伯努利大数定律和辛钦大数定律

知识点5.2

伯努利大数定律和辛钦大数定律

迄今为止,人们已发现很多大数定律. 所谓大数定律,简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现出的规律,这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画.

1. 伯努利大数定律

设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意给定的ε>0,有

lim n→+∞P

m

n

−p<ε=1,

或

lim n→+∞P

m

n

−p≥ε=0.

证明

引入随机变量

X k=ቊ0,若在第k次试验中A不发生,

1,若在第k次试验中A发生.

k=1,2,⋯,n.

显然

m=X1+X2+⋯+X n,

因为X1,X2,⋯,X n,相互独立,且X k服从参数为p的0−1分布,所以

E X k=p,D X k=p1−p,k=1,2,⋯,n

lim n→+∞P

1

n

X1+X2+⋯+X n−p<ε=1,

即

lim n→+∞P

m

n

−p<ε=1.

该定理称为伯努利大数定律.

关于伯努利定律的说明:

频率“靠近”概率是可以直接观察到的一种客观现象,伯努利大数定律从理论上给出了这种现象更加确切的含义,它表明事件A发生

依概率收敛于事件的概率p，也就是说当n很大时事件A 的频率m

n

发生的频率与概率p有较大偏差的可能性很小,根据实际推断原理，当试验次数足够大时,就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件的概率.

2. 辛钦大数定律

设相互独立的随机变量序列X1,X2,⋯,X n,⋯具有相同的分布,且E X k=μ,k=1,2,⋯,均存在,则对任意给定的ε>0,有

lim n→+∞P

1

n

෍

k=1

n

X k−μ<ε=1．

关于辛钦定律的说明:

(1) 辛钦大数定律与切比雪夫大数定律的推论一样都阐明了大量随机试验的平均结果具有稳定性,但是辛钦大数定律去掉了随机变量序列方差存在的条件（在独立同分布场合，不需要该条件）.

(2) 伯努利定律是辛钦定律的特殊情况.