线性方程组的迭代法

)T
是原
方程的
近似根。
迭代法的基本思想
x1
1 8
3 x 2
2x3
20
,
x
2
1
11
4 x1
x3
33 ,
(2)
再将x(1)分量代入（2）式右边得到x(2) ,
反复利用这个程序，
迭 代
x3
1
12
6 x1
3x2
36
.
得到向量序列和一般的迭代公式
法
原
任取初始值，例如 x (0) (0,0,0)T
x(k)都收敛
到解x*！
相关概念
定义3.1
如果lim x(k)存在(记为x),称为迭代法收敛,(显然x就是方程组的解) k
否 则 称 为 迭 代 法 发 散.
为此引进误差向量 （k） x(k) x
迭
代 法 原
x Bx f x (k ) Bx (k1) f
（k） B (k1) ... Bk (0) .
3 x2
2 x3
20
,
x2
1 11
4 x1
x3
33
,
(2)
x3
1 12
6 x1
3 x2
36
.
0
3 8
2 8
20
8
B
4 11
0
1 11
f
33 11
.
6
3
0
36
12
12
12
迭代法的基本思想
取一组数(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
)T
代
人
方
程
右侧，若
x1
1 1.4422 3.0000 8 1.8175 1.8136
迭
x x3 x2 1 1 (x)
2 1.6537 1.4444 9 1.8385 1.8554 3 1.7532 2.1716 10 1.8389 1.8294
代 法 原 理
x 3 x2 x 1
x
1
1 x
1 x2
2 ( x) 3(x)
1 8
3 x2
2 x3
20
,
x2
1
11
4 x1
x3
33
,
x3
1
12
6 x1
3 x2
36
.
迭
代 法 原 理
1
8
3 x(0) 2 x(0) 20
2
3
1
4 x(0) x(0) 33
11
1
3
x1(0) x2(0)
x 1
12
6 x(0) 3 x(0) 36
1
2
(0) 3
1
8
3 x(0) 2 x(0) 20
2
3
x1(0)
x 1
4 x(0) x(0) 33
11
1
3
(0) 2
x 1
12
6 x(0) 3 x(0) 36
1
2
(0) 3
则(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
)Twk.baidu.com
是
原方程
的根
。
则(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
理
由此可见：考察 x(k) 的收敛性.
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理 2 Jacobi迭代法 3 Gauss迭代法 4 松弛迭代法 5 迭代法的收敛性与稳定性
迭代法的基本思想 相关概念 收敛条件 基本迭代法
迭代法的基本思想
引 例1 求解方程 3xex = 0
迭代过程如图所示：
方程变形： x = ex/3
精确解：x=1.8393
1(x)的迭代是失败的(迭代不收敛).
迭代法的基本思想
8 x1 3 x2 2 x3 20
引 例3 求解方程组4 x1 11x2 x3 33
(1)
6 x1 3 x2 12x3 36
迭
记 为Ax b， 其 中
代
法 原 理
8 A 4
3 11
21，x
x1 x2
3 x2(k )
36)
12
代 法
简写为
x(k1) Bx(k ) f
原
其中k表示迭代次数（k=0,1,2, …）. 迭代到第10次有
理
x (10) (3.000032,1.999838,0.9998813)T ;
(10) 0.000187( (10) x (10) x ).
迭代法用向量序列x(k)逼近精确解 x* .
，b
20 33
6 3 12
x
3
36
方程组的精确解是x* （3，2，1）T .
迭代法的基本思想
现将原方程改写为
迭 代 法 原 理
8 x1 3 x2 2 x3 20 4 x1 11x2 x3 33 6 x1 3 x2 12x3 36
或写为 x Bx f ，其中
x1
1 8
理 将这些值代入(2)式右边，得到新的
值
x(1) ( x1(1) , x2(1) , x3(3) )T (2.5,3,3)T
x1
(
0
)
x1
(1)
x1(k
)
x (0) x2(0) , x (1) x2(1) , ..., x (k ) x2(k ) , ...
x
3
(
4 1.7995 1.6725 11 1.8391 1.8454 5 1.8209 1.9554 12 1.8392 1.8355 6 1.8308 1.7730 13 1.8392 1.8416 7 1.8354 1.8822
对于给定的方程 f(x) = 0, 有多种方式将 它改写成等价的形式 x = j (x)。但重要的 是如何改写使得序列收敛？
0)
x
3
(1)
x
3
(
k
)
迭代法的基本思想
迭
x1
1 8
3 x2
2 x3
20
,
x2
1 11
4 x1
x3
33
,
x3
1 12
6 x1
3x2
36
.
x (k1) 1
x (k1) 2
(3x2(k) 2x3(k)
(4 x1(k )
x (k) 3
20) 33)
8 11
x3(
k
1)
(6 x1(k )
1
y=x
迭
方程3xex=0的迭代求解表： x = ex/3
0.8
代 法 原
序号 左边
0123456 0 0.333 0.465 0.531 0.567 0.588 0.599
0.6 y =ex/3
0.4
理
右边 0.333 0.465 0.531 0.567 0.588 0.599 0.607
序号 7 8 9 10 …
迭代法的基本思想
思考
对于任何一个方程组x Bx f (由Ax b变形得到的 等 价 方 程 组)， 由 迭 代 法 产 生 的 向 量序 列x ( k ) 是 否 一 定 逐 步 逼 近 方 程 组 的 解x呢 ？
请考虑用迭代法解下述方程组：
x1 x2
2x2 3 x1
5, 5.
并不是所有的
0.2
左边 0.607 0.612 0.615 0.616 … 右边 0.612 0.615 0.616 0.617 …
0
0
0.5 0.616
1
迭代法的基本思想
计算结果: 引 例2 用迭代方法解 x3 -x2 -x-1 = 0。
序号 2(x) 3(x) 序号 2(x) 3(x)
第一步 构造迭代函数：