如下：

+

0 - 0 +

增 极大值 减 极小值 增

所以()f x 在(,2)m -∞-，(0,)+∞上单调增，在(2,0)m -上单调减。

又知当2x m <-→-∞且时，()0f x >；0x >→+∞且时，()0f x >；

而(0)0f m =<，所以()f x 存在最小值(0)f m =.

举一反三：