空间曲面与空间曲线

2、
旋转曲面：
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所围成的 空间曲面叫做旋转曲面，旋转的平面曲线叫做母线，定直线叫 做轴。 z
M 0 ( x, y , z )
M 0 (0, y1 , z1 )
y
x
设在 yoz 平面上有一已知平面曲线 C，它的方程为：
f ( y, z) =0
把曲线围绕 Z 轴旋转一周， 就得到以 z 轴为轴的旋转空间曲 面，它的方程可以求得如下： ① ②

x 2 y 2 y1
f ( y1 , z1 ) =0
f ( x 2 y 2 , z1 ) =0
3、 柱面
平行于定直线，并延定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫 做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的 母线。
x
例子： 不含 z 的方程 x
2
y
2
r
2
表示在空间直角坐标系
空间曲面与空间曲线
一、空间曲面
1、 曲面方程的概念：
像在平面解析几何中一样，把平面曲线当作动点运动的轨 迹， 在空间解析几何中， 任何曲面也可以看成动点的运动轨迹， 在这样的意义下，如果曲面 S 与三元方程：
F ( x, y, z) =0
有下述关系：
① 曲面 S 上任何一点都满足上述方程。 ② 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足上述方程。 那末，上述方程叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 叫做方程的图形。
内的圆柱面，它的母线平行与 Z 轴，它的准线为 xoy 平面内的 圆x
2
y
2
r
2
。
二、空间曲线
1、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看做是两个空间曲面的交线：
F ( x, y, z) =0 G( x, y, z) =0
上式称为空间曲线的一般方程
2、空间曲线的参数方程
x H ( x, y) 0 --------------（3） -------------- -- (4)
方程（4）表示一个准线平行与 z 轴的柱面，这个柱面包含曲线 母 C，以 C 为准线。此柱面表示曲线 C 关于 xoy 平面的投影柱面， 在 xoy 平面内的交线叫做空间曲线 C 在 xoy 平面内的投影曲线， 简称投影。 求投影平面曲线的步骤： ① 联立空间曲线方程 ② 得到投影柱面 ③ 得到投影曲线
z z (t )
当给定 t
1
时，就可以得到曲线 C 上的一个点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ，随
着 t 的变动，可以取得曲线 C 上的全部点。 上式称为空间曲线 C 的参数方程。
3、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为：
F ( x, y, z) =0 G( x, y, z) =0