数值分析报告期末考试复习题及其问题详解

数值分析期末考试复习题及其答案

1. 已知325413.0,325413*

2*

1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）

解：

由已知可知,n=6

5.01021

,0,6,10325413.0016*1=⨯=

=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*

21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分

2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220

- ⎥⎥⎥⎦

⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：

{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()

A A A T max 2λ= 1分

⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥

⎥⎦

⎤

-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220

- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦

⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A

3. 设3

2

)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式

② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2

解：

①Newton 迭代格式为：

x

a x x x a

x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2

2

32

1

+=

+=---=-=+ϕ 3分

②时迭代收敛即当222,112

10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分

4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢

⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛

（8分）

解：

所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦

⎤

--⎢

⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分

其特征方程为 0)

21(2)31(=----=

-αλα

ααλλB I 2分

即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(

5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥

⎥⎦

⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收

敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）

解：

U D L A ++=

⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210

)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦

⎤-012 3分

0,03213=====-λλλλλJ B I 2分

即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：

⎪⎩

⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)

(3)1(1)

1(2

)

(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分

6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中

⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）

解：

①11b Ax =

⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢

⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤

100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦

⎤

211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢

⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =

⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢

⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =

⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡005.0

由Ly=b3=x2，即⎢⎢

⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分

7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：

要求一次数不超过3的H 插值多项式，使

'11'

33)(,)(y x H y x H i i == （6分）

解：

作重点的差分表，如下：

3分

2

1021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)

=2

3

2x x + 3分

8. 有如下函数表：

试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）

解：

由已知条件可作差分表，

3分

i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 03

3

2100

22100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+

=