第六章 约束优化的直接搜索法

设给定设计变量的上下限值为：
ai≤ xi ≤ bi (i = 1, 2, …, n)
则产生的随机点的各分量为 xi(0) =ai +ri(bi-ai) (i = 1, 2, …, n)
其中， ri为[0，1]区间上的随机数。 还需对点X(0)进行可行性检验，即是否满足 gj(X(0)) ≤ 0 (j = 1, 2, …, m)
机械优化设计
太原科技大学 张学良
第六章 约束优化的直接搜索法
§6.1 ห้องสมุดไป่ตู้述
数学模型： min s.t. f (X ) gj(X ) ≤ 0 hk(X ) = 0 X∈ Rn (j = 1, 2, …, m) (k = 1, 2, …, p)
根据对约束函数处理方法的不同，约束 优化方法可以分为：直接法和间接法。
s.t.
gj(X ) ≤ 0
(j = 1, 2, …, m)
ai≤ x i ≤ bi ( i = 1, 2, …, n) 其基本思想是：在设计变量的界限区域内 作出网格，逐个计算各个网格点上的约束函 数值和目标函数值，然后舍去不满足约束条 件的网格点，对满足约束条件的网格点 ，
比较其目标函数值的大小，从中找出目标函数 值最小的网格点。若此网格点之间的距离hj 均 小于给定的控制精度j(通常取j=，i=1,2,…, n) ， 则该网格点就是所要求的最优点的近似点X* 。 否则，以该点为中心缩小寻优区间，即在该点 附近作较密的网格，继续求目标函数值最小的 网格点。如此循环往复，直至找到满足精度要 求的最优点的近似点X* 。网格的划分可以是等 间距的，也可以是非等间距的。
XR
X2 = XG X1 = XH X3 = XL
XC
X4
举例(例6-3)： 用复合形法求最优解
min f (X) = (x1 - 5)2 +4 (x2 - 6) 2
s.t. g1(X)=64- x1 2 - x2 2 ≤0
g2(X)=x 2 - x1 - 10 ≤0
g3(X)=x1 - 10 ≤0 举例(作业)： 用复合形法求 min f (X) = x12 + 2x22 - 4x1 - 8x2 –12 s.t. 1≤x1 ≤3 0.5≤x2 ≤3 的最优解， 给定精度 = 0.2。
常用的直接法有： 网格法、约束随机方向搜索法和复合形 法。
• 间接法的基本思想 将约束优化问题中的约束函数进行特 殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将约束优化问 题转化成为一个或一系列的无约束优化问 题，再对新的目标函数进行无约束优化计 算，从而间接地搜索到原约束优化问题的 最优解。
以定步长 0 搜索得到N个试验点Xk (k= 1, 2, …, N)， 然后计算比较N个试验点处的函数值
f (Xk)，找出其中的最小点XL 。 若f (XL) ≥ f (X(0))，则缩短步长0 ，或重 新产生N个随机方向，重复前面的过程。 若f (XL) < f (X(0))，则继续沿方向S = XLX(0) ，并令X(0) = XL，以适当步长向前跨步， 得到新点 X(1) = X(0) + S 。 若f (X(1) ) < f (XL)，则将新的起始点移到 X(1) ，重复前面的过程进行新一轮搜索。
迭代公式为一般公式：
X (k+1)=X (k) + (k) S(k) (k =0 , 1 , 2 , …)
S(k) 为可行搜索方向， (k)为步长。
可行搜索方向是指：当设计点沿该方向 作微量移动时，目标函数值将下降，且不会 超出可行域。
直接法的特点是：
原理简单、方法实用，但计算量大，收敛 慢、效率低。适于维数低、精度要求不高但目 标函数较复杂的问题。
4）计算除去最坏点XH以外的(K1 -1)个顶点 的中心XC : XC = (∑Xj) / (K1 -1)
判别 XC 是否可行，若XC 为可行点，则 转 5）；若XC 为非可行点，则重新确定设计 变量的下限和上限值，即令
a = XL ， b = XC 5）计算反射点XR
或
a = XC ， b = XL
若满足， X(0)可作为初始点；否则，则应 另取随机数重新产生随机点，直到得到一个 可行的随机点为止。
• 构造随机搜索方向
利用计算机中的随机数发生器，在区间[-1,1] 上产生一组随机数方法r1 、 r2 、… 、 rn (n 为 变量的维数) ，则随机搜索方向为 e = [e1 e2 … en ]T = [r1 r2 … rn ]T /(∑ ri 2) 0.5
8）检验反射系数是否满足≤， 为一小 的正数。若满足，则转下一步；若不满足， 则令 0.5 ，转 5）。 9）改变反射方向，即改求次坏点 XG 的反 射点XR，公式为 XR = XC + (XC - XG) 并转 6），直至找到新的复合形（此时上式 中的反射系数 应重新赋值）。
min
s.t.
f (X )
gj(X ) ≤ 0
X∈ Rn
(j = 1, 2, …, m)
ai≤ xi ≤ bi
(i = 1, 2, …, n)
其基本思想是：在可行域内构造一个具有 K1个顶点的初始复合形（ n+1≤ K1≤2n ），
或叫多面体，对该复合形各顶点的目标函 数值进行比较，去掉目标函数值最大的顶 点（或称最坏点），然后按一定的法则求 出目标函数值有下降的可行的新点，并用 此点代替最坏点，构成新的复合形。复合 形的形状每改变一次，就向最优点移动一 步，直到逼近最优点。
间接法的特点: 1) 其基础是无约束优化方法 2) 可以有效处理具有等式约束的约束 优化问题 3) 其存在的主要问题是:选取加权因 子较为困难。加权因子选取不当，不但 影响收敛速度和计算精度，甚至会导致 计算失败。
§6.2 网格法 • 网格法的基本思想
适于解决如下数学模型：
min f (X ) X∈ Rn
• 初始复合形的形成 复合形法是一种在可行域内搜索最优点 的直接解法，要求初始复合形必须在可行域 内生成，即初始复合形的K1个顶点都必须是 可行点。
构造初始复合形是复合形法的关键内容 之一，其方法和步骤如下： 1）给定K1值， n+1≤ K1≤2n；
2）生成初始复合形，有两种方法：
① 由设计者试选K1个可行点，构成初始 复合形。当设计变量较多或约束函数较复杂时， 由设计者决定K1个可行点常常很困难。只有在 设计变量少，约束函数简单的情况下，才用这 种方法。
若f (X(1) ) > f (XL)，则应缩短步长 ，直 至取得一个好的可行点作为新一轮搜索的起 始点。如此周而复始，当迭代步长 已经很 小时，说明搜索已逼近约束最优点。达到精 度要求时，即可终止迭代计算。 • 确定初始可行点 方法1）决定性方法 当问题的约束条件 比较简单，可凭判断人为地在可行域内选定 一个初始点。 方法2） 随机投点方法 当问题的约束条 件较为复杂时，靠判断选择初始可行点较困 难，这时可借助计算机中的随机数发生器， 产生随机但可行的初始点。
|| e ||=1, e 是一个单位向量。
要产生N个随机搜索方向e(k) (k =1, 2, …, N) , 需要产生N组随机数ri(k) (i = 1, 2, …, n; k =1, 2, …, N) 。
XL S S X(0) XL
0 • 计算步骤及算法框图（略）
§6.4 复合形法
• 基本思想 它是约束优化问题中经常采用的一种 重要的直接求解方法。它适于解决如下数 学模型：
XF总是可行的，故由XK向XF 退缩，总可以 找到可行点XK 。若XF 不可行，则可行域必 为非凸集。这种情况下为保证初始复合形在 可行域内，应缩小随机投点的边界域，重新 产生初始复合形的各顶点。 3）判断K= K1否，如果K≠ K1，则令 K K+1 并转 2）的 ② ，直至产生K1个可 行点，构成初始复合形X1 X2 …XK1。
• 计算步骤及算法框图（略）
§6.3 约束随机方向搜索法
• 基本思想
它是约束优化问题中经常采用的一种 直接求解方法。它适于解决如下数学模型：
min s.t. f (X ) gj(X ) ≤ 0 X∈ Rn (j = 1, 2, …, m)
其基本思想是：在不破坏约束条件的前提 下，从选定的初始可行点X(0)出发，相继沿着 N个随机产生的搜索方向e(k)(k= 1, 2, …, N)，
f (XK)，找出最坏点XH、最优点XL 、次坏点 XG 。
3）检验迭代终止条件，计算复合形K1个顶 点的函数值的平均值 fm 。
fm = (∑ f (XK)) / K1 计算容差DF，并判别是否满足
DF = {∑ [ f (XK) - fm ]2 / K1 }1/2 ≤ ？
若满足，迭代计算终止，并输出最优解： X * = XL ， f * = f (XL); 否则，转下一步。
在随机产生每个随机点时，要检查其可 行性，若可行转 3）；否则计算前(K-1)个可 行点所成复合形的中心（或形心）点 XF ： XF = (∑Xj) / (K-1)
然后将非可行点XK向中心点XF移动，即 XK = XF + 0.5(XK - XF) 新的XK 是由原XK 向XF 退缩得到的，再 检查是否为可行点，若仍为非可行点，则继 续按上式使XK向XF 退缩，直到成为可行点。 如果目标函数是凸函数，可行域是凸集，则
② 记K=1，由设计者选定一个可行点X1 或用随机投点法确定X1，其余的(K1 -1)个可行 点用随机法产生。各顶点按下式计算： XK=a +rK(b – a ) (K = 1, 2, …, K1 )
其中， rK — (0，1)区间上的随机数; a 、b — 设计变量的上下限； XK — 复合形中的第K个顶点。 由上式计算得到的(K1-1)个随机点不一定 都在可行域内，因此要设法将不可行点移到 可行域内。
• 复合形法的计算步骤及算法框图(图6-13) 1）构造初始复合形 2）计算并比较复合形各顶点的目标函数值 f (XH) = max { f (XK)， K = 1, 2, …, K1 } f (XL) = min { f (XK)， K = 1, 2, …, K1 } f (XG) = max{f (XK)，K=1, 2, …, K1，K ≠H }
然后转 1），重新构造初始复合形。 XR = XC + (XC - XH)
— 反射系数，一般取 =1～1.3。
6）检验反射点XR的可行性，若可行，转下 一步；若不可行，则令 0.5 ，转 5） 再求反射点（此时又称退缩点），直至XR 可 行，再转下一步。 7）计算f (XR)，若f (XR) < f (XH)，反射成 功，则以反射点XR点替换最坏点XH ，构成新 的复合形，并比较 f (XR) 、 f (XL) 、 f (XG) ， 以重新判定最坏点XH 、最优点XL 、次坏点 XG ，然后转 3）。若f (XR) > f (XH)，则转下 一步。
直接法通常适用于仅含不等式约束的优化 问题，当有等式约束时，该等式约束函数不 能是复杂的隐函数，而且容易实现消元过程。
• 直接法的基本思想 在m个不等式约束条件所确定的可行域 内，选择一个初始点 X(0)，然后决定可行搜 索方向S(0) ，且以适当的步长(0) ，沿S(0) 方向进行搜索，得到一个使目标函数值下 降的可行的新点X(1) ，即完成一次迭代，再 以新点为起点，重复上述搜索过程，满足 收敛条件后，迭代终止。