2007工科概率统计试卷A

河海大学2007~2008学年第一学期

一、（每空3分，共18分）填空题

1．设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A –B ）=0.3，则

=⋃)(B A P ；

2．某实习生用一台机器接连独立地制造了3 个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率)3,2,1(1

1

=+=

i i p i ，以X 表示 3 个零件中合格品的个数，则P {2=X }= ； 3．已知X

的密度函数为

1

22

1)(-+-=

x x

e x

f π

，则

=)(X D ；

4．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知

1)]2)(1[(=--X X E ，则λ= ；

5．设21,X X 是来自正态总体),0(2σN 的样本，则||/21X X U =服 从 分布；

6．设总体X 服从()10-分布),1(p B ，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，

X 为样本均值，则对任意整数==≤≤)(),0(n

k

X P n k k 。

二、（本题满分12分）有三个箱子各装有一些红、白球。第一个箱子装有4个红球4个白球 ，第二个箱子装有2个红球6个白球，第三个箱子装有6个红球2个白球，现用掷骰子来决定从哪箱子里取出一只球，若出一点，则从第一个箱子取出一只球，若出6点，则从第三个箱子取出一只球，若出的是其他点，则从第二个箱子取出1只球。

1．试求取出的是1只红球的概率；

2．已知取出的是1只红球，求这只红球是来自第二个箱子的概率。

三、（本题满分12分）设随机变量X 密度函数为

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<-≤≤=其它,021,210,

)(x x x x x f

求：1．X 的分布函数)(x F ；

2．)(,)(X D X E .

四、（本题满分18分）设二维连续型随机变量（X ，Y ）的密度函数， 求：1．关于X 和Y 的边缘密度分布函数)(,)(y f x f Y X ；

2．X 与Y 的协方差),(Y X Cov ； 3．Y X Z +=的密度函数)(z f Z 。

五、（本题满分10分）设),(~,),(~21p n B Y p n B X 且相互独立，证明：

),(~21p n n B Y X ++。 六、（本题满分15分）设总体X 服从()θ,0上的均匀分布，其中θ为未知

参数。n

X X X ,,,2

1

是来自X 的简单随机样本。求θ的矩估计量M

θ

ˆ和极大似然估计量MLE θˆ，并说明MLE

θˆ是否为θ的无偏估计量，请给出理由。 七、（本题满分15分）某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）服从正态分布，现随机地抽取26只电池，测出其寿命的样本方差72002=s

1．试检验假设5000:,5000:2120≠=σσH H （给定显著性水平

05.0=α）；

2．求σ的置信度为0.95的置信区间。

附表：部分2χ分布表α=χ>χα)}()({2

2n n P

河海大学2008-2009学年第一学期

一、（每空2分，本题满分18分）填空题

1． 设某人射击的命中率为0.5，则他射击10次至少命中2次的概率为

；

2． 设X 为一随机变量，其分布律为 ，则=

q ；

X 的分布函数为

。

3．已知A 、B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =，且3.0)(=A P ，则

=

)(B P 。

4． 设随机变量X 服从参数为1的泊松（Poisson ）分布，则

=

=)}({2X E X P 。

5．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自X 的一个简单随机样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，检验假设00:μ=μH ，

01:μ>μH ，其中0μ为已知常数，则检验统计量为，在显

著性检验水平为α时的拒绝域为

。

6．设101,,X X 是来自正态总体),(2σμN 的一个简单随机样本，且

)(616211X X X Y +++=

，)(4

1

109872X X X X Y +++=，X

22136

.0q q -P 1

1

-

∑=-=10

7

222

)(31i i Y X S

令S

Y Y k

Z 2

1-=，则当=k 时，Z 服从t 分布，自由度为

。

二、（本题满分12分）某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7和0.9。已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9。 （1）求仪器的不合格率；

（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。 三、（本题满分12分）已知随机变量X 的密度函数为

⎩

⎨⎧<<+-=其它,010),144()(2x x x c x f

求（1）常数c ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）}5.01.0|2.0{≤<≤X X P 。 四、（本题满分10分）设2)(=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0=ρXY ，求

（1）32322-+-=Y XY X U 的数学期望； （2）53+-=Y X V 的方差。 五、（本题满分18分）设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为：

⎩

⎨

⎧-<<<<=其它,0)

1(20,10,1),(x y x y x f