恒成立与存在性问题的解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略

一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型

1、恒成立问题的转化：恒成立；()a f x >⇒()max a f x >()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：能成立；()a f x >⇒()min a f x >()()max

a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：在M 上恰成立的解集为M

()a f x >⇔()a f x >()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：若在D 上恰成立，等价于在D 上的最小值，

A x f D x ≥∈)(,)(x f A x f =)(min 若在D 上恰成立，则等价于在D 上的最大值.

,D x ∈B x f ≤)()(x f B x f =)(max 4、设函数、，对任意的，存在，使得，则

()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()

x g x f min min ≥5、设函数、，对任意的，存在，使得，则

()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()

x g x f max max ≤6、设函数、，存在，存在，使得，则()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥7、设函数、，存在，存在，使得，则()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()

x g x f max min ≤8、设函数、，对任意的，存在，使得，设f(x)()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f =在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B.

9、若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函()()f x g x >()y f x =数图象上方；

()y g x =10、若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在()()f x g x <()y f x =函数图象下方；

()y g x =恒成立问题的基本类型

在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.

函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…

恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起

到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。

二、恒成立问题解决的基本策略

大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。

（一）两个基本思想解决“恒成立问题”

思路1、 max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min

)]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值。

这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。

（二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题

等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.

例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.

8

π

-A .1

B .-1

C .

D . -.

22略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.

4

π

-

4

π

-

此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.

例（备用）．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )

A.10

B.7

C.-1

D.0

略解：取x=0，则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ，故选D （三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：

若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有

)(0)(>>n f m f 0

)(0)(<