高等代数线性方程组
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右端向量
线性方程组
● 线性方程组的初等变换
§1 消元法
方程组的初等变换 是否会改变线性方 程组的解？
用一个非零的数乘以某一个方程； 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
用一个非零的数乘以矩阵的某一行； 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行； 交换矩阵中某两行的位置；
线性表出。
性质3 如果向量组1 , 2 ,, s 线性无关，则它的任一部分组也线性无关。 性质4 如果向量组1 , 2 ,, s 的某个部分组线性相关，则原向量组也线 性相关。 整体无关，则部分无关；部分相关，则整体相关 性质5 如果向量组1 , 2 ,, s 线性无关，而向量组 1 , 2 ,, s , 线性相关，则 可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出。
k1 , k2 ,, ks 使得
k11 k2 2 ks s
则称 是向量组 1 , 2 ,, s 的一个线性组合，或称向量 可被向量组
1 , 2 ,, s
线性表出。
线性方程组
例1 在R3中，
§3 线性相关性
1 (1,1,0), 2 (0,2,1),3 (1,1,2), (5,7,5)
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
5 x1 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 4 x3 2 x4 0 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
线性方程组
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
●n
线性方程组
●
§3 线性相关性
线性关系的性质
性质1 向量组 1 , 2 ,, s 中的每一个向量都可由这组向量线性表出。 性质2 如果向量 可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出，而它的每一个向
i 又可由向量组1 , 2 ,, t 线性表出，则 可由向量组1 , 2 ,, t 量
维向量
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1 , a2 ,, an ) 称为数域P上的n维 向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 ,, an ),
的对应分量都相等，即
(b1, b2 ,, bn )
ai bi , (i 1, 2, , n)
其中
Ax b
a11 a21 A a s1
a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
系数矩阵
x1 x2 x x n
未知向量
b1 b2 b b s
向量加法满足以下四条运算规律
( ) ( ) 零向量：O = (0，0，…，0) 结合律： 有零元： O 负向量：- = (-a1，-a2，…，-an) 有负元： ( ) O
交换律：
线性方程组
向量数乘满足以下两条运算规律 有单位元： 结合律：
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。 当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。
当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
线性方程组
● 线性方程组的矩阵表示法
§1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 as1 x1 as 2 x2 asn xn bs
例2、 解线性方程组
线性方程组 定理：在齐次线性方程组
§1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n as1 x1 as 2 x2 asn xn 0
§2 n维向量空间
1
k (l ) (kl)
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若 考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称 V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律：
分配律：
k ( ) k k (k l ) k l
线性方程组
当 d r 1 0 时，该线性方程组无解。 当 d r 1 0 时，该方程组有解，并分两种情况：
§1 消元法
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 (cii 0) cnn xn d n
方程组有唯一解。
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn d1 c22 x2 c2 r xr c2,r 1 xr 1 c2 n xn d 2 (cii 0) crr xr cr ,r 1 xr 1 crn xn d r
可改写为
自由未知量
Βιβλιοθήκη Baidu
c11 x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r 1 xr 1 c1n xn c22 x2 c2 r xr d 2 c2,r 1 xr 1 c2 n xn (cii 0) crr xr d r cr ,r 1 xr 1 crn xn
线性方程组
定义：如果向量组
§3 线性相关性
1 , 2 ,, s (s 2) 中有一个向量可以由其余的向
量线性表出，那么称向量组 1 , 2 ,, s 是线性相关的。 等价定义：
n 定义：设 1 , 2 ,, s (s 1) 是P 中的s个向量，若存在数域P中的一组不
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
线性方程组
●
§1 消元法
线性方程组与增广矩阵 是一一对应的 由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
增广矩阵
a11 a21 A a s1
a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
b1 b2 A b bs
就称这两个向量相等，记作
线性方程组
● 向量的运算
§2 n维向量空间
加法： 减法： 数乘： k
(a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) (a1 b1, a2 b2 ,, an bn )
(ka1, ka2 ,, kan ), k P
线性方程组
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
消元法
n 维向量空间
线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解的判断定理 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消元法
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 as1 x1 as 2 x2 asn xn bs
线性方程组
性质6 如果向量组
§3 线性相关性
1 (a11 , a12 , , a1t ) (a , a , , a ) 2 21 22 2t s (as1 , as 2 , , ast )
方程组有无穷多解。
线性方程组 例题：
例1、 解线性方程组
§1 消元法
2 x1 x2 3 x3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 2 x x 4 x 1 3 1 2 5 x1 x2 2 x3 x4 7 2 x1 x2 4 x3 2 x4 1 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
1 , 2 ,, s 线性无关。
线性方程组
判断向量组
§3 线性相关性
1 (a11 , a21 ,, as1 ), 2 (a12 , a22 ,, as 2 ), , n (a1n , a2n ,, asn )
是否线性相关的方法： (1) 设
k11 k2 2 kn n O
一个线性方程组的增广矩 阵可通过初等行变换化为 怎样的简单形式？
称为该线性方程组的增广矩阵。
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以 B 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。 定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n as1k1 as 2 k 2 asn k n 0
(2) 将其按分量写出
(3) 若该奇次方程组有非零解，则原向量组线性相关，反之则线性无关。
试问向量
是否为向量组 1 , 2 , 3 的一个线性组合？
例2 在P n中，任何一个n维向量
(a1 , a2 ,, an ) 都可由
1 (1, 0,, 0), 2 (0,1,, 0), n (0, 0,,1)
线性表出。
向量1，2，…，n 称为n维单位向量
一组不全为零的数
k1 , k2 ,, ks
使得
k11 k2 2 ks s O
则称向量组 1 , 2 ,, s 是线性无关的。 例3 判断向量组
1 (1,2,3), 2 (2,1,0),3 (1,7,9)
是否线性相关。 例4 设向量 可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出，则表示法唯一的充要 条件是
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) (2) (3) (4)
0 O (1) kO O k O 当且仅当 k 0 或 O
线性方程组
§3 线性相关性
§3 线性相关性
● 向量组的线性关系
定义：设
, 1 , 2 ,, s
是P n中的向量，若存在数域P中的一组数
d1 c11 x1 c12 x2 c1r xr c1n xn c22 x2 c2 r xr c2 n xn d 2 crr xr crn xn dr (cii 0) 0 d r 1 0 0 0 0
组不全为零的数
k1 , k2 ,, ks
使得
k11 k2 2 ks s O
则称向量组 1 , 2 ,, s 是线性相关的。 试给出线性相关 的几何意义？
线性方程组
§3 线性相关性
定义：设 1 , 2 ,, s (s 1)是Pn中的s个向量，若不存在数域P中的
线性方程组
● 线性方程组的初等变换
§1 消元法
方程组的初等变换 是否会改变线性方 程组的解？
用一个非零的数乘以某一个方程； 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
用一个非零的数乘以矩阵的某一行； 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行； 交换矩阵中某两行的位置；
线性表出。
性质3 如果向量组1 , 2 ,, s 线性无关，则它的任一部分组也线性无关。 性质4 如果向量组1 , 2 ,, s 的某个部分组线性相关，则原向量组也线 性相关。 整体无关，则部分无关；部分相关，则整体相关 性质5 如果向量组1 , 2 ,, s 线性无关，而向量组 1 , 2 ,, s , 线性相关，则 可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出。
k1 , k2 ,, ks 使得
k11 k2 2 ks s
则称 是向量组 1 , 2 ,, s 的一个线性组合，或称向量 可被向量组
1 , 2 ,, s
线性表出。
线性方程组
例1 在R3中，
§3 线性相关性
1 (1,1,0), 2 (0,2,1),3 (1,1,2), (5,7,5)
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
5 x1 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 4 x3 2 x4 0 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
线性方程组
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
●n
线性方程组
●
§3 线性相关性
线性关系的性质
性质1 向量组 1 , 2 ,, s 中的每一个向量都可由这组向量线性表出。 性质2 如果向量 可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出，而它的每一个向
i 又可由向量组1 , 2 ,, t 线性表出，则 可由向量组1 , 2 ,, t 量
维向量
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1 , a2 ,, an ) 称为数域P上的n维 向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 ,, an ),
的对应分量都相等，即
(b1, b2 ,, bn )
ai bi , (i 1, 2, , n)
其中
Ax b
a11 a21 A a s1
a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
系数矩阵
x1 x2 x x n
未知向量
b1 b2 b b s
向量加法满足以下四条运算规律
( ) ( ) 零向量：O = (0，0，…，0) 结合律： 有零元： O 负向量：- = (-a1，-a2，…，-an) 有负元： ( ) O
交换律：
线性方程组
向量数乘满足以下两条运算规律 有单位元： 结合律：
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。 当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。
当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
线性方程组
● 线性方程组的矩阵表示法
§1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 as1 x1 as 2 x2 asn xn bs
例2、 解线性方程组
线性方程组 定理：在齐次线性方程组
§1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n as1 x1 as 2 x2 asn xn 0
§2 n维向量空间
1
k (l ) (kl)
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若 考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称 V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律：
分配律：
k ( ) k k (k l ) k l
线性方程组
当 d r 1 0 时，该线性方程组无解。 当 d r 1 0 时，该方程组有解，并分两种情况：
§1 消元法
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 (cii 0) cnn xn d n
方程组有唯一解。
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn d1 c22 x2 c2 r xr c2,r 1 xr 1 c2 n xn d 2 (cii 0) crr xr cr ,r 1 xr 1 crn xn d r
可改写为
自由未知量
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c11 x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r 1 xr 1 c1n xn c22 x2 c2 r xr d 2 c2,r 1 xr 1 c2 n xn (cii 0) crr xr d r cr ,r 1 xr 1 crn xn
线性方程组
定义：如果向量组
§3 线性相关性
1 , 2 ,, s (s 2) 中有一个向量可以由其余的向
量线性表出，那么称向量组 1 , 2 ,, s 是线性相关的。 等价定义：
n 定义：设 1 , 2 ,, s (s 1) 是P 中的s个向量，若存在数域P中的一组不
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
线性方程组
●
§1 消元法
线性方程组与增广矩阵 是一一对应的 由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
增广矩阵
a11 a21 A a s1
a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
b1 b2 A b bs
就称这两个向量相等，记作
线性方程组
● 向量的运算
§2 n维向量空间
加法： 减法： 数乘： k
(a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) (a1 b1, a2 b2 ,, an bn )
(ka1, ka2 ,, kan ), k P
线性方程组
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
消元法
n 维向量空间
线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解的判断定理 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消元法
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 as1 x1 as 2 x2 asn xn bs
线性方程组
性质6 如果向量组
§3 线性相关性
1 (a11 , a12 , , a1t ) (a , a , , a ) 2 21 22 2t s (as1 , as 2 , , ast )
方程组有无穷多解。
线性方程组 例题：
例1、 解线性方程组
§1 消元法
2 x1 x2 3 x3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 2 x x 4 x 1 3 1 2 5 x1 x2 2 x3 x4 7 2 x1 x2 4 x3 2 x4 1 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
1 , 2 ,, s 线性无关。
线性方程组
判断向量组
§3 线性相关性
1 (a11 , a21 ,, as1 ), 2 (a12 , a22 ,, as 2 ), , n (a1n , a2n ,, asn )
是否线性相关的方法： (1) 设
k11 k2 2 kn n O
一个线性方程组的增广矩 阵可通过初等行变换化为 怎样的简单形式？
称为该线性方程组的增广矩阵。
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以 B 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。 定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n as1k1 as 2 k 2 asn k n 0
(2) 将其按分量写出
(3) 若该奇次方程组有非零解，则原向量组线性相关，反之则线性无关。
试问向量
是否为向量组 1 , 2 , 3 的一个线性组合？
例2 在P n中，任何一个n维向量
(a1 , a2 ,, an ) 都可由
1 (1, 0,, 0), 2 (0,1,, 0), n (0, 0,,1)
线性表出。
向量1，2，…，n 称为n维单位向量
一组不全为零的数
k1 , k2 ,, ks
使得
k11 k2 2 ks s O
则称向量组 1 , 2 ,, s 是线性无关的。 例3 判断向量组
1 (1,2,3), 2 (2,1,0),3 (1,7,9)
是否线性相关。 例4 设向量 可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出，则表示法唯一的充要 条件是
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) (2) (3) (4)
0 O (1) kO O k O 当且仅当 k 0 或 O
线性方程组
§3 线性相关性
§3 线性相关性
● 向量组的线性关系
定义：设
, 1 , 2 ,, s
是P n中的向量，若存在数域P中的一组数
d1 c11 x1 c12 x2 c1r xr c1n xn c22 x2 c2 r xr c2 n xn d 2 crr xr crn xn dr (cii 0) 0 d r 1 0 0 0 0
组不全为零的数
k1 , k2 ,, ks
使得
k11 k2 2 ks s O
则称向量组 1 , 2 ,, s 是线性相关的。 试给出线性相关 的几何意义？
线性方程组
§3 线性相关性
定义：设 1 , 2 ,, s (s 1)是Pn中的s个向量，若不存在数域P中的