函数恒成立存在性问题1

函数恒成立存在性问题

知识点归纳梳理

1、恒成立问题的转化：a f (x)恒成立a f (x)max；a f (x)恒成立a f (x)min

2、能成立问题的转化：a f (x)能成立a f (x)min；a f (x)能成立a f (x)max

3、恰成立问题的转化：a f (x)在M上恰成立a f (x)的解集为M a f (x)在M上恒成立

另一转化方法：若x D, f(x)A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值f min (x) = A，若x D, f (x) B在D上恰成立，则等价于f(x)在D上的最大值f max(x)=B.

4、设函数f (x)、g(x)，对任意的x1a , b，存在x2c , d，使得f(x1)g(x2)，则

f min(x)

g min(x)

5、设函数f (x)、g(x)，对任意的x1a , b，存在x2c , d，使得f (x1)g(x2)，则

f max(x)

g max(x)

6、设函数f(x)、g(x)，存在x1a,b，存在x2c,d，使得f(x1)g(x2)，则

f max(x)

g min(x) 7、设函数f(x)、g(x)，存在x1a,b，存在x2c,d，使得f(x1)g(x2)，则f min(x)g max(x) 8、若不等式f (x)g(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数y= f ( x)和图象在函数y= g ( x)图象上方；

9、若不等式f (x)g(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数y= f ( x)和图象在函数y=

g ( x)图象下方；

例题讲解：

题型一、常见方法

a

1、已知函数f(x) = x2-2ax+1，g(x) = a，其中a0，x0．

x

1)对任意x[1,2] ，都有f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围； 2)对任意x1[1,2],x2[2,4]，都有

f(x1)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围；a 1 1

2、设函数h(x) = a +x+b，对任意a[1,2]，都有h(x)10在x[1,1]恒成立，求实数b的取值范围．x 2 4

3、已知两函数f(x)=x2，g(x)=1 -m，对任意x10,2，存在x21,2，使得f(x1)g(x2)，则

实数 m 的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)

1、对于满足p2的所有实数p,求使不等式x2+ px+1p + 2 x恒成立的x的取值范围。

2、已知函数f (x) = ln(e x + a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g ( x) =f ( x) +sin x是区间-1,1上的减函数，

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若g(x)t2+t+1在x-1,1上恒成立，求t的取值范围；题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来) 1、当x(1,2)时，不等式x2+mx+40恒成立，则m的取值范围是 .

题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法))

1、若对任意x R ,不等式| x |ax恒成立，则实数a的取值范围是_______

2、已知函数f(x)=x2-2kx+2，在x-1恒有f(x)k，求实数k的取值范围。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法：

方法：若在区间D上存在实数x使不等式f (x)A成立,则等价于在区间D上f (x)max A；若在区

间D上存在实数x使不等式f ( x) B成立,则等价于在区间D上的f (x) B.

1、存在实数x，使得不等式x+3+ x-1a2-3a有解，则实数a的取值范围为_____ 。

2、已知函数f (x)=ln x-1ax2- 2x(a0)存在单调递减区间，求a的取值范围

恒成立与有解的区别：

恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。①不等式f (x) M对x I时恒成立f max(x) M^，x I。即f (x)的上界小于或等于M；②不等式f (x)M对x I时有解f (x)M^，x I。或f (x)的下界小于或等于M；③不等式f (x) M对x I时恒成立f min(x) M^，x I。即f (x)的下界大于或等于M；④不等式f (x) M对x I时有解f max(x) M，x I.。或f (x)的上界大于或等于M；

课后作业：

1、设a1，若对于任意的x[a,2a]，都有y[a,a2]满足方程log a x + log a y = 3，这时a的取值集合为( )

(A){a|1a2} (B){a|a2} (C){a | 2a3} (D){2,3}

x-y0

2、若任意满足x+y-50的实数x, y，不等式a(x2+y2)(x+y)2恒成立，则实数a的最大值是 ___ . y-30

3、不等式sin2x - 4sin x +1- a0有解，则a的取值范围是

4、不等式ax x(4-x) 在x0,3内恒成立，求实数a的取值范围。

5、已知两函数f(x)=7x2-28x-c，g(x)=2x3+4x2-40x。

(1)对任意x-3,3，都有)成f (x)g(x)立，求实数c的取值范围；

(2)存在x-3,3，使成立f(x)g(x)，求实数c的取值范围；

(3)对任意x1,x2-3,3，都有f(x1)g(x2)，求实数c的取值范围；

(4)存在x1 , x2 -3,3，都有f ( x1 ) g ( x2 ) ，求实数c的取值范围；

6、设函数f (x)=-1x3+2ax2-3a2x+b (0a1,b R).

(Ⅰ)求函数f(x) 的单调区间和极值；

(Ⅱ)若对任意的x[a +1,a + 2],不等式f(x) a成立，求a的取值范围。

7、已知 A、B、C是直线上的三点，向量O→A，O→B，O→C满足：OA-y+2f(1)OB+ln(x +1)OC=0.

2x

(1)求函数 y＝f(x)的表达式；(2)若 x>0，证明：f(x)>x＋2；

(3)若不等式1 x2f(x2)+m2-2bm-3时，x-1,1及b-1,1都恒成立，求实数m的取值范围．

8、设f(x)=px- q-2lnx，且f(e)=qe-p- 2 (e为自然对数的底数)

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