矩阵的奇异值分解及数值实现

矩阵的奇异值分解及数值实现

1.引言

矩阵的奇异值分解是数学研究中一种重要的方法, 除了其理论价值外,在工程领域中的应用也很普遍。例如: 在最优化问题、特征值问题、广义逆矩阵计算、高质量的统计计算、信号和图像处理、系统辨识、滤波器设计、谱估计、时间序列分析、控制理论和酉不变范数理论等领域, 奇异值分解都占有极其重要的作用同时它在求线性方程组的数组时也经常使用。它的核心在于在求出矩阵的有效秩的同时不改变矩阵的有关度量特性, 这对统计和检测数据的处理有很重要的作用。但矩阵奇异值分解的严重不足之处在于速度慢、计算量和存储量相当大, 并且到现在仍然没有计算矩阵的奇异值分解的快速算法。因此研究奇异值分解的快速算法,在理论上和工程实际中都有重要意义。

2.矩阵的奇异值分解

在数值分析中,矩阵的奇异值分解具有相当重要的作用, 因此在求矩阵的奇异值分解时, 必须掌握矩阵的奇异值分解的理论及相关概念。

2.1 矩阵的奇异值相关定义

定义2.1.1对于任一个mn阶复(实)矩阵A,设AH(AT)为A的共轭转置矩阵，则AHA的n个特征值的非负平方根称为A的奇异值,也就是A共有n个奇异值，且全部》0。AHA是一个半正定矩

阵,所以它的特征值》0。

设A?HYCmn(r>0),AHA的特征值

为？％d1>?%d夢…》?%dr>?%dr+1=- =?%dn=0则

称？％li=(i=1,2,…,n)为A的奇异值。

从定义可以看出以下性质:

(1)mn 矩阵的奇异值的个数等于列数;

(2)AHA和AAH的非零特征值相同,A的非零奇异值的个数等

于r?%ZnkA。

定义2。1。2设A为复数域C上的n阶矩阵,如果存在

数？％d?HY(和非零的n维向量x,使得Ax=?%dx就称？％d是矩阵A 的特征值,x是A的属于(或对应于)特征值？％d的特征向量。

定义2。1。3 设mn矩阵A?HYCmn,r?%ZnkA=r(r>0),则AHA 和AAH的特征值都是非负实数。

3.矩阵奇异值分解的性质

既然矩阵奇异值分解在计算中有如此重要的作用, 当然它就具有一些重要的性质, 并且这些性质的应用也相当广泛。

性质3.1 A的奇异值由A惟一确定，但酉矩阵U和V不惟一，故矩阵A的奇异值分解一般不惟一。

性质 3.2 奇异值分解可以计算出矩阵的条件数。

设A?HYCmn且存在可逆矩阵P使得

P- 1AP=di?%Zg(?%d1 …,？％dn),则称？UP-1?U|| PII 为矩阵A关于特征值问题的条件数, 记为k(P) 。

性质 3.3 奇异值分解可以降维。

A表示n个m维向量，通过奇异值分解可表示成

m+n个r维向量,若A的秩r远远小于m和n,则当r