第四节 具有某些特性的函数.

1 函数 f (x) = 在(1, 2)内是有界的. x
下页
例3 证明 f : X R 有界的充要条件为： M , m ，使得对 x X , m f ( x) M . 证明 如果 f : X R 有界，按定义 M >0， x X 有 f ( x) M ，即 - M f ( x) M , 取 m = - M , M = M 即可.
f ( x)
-x o x x
f (- x )
4．函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x D, ( x l ) D.且 f ( x l ) = f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
P21 1, 6(4)(5)
例5. 证明函数f ( x) = x sin x不是周期函数 .
证 : 证明函数不是周期函数 通常采用反证法 .
假设函数f ( x) = x sin x有周期 T , 根据 f ( x T ) = f ( x),
有
x T sin(x T ) = x sin x T sin(x T ) = sin x, x R
例2 设f、g为D上的有界函数，证明： (i) sup xD{f(x)+g(x)} sup xD{f(x)}+sup xD{f(x)}
(ii) infxD{f(x)+g(x)} inf xD{f(x)}+infxD{f(x)}
注： 上例中的两个不等式，其严格的不等号有 可能成立。
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
-
3l 2
-
l 2
l 2
3l 2
“非负小数部分”函数
y = x - x, x -, .
它的定义域是 D = -, , 值域是Rf = 0,1 .
为周期函数，基本周期为1
作业: P15 1(4)(5), 5, 7; P20 2,6 ;
反之如果
M , m 使得 x X ,
则 | f ( x) | M 0 ， 即 M 0 0 ， 使得对 x X , 有 | f ( x) | M 0 ，即 f : X R 有界.
m f ( x) M ，令 M 0 = max(|M | 1, | m |) ，
若f于D上有上界，即点集f(D)有上界， 于是由确界原理，f(D)有上确界，记为 supf(D) 并称之为f在D上的上确界。
例如
f(x)=x, g(x)=-x, x [-1,1].
2．单调函数
定义3 设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒 有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I 上是单 调增加的 ; 若严格不等式成立，称为严格增加。
y
y = f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果 对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒 有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I 上 是单调减少的 ;
y
M y =f (x) M
y
o
有界
x
X
o -M
x0
X 无界
x
-M
有界函数举例 f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. 1 函数 f (x) = 在开区间(0, 1)内是无上界的. x 1 这是因为, 对于任一 M>1, 总有 x1 : 0 x1 1 , 使 M f (x1) = 1 M , x1 所以函数无上界.
第四节 具有某些特性的函数
1．有界函数:
定义1 若X D, M 0, x X , 有 f(x) M 成立, 则称函数f ( x)在X 上有界. 否则称上无界. M称f(x)的上界。
y y M y=f(x) o -M x 有界 X o -M M
x0
X 无界
x
定义2 若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X 上有界.否则称无界.
T sin T = 0 T =0
即
取x = 0, 得
由此推得
这与周期定义相矛盾， 故f ( x) = x sin x不是周期函数 .
例4. 证明定义在对称区间 (-l , l )内的任何函数 f ( x)都
可以表示成一个奇函数 与一个偶函数之和 .
证 : 设法由f ( x)构造两个函数， 使得一个是奇函数
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
ห้องสมุดไป่ตู้
x
单调增单调减函数统称为单调函数。 3 例3 y=x 在R上严格单调增。
例4 函数y=[x]在R上是增函数，但不是严格增函数。
阶梯曲线
定理1.2 设y=f(x), x D为严格增函数，则f 必有反函数f ,且f 也是严格增函数。
y
-1 -1
函数 y = f ( x )
y0
W
o
x0
x
D
例5 y=x 在(-， 0)上严格单调减，有反函数y=- x，x (0,+)。
2
y=x 2在(0,+)上严格单调增，有反函数y= x，x [0,+)。 y=x 2在(-， +)上不单调，没有反函数。
例6 y=a x当a>1时，在R上严格单调增。 当0<a<1时，在R上严格单减。
3．函数的奇偶性: 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( - x ) = f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
f (- x )
f ( x)
-x
o
偶函数
x
x
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (- x ) = - f ( x )
奇函数
y
称 f ( x )为奇函数;
y = f ( x)
一个是偶函数， 且两者之和恰为 f ( x). 1 1 令 F ( x) = [ f ( x) f (- x)], G ( x) = [ f ( x) - f (- x)] 2 2 1 F (- x) = [ f (- x) f ( x)] = F ( x), 因为 2 1 G (- x) = [ f (- x) - f ( x)] = -G(- x) 2 所以F ( x)是偶函数,G( x)是奇函数, 且f ( x) = F ( x) G( x).