基本不等式教学案

基本不等式

赣榆县城头高级中学 刘家兴

教学三维目标：

1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.

2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.

3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.

教学重点、难点：

重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.

难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导

基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.

一、基础梳理

1、 基本不等式：如果a,b 是正数，a b 时取""=号 ）

代数背景：

如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思想得到基本不等式）

几何背景：半径不小于半弦。

2、 常见变形： （1）ab 222a b + （2）222a b + 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭

（3）b a a b

+ 2（,a b 同号且不为零） 3、算术平均数与几何平均数 如果a ，b 是正数，我们称 为a ，b 的算术平均数，称 的a ，b 几何平均数.

4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）

问题：

（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：

已知0,0x y >>,则

（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ；

（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 .

二、课前热身

1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ）

A. 22a b +

B.

C. 2ab

D. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222

a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x

x x +

> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=⋅≥+x x x x 21的最小值是x

x +∴ （2）2121,2=⋅≥+≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x

x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+>a a a 三、课堂探究

1、答疑解惑

方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。

2、典例分析

例1、设02,x <<求函数y =.

例2、41,3lg lg x y x x >=++

设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x <<

变式2：去掉条件1x >

变式3：将条件改为1000≥x

例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.

例4、已知,12,0,0=+>>y x y x 且求y

x 12+的最小值. 变式：已知,112,0,0=+>>y

x y x 且

若m m y x 222+>+恒成立，求实数m 的取值范围.

3、反馈矫正

（1）设2

30<

（3）求4+-2

a a 的取值范围.①a R ∈ ②5a ≥ （4）已知,,,x y a

b R +∈，y x y

b x a b a +=+=+,1,10且的最小值是18，求,a b . （5）（自选）已知0,a b >>则216()

a b a b +-的最小值是 . 说明：反馈矫正可以根据学生课前预习与课堂学习的实际情况调整为课后巩固练习.

4、回顾与反思

方法：在教师的引导下由学生总结运用基本不等式解题的方法、技巧并相互补充. 题型回顾： . . 运用基本不等式应注意的问题：

①,a b 必须是 数；

②积ab 是 值，和a b +才有最 值，和a b +是 值，积ab 才有最 值；

③当且仅当 时，等号成立.

即：“ 、 、 ”.

利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下应 求解最值. 易错反思： .

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