万有引力专题：多星变轨相逢等问题

万有引力与航天专题

多星问题

经典例题

例题1. 如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为1m 和2m ，相距为l ，万有引力常量为G ，求：

（1）双星转动的中心位置；（2）转动周期。

解析：（1）设双星转动的中心位置O 距离1m 为r ，与两恒星中心的距离l 不同

2221)(ωωr l m r m F F -===向引解得l m m m r 2

12+= （2）在求第二问时更应注意距离和半径的区别，对恒星1m ，由

21221)2(T r m l m Gm π= 得转动周期为)

(2213

m m G l T +=π 例题2.（06年广东高考） 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m 。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

例题3.（2009届江苏海安县高三月考)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m ，四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G ，试求：

（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径；

（2）若实验观测得到星体的半径为R ，求星体表面的重力加速度；

（3）求星体做匀速圆周运动的周期．

解析：（1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径22

r a =

（2）由万有引力的定律可知2mm'G m'g R = 则星体表面的重力加速度2m g G R = （3）星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：22222

242245cos 2)2(m T a m a m G a G π⋅⋅=︒+ 解得周期22(42)a T a Gm =π+ 经典习题

1、（襄樊市06调研）在天体运动中，设有质量分别为m 1和m 2的两星球绕着它们连线上的某点做圆周运动，相对位置不变，称为双星。若它们之间的距离为L ，下列说法中正确的是（ B ）

A ．若m 1﹥m 2，则m 1受到的向心力大于m 2受到的向心力

B ．若m 1﹥m 2，则m 1的向心加速度小于m 2的向心加速度

C ．两星球运行的线速度一定相等

D ．两星球的轨迹半径等于L/2

2．广西桂林十八中2010届高三第三次月考物理试卷宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G ．关于四星系统，下列说法错误的是 ( B )

A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B ．四颗星的轨道半径均为

2a C ．四颗星表面的重力加速度均为2m G R D ．四颗星的周期均为()2242a a Gm π+

3. 两棵靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（B 、D ）

A.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比

B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比

C.它们做圆周运动的半径与其质量成正比

D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

飞行器变轨、椭圆轨道问题

经典例题

例题1： 如图所示，轨道A 与轨道B 相切于P 点，轨道B 与轨道C 相切于Q 点，以下说法正确的是（ACD ）

A.卫星在轨道B 上由P 向Q 运动的过程中速率越来越小

B.卫星在轨道C 上经过Q 点的速率大于在轨道A 上经过P 点的速率

C.卫星在轨道B 上经过P 时的向心加速度与在轨道A 上经过P 点的向心加速度是相等的

D.卫星在轨道B 上经过Q 点时受到地球的引力小于经过P 点的时受到地球的引力

例题2、河南省新郑州二中分校2010届高三第一次模拟我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞船在月球引力作用下向月球靠近，并将沿椭圆轨道与空间站在B 处对

接，已知空间站绕月做圆周运动轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，下列说法中正确的是

( BC )

A 、图中航天飞机正减速飞向

B 处

B 、航天飞船在B 处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速

C 、根据题中条件可以算出月球质量

D 、根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小

例题3.我国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征-2F 运载火箭先送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道，在B 点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知

飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，近地点A 距地面高度为h 1，地球表面重

力加速度为g ，地球半径为R ，求：

（1）飞船在近地点A 的加速度a A 为多大？

（2）远地点B 距地面的高度h 2为多少？

解答：（1）设地球质量为M ，飞船的质量为m ，在A 点受到的地球引力为

()21Mm

F G R h =+ 2分 地球表面的重力加速度 2M g G R = 2分

由牛顿第二定律得 ()()

22211A F GM gR a m R h R h ===++ 4分

（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期

t T n = 2分 由牛顿运动定律得 ()()22222Mm G m R h T R h π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+2分

解得 2232224gR t h R n π=-4分。 经典习题

1．发射同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图6—5—5所示，当卫星分别在1、2、3轨道上正常运动时，以下说法正确的是（ ABD ）

A ．卫星在轨道2上由Q 向P 运动的过程中速率越来越小

B ．卫星在轨道3上经过P 点的速率大于在轨道2上经过P 点的速率

C ．卫星在轨道2上经过Q 点的半径小于在轨道2上经过P 点的半径

D ．卫星在轨道2上运动的周期小于在轨道3上运动的周期

2、（鲁东南三市四县一次调研）将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是BD

A ．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率

B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度

D ．卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度

3、（广安市模拟）2003年10月15日，我国成功地发射了“神舟五号”载人飞船，经过21小时的太空飞行，返回舱于次日安全着陆。已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，椭圆的一个焦点是地球的球

心，如图所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受到地球的万有引力作用，在飞船从轨道

的A 点沿箭头方向运行到B 点的过程中，有以下说法：A 飞船的速度逐渐增大 B 飞船的

速度逐渐减小 C 飞船的机械能守恒 D 飞船的机械能逐渐增大。上述说法中正确的是 C 相逢类

P

1 2

3 ∙∙Q