存在与恒成立(含答案)

存在与恒成立

1.恒成立问题：

（1）;)(f D ,)(f ,x min A x A x D >>∈?上则在区间恒成立均有 （2）;)(f D ,)(f ,x max B x B x D <<∈?上则在区间恒成立均有

（3）;0)(f ),()()(,)(g )(f ,x min >∴-=>∈?x x g x f x F x x D 则恒成立均有 （4）;0)(f ),()()(,)(g )(f ,x max <∴-=<∈?x x g x f x F x x D 则恒成立均有 （5）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x max min 2121x g x x x D >>∈?∈?则恒成立均有 （6）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x min max 2121x g x x x D <<∈?∈?则恒成立均有

（7）;)()(g ,()()(,x x min max 2121C x g x C x g x g D <-<-∈?则常数）恒成立均有， 2.存在问题：

（1）;)(f ,)(f ,x ax 00A x A x D m >>∈?则成立使不等式 （2）;)(f ,)(f ,x in 00B x B x D m <<∈?则成立使不等式

（3）;0)(F ),()()(,)(g )(f ,x ax 000>∴-=>∈?m x x g x f x F x x D 则成立使不等式 （4）;0)(F ),()()(,)(g )(f ,x in 000<∴-=<∈?m x x g x f x F x x D 则成立使不等式 （5）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x min max 2121x g x x x D >>∈?∈?则恒成立均有 （6）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x max min 2121x g x x x D <<∈?∈?则恒成立均有 3.恰成立问题：

（1）；的解集为上恰成立，在区间不等式D )(f D )(f A x A x >?> （2）；的解集为上恰成立，在区间不等式D )(f D )(f B x B x

（1）{}{};)()(f ,)(g )(f ,E x ,x 2121x g x x x D ?=∈?∈?则成立使得总若 （2）{}{};)()(f ,)(g )(f ,E x ,x 2121φ≠=∈?∈?x g x x x D 则成立使得若 5.综合问题：

（1）;)(g )(f ,)(g )(f ,E x ,x min min 2121x x x x D >>∈?∈?则成立使得总若 （2）;)(g )(f ,)(g )(f ,E x ,x max max 2121x x x x D <<∈?∈?则成立使得总若

（3）;)()()()(,()()(,x ,x min max min max 2121???<-<-<-∈?∈?C

x g x f C x f x g C x g x f E D 则常数）恒成立均有

（4）;)()()()(,()()(,x ,x max min max in 2121???<-<-<-∈?∈?C

x g x f C

x f x g C x g x f E D m 则常数）成立使得

（5）;)()(,()()(,x x min max 2121C x g x g C x g x g D >->-∈?则常数）恒成立均有，

（6）;)()(f )()(,()()(f E x ,x min max min max 2121C x g x C x f x g C x g x D <->->-∈?∈?或则常数）成立，使得（7）;)(g )(,()()(f D x x min max 2121C x x g C x g x >->-∈?则常数）恒成立，都有，

（8）;)()()()(,()()(,x ,x max max min i 2121???<-<-<-∈?∈?C

x g x f C x f x g C x g x f E D n m 则常数）成立使得总

（9）;)()(g )()(f ,()()(f E x ,x max min max min 2121C x f x C x g x C x g x D >->->-∈?∈?或则常数）恒成立，都有（10）;)(f )(,()(f )(f E x D x min max 2121C x x f C x x >->-∈?∈?则常数）成立，使得，总

考点一.恒成立问题

命题点1.参变分离：简单最值

（1）设函数f(x)＝－x 3

＋3x ＋2，若不等式f(3＋2sin θ)

解：令x=3＋2sin θ∈[1,5]，从而只需m>f(x)max ，x ∈[1,5]，f ′(x)＝－3x 2

＋3，令f ′(x)＝0，x ＝±1，当x ∈[1,5]时，f ′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1,5]上为减函数，f(x)max ＝f(1)＝4，则m>4．

（2）设函数c x ++=bx f(x)2

，若对任意[]11

-,21，∈x x ，有4)()(f 21≤-x f x ，求b 的取值范围。 解：由题：f(x)max-f(x)min 《4，f(x)开口向上，对称轴为2

x b

-

=, 最大值必为f(-1)=1-b+c 或f(1)=1+b+c ， （1）若12b -1-≤≤,即-2≤b ≤2,则最小值为，即012-b 4-,44

1,4)2(f 22

2≤≤+-+-∴-=-b b c c b b c b , 则

-2≤b ≤6。 （2）若1-2

-12-

<>b

b 或,即b>2或b<-2,则|f(1)-f(-1)|=|2b|≤4,得|b|≤2, 矛盾（舍）。综合得b ：[-2,2]。 命题点2.参变分离：二阶求导与洛必达法则

秒杀：洛必达法则操作步骤（分离→构造→求导→抛弃→判断→洛必达→结论）

第一步：分离参数，得到）（x x r a ?)

(≥

≤

； 第二步：构造函数）

（x x r x g ?)

()(=；

第三步：证明)(x g 单调性；（求)(x g '，可能需要二次求导)(x g ''，直到可以判断导数正负终止，写出)(x g 单调区间，确定极值点0x x =）

第四步：判断当0x x →时，）（x x r x g ?)()(=

是否为00或∞

∞

型） 第五步：运用洛必达法则求)(x g 在0x x =处极限；（）（x x r x x ?)(lim 0→=）

（x x r x x ?''→)

(lim 0=

）

（x x r x x ?''''→)(lim 0……A =，直到代入x=a 有意义可求出极限为止。） 第六步：求出参数范围A a ≥

≤

（1）已知的取值范围。）恒成立，求，在（a x x

x x ∞+<-

=1a

ln )(f 2 解：22ln )(g ,ln a x x x x x x x -=->令，231ln )(g x x x -+='∴（单调性不确定则二阶求导），

6

1

x 061)(g ==-=

''，则x x x （单减），）单减，在（故∞+'<-=''≤''∴1)(,05)1()(g x g g x ，

1)1()(g 1)(,02)1()(g -=≤∴∞+<-='≤'∴g x x g g x ）单减，，在（故，则a>-1.

(2)已知的取值范围。

恒成立，求时，当a 0)(f 0x ,)1()(f 2

≥≥--=x ax e x x x

解：x x x x x 1e )(g ,1e a -=-≤令，1)1()(h ,1)1()(g 2+-=+-='x e x x

x e x x

x 令（单调性不确定则二阶求导）， 0)(g ,0)0(h )()(h 0x 0)(h ≥'=≥∴≥≥='∴x x h x xe x x 即单增，则时），（在，故g(x)单调递增，

g(x)》g(0)=

10

=(由洛必达法则），则a 《1. （3）已知函数()f x =e x (e x ﹣a)﹣a 2x ，若当x 》0时()0f x ≥成立，求a 的取值范围．

解：由题意得当0=x 时，R a ∈,当0＞x 时，max 2}1)1({x e x a x --≥，令x

e x x g x 1

)1()(2--=，2

231

)1-()(x

e x x x x g x +-+-='，令11)(23+-+--=x e x x x x ）（?，则x e x x x x )4-)(23++='（?0＜，则)(x ?在）（+∞,0上递减，故00)(=）（＜??x ，故0)(＜x g '，故)0()(m a x g x g ＜，又11

)

12(-lim 1)1(lim 2020=-+=--→→x x e x e x x x x x ，故1≥a 。

（4）设函数

()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，

求实数a 的取值范围。

解：由题意得当0=x 时，R a ∈,当0＞x 时，min })1ln()1({

x x x a ++≤，

令x

x x x g )1l n ()1()(++=，2)

1ln()(x x x x g +-='，令)1ln()(+-=x x x ?，则01

1-1)(＞+='x x ?，则)(x ?在）（+∞,0上递增，故00)(=）

（＞??x ，故0)(＞x g '，故)0()(min g x g ＞，又11

1

)1ln(lim )1ln()1(lim

00=++=++→→x x x x x x ，故1≤a 。

命题点3.斜率型求参数

（1）设函数f ()=ln x m x x +

，若对任意b>a>0，

f ()()

1b f a b a

-<-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：

22f ()()11

=k=14

b f a m m x x b a x x --≤∴≥-≥-。

（2）设函数21f ()=x 2ln x (2)2x m m x -+-，若对任意b>a>0，f ()()

b f a m b a

->-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：

2f ()()21=k=x-222

b f a m m m m x x b a x -+-≥∴≤-≤--。

命题点4.直接法求参数

（1）已知函数1f ()x x e ax -=+，若[)x 1,,()ln 1f x x a ?∈+∞+≥+恒成立，求a 的取值范围。 解：211

1

1

22

111g()ln 1(1)(),()0x x x x x e x e

ax x a x g x e

a g x e x x x

-----'''=++--≥∴=++=-=≥ [)g (x)1+g (x)g (1)=a+2'''∴∞≥在，单增，，

当a -2,g (x)0,g(x)g(1)=0'≥≥∴≥单增，原式成立；

当[)000000a<-2,x ,g(x )=0,1,x g (x )<0,(x ,)g (x)>0,g(x)min=g(x )(1)0g ''∈∈+∞∴<=时存在使当x ,当x ,，

不符合题意，则a 》-2. （2）设函数ln 1f ()1x x x x =

++，如果当x>0时且x 1≠时，ln k

f ()-1x x x x

≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 解：设222ln 1(1)(1)(1)(1)

g()()()(2ln ),h()2ln 11x k k x k x x f x x x x x x x x x

----=-+=+=+--令， 22

(1)+1+2x

h ()k 0h ()0,(0,1),()0,(1,),()0,(1)0()0k x x x x h x x h x h g x x

-''=≤<∈>∈+∞<>∴≥（），当时，， k 1h ()0,(1,),()0,(1)0()0x x h x h g x '≥>∈+∞>>∴<当时，；

1

0

),h ()0,()0,(1)0()01x x h x h g x k

'∈>>=∴<-当时，；综上k 《0。 命题点5.两函数法

（1）已知函数1

f ()x x e

ax -=+，若[)x 1,,()ln 1f x x a ?∈+∞+≥+恒成立，求a 的取值范围。

解：[)1

1f()+ln x 1ln (1)1,g()ln 1+x x x a e

x a x x e x --≥+∴+≥--+=+∞令在，单增，

h (1)11,1)k a x a --+=-(x)=恒过（，，-a 22a ∴≤≥-，则。

考点二。存在性问题

（1）设f(x)＝a x

＋xln x ，g(x)＝x 3－x 2

－3.

(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g(x 1)－g(x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；

(2)如果对任意的s ，t ∈????

??12，2都有f(s)≥g(t)成立，求实数a 的取值范围．

解：(1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g(x 1)－g(x 2)≥M 成立，等价于：[g(x 1)－g(x 2)]max ≥M ，

g(x)＝x 3－x 2－3，g ′(x)＝3x 2

－2x ＝3x ? ??

??x －23，

x 0 ? ??

??0，23 2

3 ? ??

??23，2 2 g ′(x) － 0

＋ g(x)

－3

递减

极(最)小值－85

27

递增

1

由上表可知：g(x)min ＝g ? ??

??23＝－8527，g(x)max ＝g(2)＝1，[g(x 1)－g(x 2)]max ＝g(x)max －g(x)min ＝11227，最大整数M ＝4.

(2)由题：在区间??????12，2上，函数f(x)》g(x)max 恒成立，由(1)知，在区间????

??12，2上，g(x)的最大值为g(2)＝1.∴

f(x)≥1恒成立，即a x

＋xln x 》1恒成立，则2a ln x x x ≥-，令h(x)=2

ln x x x -,x x x x --='ln 21)(h =0，

03ln 21)1(ln 2)(h 2,21<--=-+-=''???

???x x x 上，恒有在,则,1x 0)(h )(h ==''，则单调递减，令

x x h(x)在??

?

??1,21单调递增，在（1,2)单调递减，故h(x)max=h(1)=1，则a 》1.

（2）函数x x a ax x ln 2)12(2

1)(f 2

++-=

, 2()2g x x x =-, 若对任意(]10,2x ∈ ，均存在(]20,2x ∈，使得12()()f x g x <, 求a 的取值范围。

解：由题：min )()(f 21x g x <，1)1(min )(g 2-==g x ，

f(x)在x ∈ (0,2]恒成立,即224ln 2x 4x x a x -->

-=h(x),则a>h(x)max,得22

2(2)(4ln 2)

()(x 4)x x x h x x ---'=-,

令f(x)=4lnx-x-2,得)(f x '=

x 4-1=x

x -4,当x ∈ (0,2], )(f x '>0得f(x)单调递增, 则f(x)0, h(x)单调递增,∴h(x)max=h(2)=ln2-

21，则a>ln2-2

1

。 （3）已知函数x

x --=27x 4)(f 2，设a ≥1函数g(x)=a x a 23x 2

3--,若对任意1x ∈[0,1]总存在[]1,0x 0∈,使

)()(g 10x f x =成立,求a 的取值范围。

解：[实际上就是要求g(x)的值域包含（》）f(x)的值域] :

)(f x '=2

2x)

-2()7(4x x)-8x(2-+=2-2)

12)(72(-）（x x x --，x ∈[0,1],当121≤0,f(x)增, 当21x 0<

≤,)(f x '<0,f(x)减,当x=2

1

,f(x)min=f(21)=-4 ，f(0)=-27,f(1)=-3 ∴f （x ）值域：[-4,-3];

)(g x '=2233a x -=3(x+a)(x-a),x ∈[0,1],a ≥1，)(g x '<0,g(x)单调递减，g(0)=-2a ≥-3,a 2

3≤

，g(1)=1-32

a -2a ≤-4,即a ≥1或a ≤35-

∴综上1≤a ≤2

3

。 （4）已知函数f （x ）=x e t x x )36(x 23++-，若存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，不等式f （x ）≤x 恒成立，试求正整数m 的最大值．

解：不等式f （x ）≤x ，等价于x e t x x )36(x 23++-≤x ，即t ≤x x x e x

36x 23-+--．

即当t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，不等式t ≤x x x e x

36x 23-+--恒成立．

则0≤x x x e

x

36x 23-+--在x ∈[1，m]上恒成立．即0≤36e 2-+--x x x 在x ∈[1，m]上恒成立．

设φ（x ）=36e

2-+--x x x

，则φ′（x ）=62e -+--x x ，设r （x ）=φ′（x ）=62e -+--x x ，则r ′（x ）=2e --x ．

1≤x ≤m ，∴r ′（x ）＜0．所以r （x ）在区间[1，m]上是减函数．又r （1）=4-e-1＞0，r （2）=2-e-2＞0，r

（3）=-3-3＜0，故存在0x ∈（2，3），使得r （0x ）=φ′（0x ）=0． 当1≤x ＜0x 时，有φ′（x ）＞0，当x ＞0x 时，有φ′（x ）＜0． 从而y=φ（x ）在区间[1，0x 】上递增，在区间[0x ，+∞）上递减．

又φ（1）=e-1+4＞0，φ（2）=e-2+5＞0，φ（3）=e-3+6＞0，φ（4）=e-4+5＞0，φ（5）=e-5+2＞0，φ（6）=e-6-3＜0．所以，当1≤x ≤5时，恒有φ（x ）＞0；当x ≥6时，恒有φ（x ）＜0．故使命题成立的正整数m 的最大值为5．

（5）已知f(x)=ln(1+x) ，g(x)=kx 确定k 的值 ，使得存在t>0 对任意x ∈ (0 ，t)， 恒有丨f(x)-g(x)丨<2

x 。

解：当k>1时，g(x)>x>f(x),(画函数图象得），丨f(x)-g(x)丨=kx-ln(1+x),令h(x)=kx-ln(1+x)-2

x ,则

x x k x 211)(h -+-='=x 11

)2(22+-+-+-k x k x ，当x )4

)1(8)2(2,0(2-+-+-∈k k k 时，)(x h '>0,.单调递增，

故h(x)>h(0)=0,即丨f(x)-g(x)丨>2

x ,满足题意t 不存在。

当k<1时，存在0x >0,使得对任意的x ∈(0,0x ),f(x)>g(x),则丨f(x)-g(x)丨=ln(1+x)-kx ，令m(x)=ln(1+x)-kx-2

x ,

则x k 2x 11

(x)m --+='，故当x ∈4)1(8)2(2)k -02k k -++++（，（)时，)(m x '>0,单调递增，则m(x)>m(0)=0.即丨f(x)-g(x)丨>2

x ，记0x 与4

)

1(8)2(2)k -02k k -++++（，

（中较小的为1x ， 则当x ∈(0,1x )时，恒有丨f(x)-g(x)丨>2

x ，故满足题意t 不存在。 当k=1时，丨f(x)-g(x)丨=x-ln(1+x),令n(x)=x-ln(1+x)-2

x ,则x x

x 211

1)(n -+-='<0，单调递减，故n(x)0时，恒有丨f(x)-g(x)丨<2

x ,此时t 满足。 综上，k=1.