恒成立和存在性问题的解题策略
恒成立与存在性问题方法总结
三一文库（）/总结〔恒成立与存在性问题方法总结〕高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点，恒成立与存在性问题的处理途径有多种，下面是小编整理的恒成立与存在性问题方法总结，欢迎来参考！▲一、构建函数构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。
1、构建一次函数众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。
例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求实数k的取值范围。
第1页共5页解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x）在x∈（-2，2）内恒为正。
若k=0，则f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f（2）＞0，解之得k∈（- ，+∞）。
例2：对≤2的一切实数，求使不等式2x-1＞（x -1）都成立的x的取值范围。
解：原问题等价于不等式：（x -1）-（2x-1）＜0，设f（）=（x -1）-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（）或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。
（1）当x -1=0时，x=±1。
当x=1时，f（）＜0恒成立；当x=-1时，f（）＜0不成立。
（2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（）＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上，所求的x∈（）。
2、构建二次函数二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本复杂的问题变得容易解决。
例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a的取值范围。
高一函数恒成立与存在性问题
高一函数恒成立与存在性问题本文主要介绍了数学中恒成立与存在性问题的基础知识和解决方法。
其中恒成立问题包括六种情况，分别是当a大于所有f(x)时，a也大于f(x)的最大值；当a小于所有f(x)时，a也小于f(x)的最小值；当g(x)大于f(x)时，g(x)-f(x)大于0；当g(x)小于f(x)时，g(x)-f(x)小于0；当f(x1)大于g(x2)时，f(x1)也大于g(x2)的最大值；当f(x1)小于g(x2)时，f(x1)也小于g(x2)的最小值。
存在性问题同样包括六种情况，与恒成立问题类似。
此外，还介绍了恒成立与存在性混合不等式问题和恒成立与存在性混合等式问题，以及解决这些问题的方法。
对于恒成立问题，可以采用反证法或数学归纳法；对于存在性问题，可以采用构造法或反证法。
在解决问题时，需要注意精确表述和符号运用。
例四：1) 当$x\in(1,2)$时，不等式$(x-1)^2<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。
改写后：对于$x\in(1,2)$，使得$(x-1)^2<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。
2) 当$x\in(0,\infty)$时，不等式$4x<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。
改写后：对于$x\in(0,\infty)$，使得$4x<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。
3) 已知$f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$，$g(x)=2x-2$。
若对于所有$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x)g(x)$，则$m$的取值范围是什么？改写后：已知$f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$，$g(x)=2x-2$。
若对于所有$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x)g(x)$，求$m$的取值范围。
题：1.当$x\in(-\infty,-1]$时，不等式$(m^2-m)4x-2x<0$恒成立，求实数$m$的取值范围。
高中数学x恒成立、存在性问题解决办法
恒成立、存在性问题解决办法总结1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m i n ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m ax ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围． 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数） 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m题型二、更换主元法1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
恒成立问题
恒成立、存在性问题对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。
如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。
现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。
方法1：分离参数法例1.设函数f(x)=lnx-ax, g（x）=ex-ax，其中a为实数。
若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围。
解：因为f`(x)=-a,g`(x)=ex-a,由题意得f`（x）≤0对x∈(1,+∞)恒成立，即a≥对x∈(1,+∞)恒成立，所以a≥1。
因为g`(x)=ex-a在x∈(1,+∞)上是单调增函数，所以g`(x)>g`(1)=e-a。
又g(x)在(1,+∞)上有最小值，则必有e-a<0，即a>e。
综上，可知a的取值范围是(e,+∞)。
点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。
在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。
一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。
方法2：构造函数法例2.已知函数f(x)=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是()。
A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.［-2，1］D.[-2，0]解：当x≤0时,|f(x)|≥axx2－(2+a)x≥0，对x≤0恒成立。
记g(x)=x2－(2+a)x=（x-）2-。
当<0即a<－2时,g(x)的最小值为－，不可能满足条件。
当≥0即a≥－2时,g(x)的最小值为0，满足题意。
当x>0时,|f(x)|≥axln(1+x)－ax≥0a≤，对x>0恒成立。
令θ(x)=，则θ`(x)=。
设t=x+1,则t>1。
记L(t)=-lnt,则L`(t)=<0,所以L(t)在t∈(1,+∞)上为减函数。
恒成立问题及存在性问题的解题策略
ｘ ￣－
５ ｘ４ －６ ＞０
将不 等式 恒成 立 问题 转 化 为 函数 求 最 值 问题 ， 是
ｇ
１ （ ） ＞ 。 ，
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３ ３ ｚ ｚ ＋２ ＞ ｏ。 。
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解决 恒成 立 问题最 常用 的方 法． 一 般 的题 型 有 如 下 ２ 种： ① 不等式 － 厂 （ ） ＞Ａ 在 区间 Ｄ 上 恒 成 立∞ 在 区间 Ｄ上 ＿ 厂 （ ） ＞ Ａ∞ 厂（ ｚ ） 的下 界 大 于 Ａ；② 不 等 式
解 析 当ｚ — ｏ 时 ， 厂 （ ｚ ） 一 １ ≥ ｏ 成 立， ｎ Ｅ Ｒ ． 当ｘ Ｅ 恒成立问 题及存在性 Ｑ
（ ０ ， ＋ｃ ｘ ３ ） 时， 厂 （ ） 一ｅ ｚ 一口 ｚ ≥０成 立 ， 即 Ｅ
＋ｏ ｏ ） 时， 都有 ／ ’ （ ｚ） ≥ ０成 立 ， 求 实数 的取 值 范 围．
” ０ ， 解得 ｚ 一０或 一 或ｚ ： ＝ ． 对区间［ 一 一÷， ， ＿ 去 Ｉ ］ 分
２ 种 情况讨 论 ：
运 用这种 方 法解决 恒 成立 问题 的步骤 是 ： 将参 数 与变量 分 离 ， 化为 ｇ （ ） ≥厂（ ｚ ） （ 或ｇ （ ） ≤ 厂 （ ） ） 恒 成立 的形 式 ； 求． 厂 （ ｚ ） 在 ｚ∈Ｄ 上 的最 大 （ 或 最 小） 值； 解 不 等 式 ｇ（ ） ≥ｆ （ ｚ ）（ 或 ｇ（ ） ≤
ｚ 一１ 处取 得 最小值 ｇ（ １ ） ＝ ＝ ： ｅ ． 则 口 ≤ｅ ．
含 参 数 不等 式 的恒 成 立 问题 及 存 在 性 问 题 是 历
年 高考 的热点 ， 特 别是 以导 数 为背 景 的题 型更 是 在 高
给定区间恒成立问题解题方法
给定区间恒成立问题解题方法给定区间恒成立问题解题方法引言：在数学领域中，给定区间恒成立问题是一类常见的问题。
这类问题通常要求我们找到一个区间或者一组数的范围，使得某个特定条件在这个范围内恒成立。
解决这类问题需要采用一定的方法和技巧，而本文将介绍几种常见有效的解题方法。
一、直接推导法直接推导法是解决给定区间恒成立问题的一种常见方法。
它的基本思路是通过推导和分析题目中给出的条件，逆向思维来证明目标区间满足题目要求。
具体步骤如下：1. 分析题目中给出的条件和要求，理清思路。
2. 利用已知条件逐步推导出目标区间满足特定条件的表达式。
3. 对推导出的表达式进行计算和简化，得到最终的结果。
举例说明：假设题目中给出的条件是要求证明在区间[a, b]内，某个函数f(x)始终大于0。
我们可以通过直接推导法来解决这个问题。
步骤如下：1. 分析题目中给出的条件，即f(x)始终大于0。
2. 利用已知条件，假设存在一个x值在[a, b]之间，使得f(x)小于等于0。
3. 根据这个假设，我们可以推导出一个不等式：f(x)<=0。
4. 由于题目要求f(x)始终大于0，而根据推导的不等式，存在矛盾。
5. 根据直接推导法，我们可以得出结论：在区间[a, b]内，f(x)始终大于0。
通过这个例子，我们可以看到直接推导法的基本思路和步骤。
它通过逆向思维，根据已知条件和简化后的表达式，推导出目标区间满足题目要求的结论。
二、反证法反证法是求解给定区间恒成立问题的另一种常用方法。
它的基本思路是通过假设目标区间不符合题目要求的条件，然后推导出矛盾的结论，从而证明目标区间一定满足题目要求。
具体步骤如下：1. 分析题目中给出的条件和要求，理清思路。
2. 假设目标区间不符合题目要求的条件，即存在一个特定的情况使得目标区间不满足题目要求。
3. 运用已知条件和推导过程，推导出一个矛盾的结论。
4. 由此得出结论：目标区间一定满足题目要求。
举例说明：假设题目中给出的条件是要求证明在区间[a, b]内，某个函数g(x)是递增的。
恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立,等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ,若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立,则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f =,设fx 在区间a,b 上的值域为A,gx 在区间c,d 上的值域为B,则AB. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用;因此也成为历年高考的一个热点;恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象; 二、恒成立问题解决的基本策略大家知道,恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题;等式中的恒成立问题,特别是多项式恒成立问题,常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的; 一两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数fx 的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数fx 的最值;这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现的试题类型,希望同学们在日常学习中注意积累; 二、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．如果函数y=fx=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称,那么a= .C .2D . -2.略解：取x=0及x=4π-,则f0=f 4π-,即a=-1,故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例备用．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= x+14+b 1x+13+ b 2x+12+b 3x+1+b 4 定义映射f ：a 1,a 2,a 3,a 4→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：4,3,2,1 →略解：取x=0,则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ,故选D 三分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本的解题策略 1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷 给定一次函数y=fx=ax+ba≠0,若y=fx 在m,n 内恒有fx>0,则根据函数的图象直线可得上述结论等价于0)(0)(>>n f m f 同理,若在m,n 内恒有fx<0,则有 0)(0)(<<n f mf恒成立的x 的x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在-2,2内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为x-1a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设fa= x-1a+x 2-2x+1,则fa 在-2,2上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x∈－∞,－1∪3,+∞此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n 上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方或下方即可. 2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体的方法,在今后的解题中自觉运用;1若二次函数y=ax 2+bx+ca≠0大于0恒成立,则有00<∆>且a2若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根的分布知识求解;类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在R 上恒成立,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；2R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ;类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间],[βα上恒成立（1）当0>a时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或, ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 -∞ , 上恒成立; fx>0a>0且<0或-b/2a>且f>0 fx<0a<0且<0或-b/2a>且f<0类型4：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 ,+∞上恒成立; fx>0a>0,<0或-b/2a<且f>0 fx<0a<0,<0或-b/2a<且f<0例3． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R,求实数 a 的取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立, 所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a 有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,fx 的定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 图所分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方,如右示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 范变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值围.解析一. 零点分布策略 本题可以考虑fx 的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(22f f a ,即a 的取值范围为-7,2.解法二分析：运用二次函数极值点的分布分类讨论要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.略解：分类讨论22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a-<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥ 73a ∴≤ 又4a >a ∴不存在.⑵当222a-≤-≤,即44a -≤≤时,2()()3024a a g a f a ==--+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <-74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 的取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.例2 已知a ax x x f -++=3)(2,若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立,求a 的取值范围. 略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立. ⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：运用二次函数极值点的分布⑴当22a-<-,即4a >时,()(2)732g a f a =-=-≥ ()54,3a ∴≤∉+∞ a ∴不存在.⑵当222a-≤-≤,即44a -≤≤时,2()()3224a a g a f a ==--+≥,⑶当22a ->,即4a <-时,()(2)72g a f a ==+≥, 综上所述2225-≤≤-a .此题属于含参数二次函数,求最值时,对于轴变区间定的情形,对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法如例4、例5,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解;运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有fx>ga 恒成立,则ga<fx min ;若对于x 取值范围内的任何一个数,都有fx<ga 恒成立,则ga>fx max .其中fx max 和fx min 分别为fx 的最大值和最小值例5.已知三个不等式①0342<+-x x ,②0862<+-x x ,③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③,求m 的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时满足①②的所有x 的值满足③, 即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立, 即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立,又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x 所以 9≤m例 6. 函数)(x f 是奇函数,且在]1,1[-上单调递增,又1)1(-=-f ,若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立,求t 的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称,,1)1(=f 又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此,只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1,都成立对所有又]1,1[-∈a ,即关于a 的一次函数在-1,1上大于或等于0恒成立, 即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题 补例． 已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围．解：当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||bx a x--< 即b b x a x x x +<<-故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x-==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +-．②当10b -≤<,在(]0,1上,()b h x x x=-≥当x b =-时,min ()2bx b x-=-,此时要使a 存在,必须有1210b bb ⎧+<-⎪⎨-≤<⎪⎩ 即1223b -≤<-,此时a 的取值范围是(1,2)b b +-综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-；当1223b -≤<-时,a 的取值范围是(1,2)b b +-；当2230b -≤<时,a 的取值范围是∅．4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数fx 是奇偶函数,则对一切定义域中的x ,f-x=-fx f-x=fx 恒成立；若函数y=fx 的周期为T,则对一切定义域中的x,fx=fx+T 恒成立; 5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果;尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷;例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值,画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=2321121321x x x x x x y在直角坐标系中画出图象如图所示,由图象可看出,要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立，只需3-<a .故实数.3），的取值范围是（-∞-a 注：本题中若将a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21改为 ①a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数<--+21,同样由图象可得a>3; ②a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>-++21,构造函数,画出图象,得a<3.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.例8. 设常数a∈R,函数fx=3|x|+|2x-a|,gx=2-x.若函数y=fx 与y=gx 的图像有公共点,则a 的取值范围为 ;解：1a<=0x<=a/2<=0时,fx=-3x+-2x+a=-5x+aa/2<=x<=0时,fx=-3x+2x-a=-x-ax>=0时,fx=3x+2x-a=5x-a,最小值为-a<=2则与gx 有交点,即：-2<=a<=0;2a>0x<=0时,fx=-3x+-2x+a=-5x+a0<=x<=a/2时,fx=3x+-2x+a=x+ax>=a/2时,fx=3x+2x-a=5x-a 最小值a<=2时与gx 有交点,即：0<a<=2综上所述,-2<=a<=2时fx=3|x|+|2x-a|与gx=2-x 有交点;三、在恒成立问题中,主要是求参数的取值范围问题,是一种热点题型,介绍一些基本的解题策略,在学习中学会把问题分类、归类,熟练基本方法;一换元引参,显露问题实质 1、对于所有实数x,不等式恒成立,求a 的取值范围;解：因为的值随着参数a 的变化而变化,若设, 则上述问题实质是“当t 为何值时,不等式恒成立”;这是我们较为熟悉的二次函数问题,它等价于 求解关于t 的不等式组：; 解得,即有,易得;2、设点Px,y 是圆4)1(22=-+y x 上任意一点,若不等式x+y+c ≥0恒成立,求实数c 的取值范围;二分离参数,化归为求值域问题 3、若对于任意角总有成立,求m 的范围;解：此式是可分离变量型,由原不等式得,又,则原不等式等价变形为恒成立; 根据边界原理知,必须小于2cos cos )(2+=θθθf 的最小值,这样问题化归为怎样求的最小值;因为2cos cos )(2+=θθθf即时,有最小值为0,故;三变更主元,简化解题过程 4、若对于,方程都有实根,求实根的范围;解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根,再由m 的范围来确定根x 的范围,但这样会遇到很多麻烦,若以m 为主元,则,由原方程知,得又,即解之得或;5、当1≤a 时,若不等式039)6(2>-+-+a x a x 恒成立,求x 的取值范围; 四图象解题,形象直观6、设]40(，∈x ,若不等式ax x x >-)4(恒成立,求a 的取值范围;解：若设)4(1x x y -=,则为上半圆;设,为过原点,a为斜率的直线;在同一坐标系内作出函数图象依题意,半圆恒在直线上方时,只有时成立,即a的取值范围为;7、当x∈1,2时,不等式x-12<logax恒成立,求a的取值范围;解：设y1=x-12,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x∈ 1,2,y1<y2恒成立,显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值;故loga2>1, ∴ 1<a<2.8、已知关于x的方程lgx2+4x-lg2x-6a-4=0有唯一解,求实数a的取值范围;分析：方程可转化成lgx2+4x=lg2x-6a-4,从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可;解：令y1=x2+4x=x+22-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是k=2,而截距不定的直线,要使y1和y2在x轴上方有唯一交点,则直线必须位于l1和l2之间;包括l1但不包括l2当直线为l1时,直线过点-4,0,此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2-;当直线为l2时,直线过点0,0,纵截距为-6a-4=0,a=32-∴a的范围为)32,2[--五合理联想,运用平几性质9、不论k为何实数,直线与曲线恒有交点,求a的范围;分析：因为题设中有两个参数,用解析几何中有交点的理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难的;若考虑到直线过定点A0,1,而曲线为圆,圆心Ca,0,要使直线恒与圆有交点,那么定点A0,1必在圆上或圆内;解：,Ca,0,当时,联想到直线与圆的位置关系,则有点A0,1必在圆上或圆内,即点A0,1到圆心距离不大于半径,则有,得;六分类讨论,避免重复遗漏10、当时,不等式恒成立,求x 的范围;解：使用的条件,必须将m 分离出来,此时应对进行讨论;①当时,要使不等式恒成立,只要, 解得;②当时,要使不等式恒成立,只要,解得;③当时,要使恒成立,只有; 综上①②③得;解法2：可设,用一次函数知识来解较为简单;我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元,即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ,；令)12()1()(2---=x x m m f ,则22≤≤-m 时,0)(<m f 恒成立,所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ,所以x 的范围是)231,271(++-∈x ;此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n 上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方或下方即可.11、当31<<x 时,不等式0622>+-ax x 恒成立,求实数a 的取值范围; 解：xx a 32+<当31<<x 时,623232=≥+x x ,当x x 32=,即6=x 时等号成立;故实数a 的取值范围:6<a 七构造函数,体现函数思想12、1990年全国高考题设,其中a 为实数,n 为任意给定的自然数,且,如果当时有意义,求a 的取值范围; 解：本题即为对于,有恒成立;这里有三种元素交织在一起,结构复杂,难以下手,若考虑到求a 的范围,可先将a 分离出来,得,对于恒成立;构造函数,则问题转化为求函数在上的值域;由于函数在上是单调增函数,则在上为单调增函数;于是有的最大值为：,从而可得;八利用集合与集合间的关系在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含关系来求解,即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦,则()f a m ≤且()g a n ≥,不等式的解即为实数a 的取值范围;例13、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,log 1a x <恒成立,求实数a 的取值范围;解：1log 1a x -<<（1） 当1a >时,1x a a <<,则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥（2） 当01a <<时,1a x a <<,则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤综上所得：103a <≤或3a ≥ 四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的;1、已知函数12)(2+-=ax x x f ,xax g =)(,其中0>a ,0≠x ． 对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ,都有)()(21x g x f >恒成立,求实数a 的取值范围；分析：思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值,即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：令na=g max x=a/2；令ma=f min x,fx=x-a 2+1-a 2,故1对称轴x=a<1,即或0<a<1时,ma= f min x=f1=2-2a,由ma>na 解得a<4/5,注意到a 的范围从而得a 的范围：0<a<4/5;2对称轴x=a>2时,ma= f min x=f2=5-4a,由ma>na 解得a<10/9,注意到a 的范围从而得a 无解：;3对称轴x=a∈1,2时,ma= fminx=fa=2-2a,由ma>na 解得4171+->a 或4171--<a ,注意到a 的范围从而得a 的范围21≤<a ：;; 综合123知实数a 的取值范围是：0,4/5∪1,2 2、已知两函数2)(x x f =,m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(,对任意[]2,01∈x ,存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥,则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ,存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0,既041≤-m ,∴41≥m题型二、主参换位法已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数题型三、分离参数法欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来 题型四、数形结合恒成立问题与二次函数联系零点、根的分布法 五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.1、存在实数x ,使得不等式2313x x a a ++-≤-有解,则实数a 的取值范围为______; 解：设()31f x x x =++-,由()23f x a a ≤-有解,()2min3a a f x ⇒-≥, 又()()31314x x x x ++-≥+--=,∴234a a -≥,解得41a a ≥≤-或;1、求使关于p 的不等式x p px x 212+<++在p ∈-2,2有解的x 的取值范围;解：即关于p 的不等式012)1(2<+-+-x x p x 有解,设()()2121f p x p x x =-+-+,则()f p 在-2,2上的最小值小于0;1当x>1时,fp 关于p 单调增加,故f min p=f-2=x 2-4x+3<0,解得1<x<3;2 当x<1时,fp 关于p 单调减少,故f min p=f2=x 2-1<0,解得-1<x<1； 3当x=1时,fp=0,故f min p=fp<0不成立;综合123知实数x 的取值范围是：-1,1∪1,3例、设命题P:x1,x2是方程x 2-ax-2=0的二个根,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a∈-1,1恒成立；命题Q ：不等式|x-2m|-|x|>1m>0有解；若命题P 和命题Q 都是真命题,求m的值范围;解：1由P 真得：8||221+=-a x x ,注意到a 在区间-1,1, 3||max 21=-x x ,由于|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a∈-1,1恒成立,故有3|||35|max 212=-≥--x x m m解得： m≤-1或m≥6或0≤m≤51由Q 真,不等式|x-2m|-|x|>1m>0有解,得|x-2m|-|x|max =2m>1,解得：m>1/2 由于12都是相公命题,故m 的值范围：1/2<m≤5或m≥6.举例1已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x 恒成立,求实数a 的取值范围. 2若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立,求实数x 的取值范围. 分析：1由0224>+⋅-x x a 得：xx a 222+<对于+∞-∈,1[x 恒成立,因212≥x,所以22222≥+xx ,当22=x时等号成立.所以有22<a . 2注意到0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a 的一次不等式.不妨设)24(2)(++⋅-=x x a a f ,则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减,则问题等价于0)3(>f ,所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ,则x 取值范围为),1()0,(+∞-∞ .小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体;①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<,x I ∈;即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<,x I ∈; 或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>,x I ∈;即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ⇔>,x I ∈.; 或()f x 的上界大于或等于M ；高中数学难点强化班第四讲140709课后练习答案：一．填空选择题每小题6分,共60分1、对任意的实数x ,若不等式a x x >--+21恒成立,那么实数a 的取值范围 ;答案：|x+1|-|x-2| -|x+1-x-2|=-3,故实数a 的取值范围：a<-3 2、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解,则a 的取值范围是解：原不等式有解()()22sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ⇒>-+=---≤≤有解,而()2minsin 232x ⎡⎤--=-⎣⎦,所以2a >-;3.若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是 A 1a <- B ||1a ≤ C ||1a < D 1a ≥ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立 则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤;答案：选B4．当(1,2)x ∈时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 .解析: 当(1,2)x ∈时,由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x+==+,则易知()f x 在(1,2)上是减函数,所以[1,2]x ∈时()(1)5maxf x f ==,则2min 4()5x x+->-∴5m ≤-.5．已知不等式223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0)a ∈+∞，都成立,那么实数x 的取值范围为 ．分析：已知参数a 的范围,要求自变量x 的范围,转换主参元x 和a 的位置,构造以a 为自变量x 作为参数的一次函数()g a ,转换成∀(0)a ∈+∞，,()0g a >恒成立再求解;解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立,即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立;设22()(2)2g a x a x x =+--a R ∈,则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数;220x +>恒成立,则对∀x R ∈,()g a 为R 上的单调递增函数; 所以对∀(0)a ∈+∞，,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥,220x x --≥,∴20x -≤≤,于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤;6．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=,若对于任一实数x ,()f x 与()g x 的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 A ．0,2 B ．0,8 C ．2,8 D ．－∞,0分析：()f x 与()g x 的函数类型,直接受参数m 的影响,所以首先要对参 数进行分类讨论,解析：当0m =时,()810f x x =-+>在1(,)8-∞上恒成立在R 上恒成立,显然不满足题意；如图1当0m <时,()g x 在R 上递减且()0g x mx =>只在(,0)-∞而()f x 是一个开口向下且恒过定点0,1的二次函数,当0m >时,()g x 在R 上递增且()0g x mx =>在(0,)+∞而()f x 是一个开口向上且恒过定点0,1的二次函数,数x ,()f x 与()g x 的值至少有一个为正数则只需()0f x >在(-∞恒成立;如图3则有24024(4)80m m m m -⎧<⎪⎨⎪∆=--<⎩或402m m -≥解得48m <<或04m <≤, 综上可得08m <≤即(0,8)m ∈; 故选B;７、已知两函数()2728f x x x c =--,gx=6x 2-24x+21;1对任意[]3,3x ∈-,都有()()f x g x ≤成立,那么实数c 的取值范围 c ≥0 ； 2存在[]3,3x ∈-,使()()f x g x ≤成立,那么实数c 的取值范围 c ≥-25 ； 3对任意[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f xg x ≤,那么实数c 的取值范围 c ≥150 ； 4存在[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f xg x ≤,那么实数c 的取值范围 c ≥-175 ；解析：1设()()()322312h x g x f x x x x c =-=--+,问题转化为[]3,3x ∈-时,()0h x ≥恒成立,故()min 0h x ≥;令()()()266126120h x x x x x '=--=+-=,得1x =-或2;由导数知识,可知()h x 在[]3,1--单调递增,在[]1,2-单调递减,在[]2,3单调递增,且()345h c -=-,()()17h x h c =-=+极大值,()()220h x h c ==-极小值,()39h c =-,∴()()min 345h x h c =-=-,由450c -≥,得45c ≥;2据题意：存在[]3,3x ∈-,使()()f x g x ≤成立,即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解,故()max 0h x ≥,由1知()max 70h x c =+≥,于是得7c ≥-;3它与1问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f xg x ≤成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,1x ,2x 的取值在[]3,3-上具有任意性,∴要使不等式恒成立的充要条件是：max min ()(),[3,3]f x g x ••x •≤∈-;∵()()[]27228,3,3f x x c x =---∈-∴ ()()max3147f x f c =-=-,∵()26840g x x x '=+-=()()23102x x +-,∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =; ∴()()min248g x g ==-,∴14748c -≤-,即195c ≥.4存在[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f xg x ≤,等价于()()min 1max 2f x g x ≤,由3得()()min 1228f x f c ==--,()()max 23102g x g =-=,28102130c c --≤⇒≥-点评：本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确使用其成立的充要条件; 二．简答题每题10分８、10分若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立,求实数m 取值范围 解：)10,2[9、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立,求实数a 的范围; ②若不等式32x x a --+>有解,求实数a 的范围; ③若方程32x x a --+=有解,求实数a 的范围; 解：①5-<a ②5<a ③]5,5[-∈a10.已知函数()()2lg x ax a x f --=Ⅰ若()x f 的定义域Φ≠A ,试求a 的取值范围.Ⅱ 若()x f 在()3,2∈x 上有意义, 试求a 的取值范围. Ⅲ若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的值.解答：这三问中,第Ⅰ问是能成立问题,第Ⅱ问是恒成立问题,第Ⅲ问是恰成立问题.Ⅰ ()x f 的定义域非空,相当于存在实数x ,使02>--x ax a 成立,即()2x ax a x --=ϕ的最大值大于0成立,(),0444422max >+=---=a a a a x ϕ 解得 4-<a 或0>a .Ⅱ()x f 在区间()3,2上有意义,等价于()2x ax a x --=ϕ0>在()3,2恒成立,即()x ϕ的最小值大于0.解不等式组 ()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-,03,252ϕa 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥>-,02,252ϕa ⎩⎨⎧≥---≥,093,5a a a 或⎩⎨⎧≥---<042,5a a a 解得 .29-≤aⅢ()0>x f 的解集为()3,2,等价于不等式12>--x ax a 的解集为()3,2;于是有012<-++a ax x ,这等价于方程012=-++a ax x 的两个根为2和3, 于是可解得5-=a .。
求解有关恒成立、存在性问题的四种策略
求解有关恒成立、存在性问题的四种策略对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。
如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。
现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。
方法1：分离参数法例1.设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数。
若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围。
解：因为f`（x）= -a，g`（x）=ex-a，由题意得f`（x）≤0对x∈（1，+∞）恒成立，即a≥ 对x∈（1，+∞）恒成立，所以a≥1。
因为g`（x）=ex-a在x∈（1，+∞）上是单调增函数，所以g`（x）>g`（1）=e-a。
又g（x）在（1，+∞）上有最小值，则必有e-ae。
综上，可知a的取值范围是（e，+∞）。
点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。
在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。
一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。
方法2：构造函数法例2.已知函数f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）。
FrkBAnw9mjyEglQgHNxJcw==A.（-∞，0]B.（-∞，1]C.[-2，1]D.[-2，0]解：当x≤0时，|f（x）|≥axx2-（2+a）x≥0，对x≤0恒成立。
记g（x）=x2-（2+a）x=（x- ）2- 。
当当≥0即a≥-2时，g（x）的最小值为0，满足题意。
当x>0时，|f（x）|≥axln（1+x）-ax≥0a≤ ，对x>0恒成立。
令θ（x）= ，则θ`（x）= 。
设t=x+1，则t>1。
记L（t）= -lnt，则L`（t）= 故L（t）故当x∈（0，+∞）时，θ（x）恒大于0，所以a≤0。
“恒成立”和“恒存在”解题策略辨析
使 ＡＭ Ｂ一 ７ 。 则 Ｂ — ＡＢ， ５， Ｍ 记“ 在 Ｃ ＡＢ 的 内 部 任 作 射 线 ＡＰ 交 线 段 Ｂ 于 Ｐ ， ＢＰ＜ Ｃ 使
图 ｌ
妻鬈
麓
兰雯 萎
定义域 范 围进行最 值求 解． 总 之 ，恒 成 立 ” “ 存 在 ” 题 ， 注 意 区 别 对 “ 和 恒 问 要
ＢＣ 于 Ｍ ， “ 底 边 Ｂ 上 任 取 一 点 Ｐ ， Ｂ 记 在 Ｃ 使 Ｐ＜ ＡＢ ” 为 事 件 Ａ． 则
Ｐ（ ） ＡＢ Ａ 一
一 Ａ —一． 瓣 Ｂ 去譬
Ｃ
可 化 为 。 ｘ ＋ｘ＋ ２ ＞一 ２
一
．
（ ） 作 射 线 ＡＰ 在 Ｃ ２ ＡＢ 内 是 等 可 能 分 布 的 ， 射 线 等 价 即
而 ｇ ） 一 （ （ 一 口 一口 １ ｅ 。 ［ ＋ ） 在 一２ ２ 上 单 调 递 ，］
减， 因此 ｇ （ ） （ ２ 一 一 （ … ｚ 一ｇ 一 ） ｎ 一ａ １ ， ＋ ）
ｇ （ 一 ｇ（ ） 一 （ ｄ＋ １ ｅ ， ） ２ 一 口 一 ）
性 的试验 概型 之一 ， 高考 命题 中 占有非 常 重 要 的位 在
存 在 ， ｎ的 取 值 范 围 ． 求 分析 对 于 （ ） 个 极 值 点 一 ０已知 ， 可 知 该 １一 则
点处 的导数值 为 ０ 由此将 ２个 未知量 转化 为一 个 ， ， 对
于 求 单 调 区 间 ， 要 结 合 导 数 是 否 大 于 ０进 行 分 类 讨 则 论 ； 于 （ ） 一 个 恒 存 在 问 题 ， 解 的 关 键 是 要 注 意 对 ２是 化 ｌ （ ） ｇ（ ）ｉ １可 化 为 ｇ（ 一 １ － 一 厂 ≤ ＆） ≤ （ ） ≤ ｇ ） １需 使 ， （ ≤ ｇ （ ） １且 ， （ ） （ ＋ ， … ａ） … ＋ … ≤
恒成立和存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f mi n mi n ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m a x≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m i n≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B.9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
恒成立与存在性问题
01
总结词
一次函数性质简单，常用于基础问 题。
总结词
一次函数在定义域内单调，不存在 极值点。
03
02
总结词
一次函数图像为直线，单调性明显。
总结词
一次函数在定义域内单调，恒成立 与存在性问题较易解决。
04
二次函数的恒成立与存在性问题实例
总结词
二次函数开口方向由二次项系数决定。
总结词
二次函数在区间$[-infty, frac{b}{2a}]$上单调递增，在区间$[-
利用三角函数的周期性、对称性、数形结合 等方法，判断三角函数在某个区间内是否存 在极值点或零点。
三角函数存在性问题的应 用
在解决实际问题中，如物理、工程等领域， 常常需要判断某个三角函数是否满足某些条
件，如是否存在最优解或可行解。
03
恒成立与存在性问题的解 法
分离参数法
总结词
分离参数法是一种通过将参数分离到不等式的两边，从而简化问题的方法。
判别式法
总结词
判别式法是一种通过引入判别式来解决 问题的方法。
VS
详细描述
判别式法的基本思想是通过引入判别式来 简化方程的解的求解过程。这种方法在处 理一元二次方程和二元二次方程组时非常 有效。通过判别式，我们可以更容易地找 到方程的解，并且可以更好地理解解的性 质和分布。
04
实例分析
一次函数的恒成立与存在性问题实例
详细描述
分离参数法的基本思想是将参数从不等式中分离出来，单独放在不等式的另一 边，这样可以更容易地找到参数的取值范围，从而解决问题。这种方法在处理 包含参数的不等式问题时非常有效。
数形结合法
总结词
数形结合法是一种通过将问题转化为 图形问题，从而直观地理解问题的方 法。
浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题
浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题高中数学中的“恒成立”与“存在性”是高中数学中重要的概念。
它们都涉及到数学中的思维技巧，也是指导学生使用抽象来解决数学问题的重要原则。
两者有着非常重要的关系，本文将着重分析这两个概念的内涵，以及它们之间的关系，为学生未来学习数学打下基础。
“恒成立”是数学概念的重要组成部分，它表明数学定理是恒定不变的，不会随时间和空间的改变而改变。
例如，二次方程的根的求解，根据拉格朗日的二次方程定理，我们可以得出根的公式，这个公式在不同的时空中都是恒成立的。
此外，还有欧几里得定理、勾股定理、费马定理等，都是恒成立的定理。
“存在性”指的是某一定理能够被证明，可以提供证明定理存在的方式。
这一概念的基础是对定理的规则推理，通过推理这些规则，可以得出一些数学定理的存在性。
最常用的证明定理存在性的方式是证明反证法，即先假定定理的假设是错误的，考虑假设的反面，如果计算的结果恰好矛盾，则说明定理是存在的。
从数学概念的定义来看，“恒成立”与“存在性”之间存在有机结合关系。
首先，“存在性”先于“恒成立”，因为“存在性”是定理能够被证明的基础，是定理恒定的前提，而“恒成立”则是“存在性”的结果。
而“恒成立”则是证明“存在性”的重要工具，根据“恒成立”，通过运用既定的数学公式，可以将定理（或者命题）转化为更简单的推理，来证明定理的存在性。
另外，“恒成立”与“存在性”也是高中数学知识中最重要的两大原则。
从数学思维的角度上讲，“存在性”鼓励学生考虑问题的反面，用反证法思考，并有手段地证明或证伪定理，从而运用更多的数学工具来解决问题；而“恒成立”则鼓励学生把固有的数学思维方式发挥出来，从而帮助他们加深对定理的理解，提高数学思维的能力。
综上所述，“恒成立”与“存在性”的综合问题在数学思维中都起着重要的作用。
它们是数学概念的组成部分，也是证明、推理、解决数学问题的重要原则，对学生学习数学有着重要的作用。
2020 年高中数学恒成立、存在性问题解决办法
2020 年恒成立、存在性问题解决办法1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围． 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数） 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m 题型二、更换主元法1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
高中语文中的存在性问题与恒成立问题例题
高中语文中的存在性问题与恒成立问题例题引言高中语文教学中存在许多存在性问题和恒成立问题，这些问题对学生的研究产生了一定的困扰。
本文将通过提供几个例题，探讨高中语文中的存在性问题与恒成立问题，以期增进对这些问题的理解和解决。
存在性问题例题例题1: 评价文学作品的主观性- 问题描述：文学作品的评价存在主观性，不同人对同一作品可能有不同的评价。
这是否表明文学评价完全是主观的？- 解答方式：分析文学作品评价的主观性，以及评价的标准和依据。
通过比较不同人对同一作品的评价，可以认识到评价的主观性是相对的，不同的评价角度和标准可以导致不同的结果，但也存在一些客观的评价标准，如作品的文学性、人物形象的塑造等。
例题2: 文字的多义性- 问题描述：文字具有多义性，同一个词语在不同的语境中可能有不同的含义。
这是否意味着读者与作者之间存在理解上的隔阂？- 解答方式：探讨多义性对文学作品阅读和理解的影响。
多义性在一定程度上可能增加读者与作者之间的理解隔阂，但也可以通过注释、解读和文学讨论等方式来减少隔阂，促进更好的理解。
恒成立问题例题例题3: 平行比喻的修辞效果- 问题描述：平行比喻是一种常见的修辞手法，它在表达上有何特点，是否具有恒成立的效果？- 解答方式：分析平行比喻的修辞手法，在比较中强调相似之处，通过对比凸显事物的特点。
平行比喻可以增强修辞效果，但其恒成立的效果取决于具体的语境和比较对象。
例题4: 唯美诗中的情感表达- 问题描述：唯美诗作品中的情感表达方式常常抽象而含蓄，读者如何理解其中的情感内涵？- 解答方式：探讨唯美诗作品中情感表达的特点和阅读的方法。
唯美诗常通过意象、象征等手法来表达情感，读者可以通过倾听自己的感受、结合文本语境等方式进行情感共鸣和理解。
结论高中语文中存在性问题和恒成立问题的探讨能够帮助学生更好地理解和解决相关困惑。
通过分析存在性问题和恒成立问题的例题，我们可以增强对这些问题的认识，并掌握解决这些问题的方法和技巧，促进语文学科的学习和发展。
也谈恒成立与存在性问题的处理
ｘ
立， 函数 ｆｘ 在 （ ， ］ 是 增 函 数 ， 函 数ｙ 在 （ ， ］ 是 减 （） ０ １ 上 又 ： ０ １上
函数 ．
从而 一 为增函数， ｘ 由此得（ 一 ） ÷ ； ｘ ［，］ ｘ １ ＝ 当 １ 时， 一 Ｅ ２
＼ １ ０ 而＋ 为 函 ，此 （ ） ， ｆ÷ 一＞从 增 数由 得 ＋ ～２ ｘ， ， — ｘ１ ＋ｊ ： ：
一
于 区 间 ［ ２， ］ 任 意 两 个 自变 量 的 值 ｘ ，，都 有 一 ２上 ，ｘ ， ｌ ｘ）ｆｘ）≤ｆ ） ｆｘ～＝ ， 以ｃ ， 的最 小 值 为４ ｆ １－（ Ｉ （ 一一（ ） ４ 所 （ ｘ ≥４ 即ｃ ．
【 评 】 处 理 这 类 问题 时 ， 为 ｘ ，２ 两 个 不 相 关 的 变 点 在 因 Ｘ是
对 于 形 如 ＶＸ ， Ｘ ∈Ｄ， （ 。一 （ ， Ｉ Ｉ ｘ ） ｆｘ ） ｆ ≤Ｃ的 问题 ， 为 Ｉ ｘ ） 因 ｆ 一 （
、
－
形 如 Ｖｘ ，２ ｌｘ ∈Ｄ， （ １一 （ ２ｌ ｌ － ２ 样 的 问 题 ， 先 Ｉ ｘ ） ｆｘ ）≤ａ ｌＸ Ｉ ｆ ｘ 这 首
例 １ 已 知 函 数ｆｘ ＝ ｌ ａ ２ ， 所 有 的 实 数 ａ 使 得 对 任 ： （）ｘ —ｌ ｘ求 ｘ ＋ ， 意 ｘ∈［ ，］ ， 数 ｒｘ 的 图 像 恒 在 函 数 ｇ ｘ ＝ ｘ １ １２ 时 函 （） （ ） ２ ＋ 图像 的
２ ＶＸ ，２ ． ｌＸ ∈Ｄ， （ １一 （ ，ｌ Ｉ ｘ） ｆｘ）≤Ｃ型 ｆ
＿ Ｏｆ ，＋４≤ｆ 十４ ４ ｌ（ ） ｌ （ 一 Ｊ ）
，
—
．
－ 一ａｎ ４ 设 ｈ ） ｆ ｘ ＋— ＝Ｘ－１ ｌｘ＋— ｘ ： （ ） ４
不等式恒成立、存在性问题的解题方法
不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用变换主元的方法，将m 看作主变元，即将原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x 所以x 的范围是231,271(++-∈x 。
2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
专题4 双变量存在恒成立与存在性问题-(人教A版2019选择性必修第二、三册) (教师版)
双变量存在---恒成立问题恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题.1 恒成立问题(1)∀x∈D,f(x)≥0恒成立⟺在D上的f(x)min≥0；(2)∀x∈D,f(x)≤0恒成立⟺在D上的f(x)max≤0；2 存在性问题(1)∃x∈D,f(x)≥0恒成立⟺在D上的f(x)max≥0；(2)∃x∈D,f(x)≤0恒成立⟺在D上的f(x)min≤0；3双变量存在—恒成立问题(1)∀x1∈D,∀x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立⟺ f(x)min≥g(x)max；(2)∀x1∈D,∃x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立⟺ f(x)min≥g(x)min；(3)∃x1∈D,∀x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立⟺ f(x)max≥g(x)max；(4)∃x1∈D,∃x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立⟺ f(x)max≥g(x)min；4 常见处理方法方法1 直接构造函数法：求f(x)≥g(x)恒成立⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)≥0恒成立.恒成立.方法2 分离参数法：求f(x)≥a∙g(x)(其中g(x)>0)恒成立⇔a≤f(x)g(x)方法3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)；方法4 数形结合法：求f(x)−g(x)≥0恒成立⇔证明y=f(x)在y=g(x)的上方；方法5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行求解；方法6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的；学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考.【典题1】已知两个函数f(x)=8x2+16x−k,g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.(1)对任意x∈[−3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(2)存在x∈[−3,3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1,x2∈[−3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围.【解析】(1)设ℎ(x)=g(x)−f(x)=2x3−3x2−12x+k问题转化为x∈[−3,3]时，ℎ(x)≥0恒成立，故ℎ(x)min≥0；易得ℎ(x)min≥−45+k，由k−45≥0⇒k≥45.(2)据题意：存在x∈[−3,3]，使f(x)≤g(x)成立⇔ℎ(x)=g(x)−f(x)≥0在x∈[−3,3]有解，易得ℎ(x)max=k+7，于是k≥−7.(3) 问题转化为f(x)max≤g(x)min ,x∈[−3,3]，易得g(x)min=g(−3)=−21，f(x)max=f(3)=120−k，则120−k≤−21⇒k≥141.【点拨】①第一问是恒成立问题，第二问是存在性问题，第三问是双变量成立问题；②第三问怎么确定f(x)max≤g(x)min，即到底是函数最大值还是最小值呢？可把问题转化为第一、二问的问题，具体如下，先把g(x2)看成定值m，那∀x1∈[−3,3]，都有f(x1)≤m，当然是要f(x)max≤m；再把f(x1)看成定值n，那∀x2∈[−3,3]，都有n≤g(x2)，当然是g(x)min≥n；故问题转化为f(x)max≤g(x)min.其他形式的双变量成立问题同理.x3+2x2−3x+c．若对∀x1∈(0 ,+∞)，∃x2∈[1 ,3]，使f(x1)=【典题2】已知函数f(x)=x2e−x，g(x)=−13g(x2)成立，则c的取值范围是.【解析】(若要满足f(x1)=g(x2)成立，则y=g(x)的值域包含y=f(x)的值域)因为f(x)=x2e−x，x∈(0 ,+∞)，，令f′(x)=0，解得x=2，所以f′(x)=x(2−x)e x故f(x)在(0 ,2)递增，在(2 ,+∞)递减，故f(x)max=f(2)=4，e2而x →0时，f(x)→0，x →+∞时，f(x)→+∞， 故f(x)∈(0 ,4e 2]，因为g (x )=−13x 3+2x 2−3x +c ，g ′(x )=−(x −3)(x −1)， 所以当x ∈[1 ,3]时，g′(x)>0，故g(x)在[1 ,3]递增， 则g (x )min =g(1)=−43+c ，g (x )max =g(3)=c ， 故g(x)∈[−43+c ,c]，若对∀x 1∈(0 ,+∞)，∃x 2∈[1 ,3]，使f(x 1)=g(x 2)成立， 则(0 ,4e2]⊆[−43+c ,c]，故{−43+c ≤04e2≤c，解得：4e 2≤c ≤43.【典题3】 已知函数f (x )=lnx −x +1，x ∈(0 ,+∞)，g (x )=sinx −ax(a ∈R)． (1)求f(x)的最大值；(2)若对∀x 1∈(0 ,+∞)，总存在x 2∈(0 ,π2)，使得f (x 1)<g(x 2)成立，求实数a 的取值范围；(3)证明不等式sin(1n)n +sin(2n)n +⋅⋅⋅+sin(n n)n <e e−1(其中e 是自然对数的底数)．【解析】(1)过程略，当x =1时f(x)取得最大值为f(1)=0；(2)解：对∀x 1∈(0 ,+∞)，总存在x 2∈(0 ,π2)，使得f(x 1)<g(x 2)成立，等价于f (x )max <g (x )max 成立，由(1)知，f (x )max =0， 则问题等价于g (x )max >0， 因为g (x )=sinx −ax ，所以g ′(x )=cosx −a ， 当x ∈(0 ,π2)时，cosx ∈(0 ,1)，(利用三角函数的有界性)①当a ≥1时，若x ∈(0 ,π2)，g′(x)<0，g(x)单调递减，g(x)<g(0)=0，不合题意； ②当0<a <1时，∃x 0∈(0 ,π2)，使得g′(x 0)=0， 若x ∈(0 ,x 0)，g′(x)>0，若x ∈(x 0 ,π2)时，g′(x)<0， 即当g (x )max =g(x 0)>g(0)=0，则∃x2∈(0 ,π2)，使得g(x2)>0，符合题意；③当a≤0时，若x∈(0 ,π2)，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0，则∃x2∈(0 ,π2)，使得g(x2)>0，符合题意，综上可知，所求实数a的范围是(−∞ ,1)；(3)证明：由(2)可知，当a=1时，若x∈(0 ,1]，sinx<x，令x=kn (k≤n ,k ,n∈N∗)，(kn)n∈(0 ,1]，有sin(kn )n<(kn)n，再由(1)可得lnx<x﹣1，则ln kn ≤kn−1=k−nn，即n⋅ln kn≤k﹣n⇒ln(kn)n≤k﹣n，∴(kn)n≤e k−n，∴(1n )n+(2n)n+...+(nn)n≤e1−n+e2−n+...+e n−n=e1−n(1−e n)1−e=e−e1−ne−1<ee−1则sin(1n )n+sin(2n)n+...+sin(nn)n<(1n)n+(2n)n+...+(nn)n<ee−1．(放缩法证明，利用不等式sinx<x和lnx<x﹣1，要熟悉常见恒等式)1(★★) 已知1<a<4，函数f(x)=x+9x,∃x1∈[1 ,a] ,x2∈[a ,4]，使得f(x1)f(x2)≥80，则a的取值范围．【答案】(1，4−√7]【解析】f′(x)=1−9x2=x2−9x，令f′(x)=0，得x=±3，所以在(1，3)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(3，4)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，f(1)=10，f(4)=6.25，f(3)=6，若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f(x1)f(x2)≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f(x1)f(x2)]max≥80，而f(x1)max=f(1)=10，所以f(x2)max≥8，过点B作BC⊥y轴，与函数f(x)的图象交于点C，令x+9x=6.25，解得x=4或2.25，所以当x∈[2.25，4]时，f(x)∈[6，6.25]，所以x2∈(1，2.25)，所以a∈(1，2.25)，才能使得x2∈[a，4]时，f(x2)max≥8，即f(a)≥8，所以a+9a≥8，解得a≥4+√7(舍去)或a≤4−√7，所以1<a≤4−√7，所以实数a的取值范围为(1，4−√7]，故答案为：(1，4−√7]．2(★★)已知函数f(x)=x+4x ，g(x)=2x+a，若任意x1∈[12,1]，都存在x2∈[2 ,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是．【答案】(－∞，1]【解析】任意x1∈[12，1]，都存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，⇔f(x1)min≥[g(x2)]min，x1∈[12，1]，x2∈[2，3]，对于函数f(x)=x+4x ，x∈[12，1]，f′(x)=1−4x2=x2−4x2<0，因此函数f(x)在x∈[12，1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=5．对于函数g(x)=2x+a，在x∈[2，3]单调递增，∴g(x)min=4+a．∴5≥4+a，解得a≤1．∴实数a的取值范围是(－∞，1]．故答案为：(－∞，1]．3(★★★)已知函数f(x)=−x|x−a|，若对任意的x1∈(2 ,+∞)，都存在x2∈(−1 ,0)，使得f(x1)f(x2)=−4，则实数a的最大值为．【答案】1【解析】①a≥2时，当x≥a时，f(x)=－x(x－a)，当x<a时，f(x)=－x(a－x)，画出y=f(x)的图象(如右图)：x1∈(2，+∞)时，f(x1)∈(－∞，0]，而对任意的x1∈(2，+∞)，都存在x2∈(－1，0)，使得f(x1)•f(x2)=－4，要求f(x2)∈(0，+∞)．而x2∈(－1，0)时，令f(－1)=a，则有f(x2)∈(0，a)，不符题意；②a<2时，当x≥a时，f(x)=－x(x－a)，当x<a时，f(x)=－x(a－x)，画出y=f(x)的图象(如下图)：当x1∈(2，+∞)时，f(x1)∈(－∞，f(2))，即f(x1)∈(－∞，2a－4)，则f(x2)∈(0，22−a)时，f(x1)f(x2)=－4成立才有可能；x2∈(－1，0)，则f(x2)∈(0，f(－1))，f(－1)=a+1，需满足f(－1)≥22−a ，即1+a≥22−a，即(a+1)(2－a)≥2，a(a－1)≤0，解得0≤a≤1，所以a的最大值为1．故答案为：1．4(★★★) 已知函数f(x)=lnx，若对任意的x1 ,x2∈(0 ,+∞)，都有[f(x1)−f(x2)](x12−x22)>k(x1x2+x22)恒成立，则实数k的最大值是．【答案】0【解析】∵f(x)=lnx，∴f(x1)－f(x2)=lnx1−lnx2=ln x1x2，∵[f(x1)－f(x2)](x12－x22)>k(x1x2+x22)恒成立，且x1，x2∈(0，+∞)，∴x 1x 2+x 22>0，x 1+x 2>0， 得k <lnx 1x 2(x 12−x 22)x 1x 2+x 22=x 1x 2lnx 1x 2−ln x1x 2，令t =x 1x 2，g (t )=tlnt －lnt ，(t >0且t ≠1)，则g ′(t )=lnt +1−1t，令g ′(t )=0，得t =1． ∴当t ∈(0，1)时，g ′(t )<0，g (t )单调递减， 当t ∈(1，+∞)时，g ′(t )>0，g (t )单调递增， ∴g (t )min >g (1)=0． ∴k ≤0．则实数k 的最大值是0． 5(★★★) 设f(x)=2x 2x+1，g (x )=ax +5−2a(a >0)． (1)求f(x)在x ∈[0,1]上的值域；(2)若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g(x 0)=f(x 1)成立，求a 的取值范围． 【答案】(1) [0 ,1] (2) 52≤a ≤4 【解析】(1)法一：(导数法)f′(x)=4x(x+1)−2x 2(x+1)2=2x 2+4x (x+1)2≥0在x ∈[0，1]上恒成立．∴f(x)在[0，1]上增， ∴f(x)值域[0，1]．法二：f(x)={0 x =021x +1x 2x ∈(0,1]，用复合函数求值域．法三：f(x)=2x 2x+1=2(x +1)+2x+1−4用双勾函数求值域．(2)f(x)值域[0，1]，g(x)=ax +5－2a(a >0)在x ∈[0，1]上的值域[5－2a ，5－a]． 由条件，只须[0，1]⊆[5－2a ，5－a]． ∴{5−2a ≤05−a ≥1⇒52≤a ≤4． 6(★★★) 设函数f(x)=lnx −2ax−1−a 在开区间(0 ,12)内有极值． (1)求实数a 的取值范围；(2)若x 1∈(0 ,1) ,x 2=(1 ,+∞)．求证：f (x 1)−f(x 2)>2ln2+32．【答案】(1)(−∞ ,−14)(2)略【解析】(1)解：函数f(x)的定义域是(0，1)∪(1，+∞)，f′(x)=x2−(2−2a)x+1x(x−1)2，由f′(x)=0在(0，12)内有解，令g(x)=x2－(2－2a)x+1，由g(0)=1>0，所以g(12)=122−2−2a2+1<0，解得：a<−14，即a的取值范围是(－∞，−14)；(2)证明：由(1)f′(x)<0，令g(x)=x2－(2－2a)x+1=(x－α)(x－β)，不妨设0<α<12，则β>2，则αβ=1，α+β=2－2a，故f′(x)<0⇔α<x<1，1<x<β，由f′(x)>0⇔x<α或x>β，得f(x)在(0，α)内递增，在(α，1)内递减，在(1，β)内递减，在(β，+∞)递增，由x1∈(0，1)，得f(x1)≤f(α)=lnα−2aα−1−a，由x2∈(1，+∞)，得f(x2)≥f(β)=lnβ−2aβ−1−a，所以f(x2)－f(x1)≥f(β)－f(α)，因为αβ=1，α+β=2－2a，a<−14，所以f(β)－f(α)=lnβ−2aβ−1−a－lnα+2aα−1+a=lnβ－ln1β+2a•(11β−1−1β−1)≥2lnβ+β−1β，令h(β)=2lnβ+β−1β(β>2)，则h′(β)=2β+1+1β2>0，(β>2)，所以h(β)在(2，+∞)上单调递增故h(β)>h(2)=2ln2+3，2．所以f(x2)－f(x1)>2ln2+32。
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“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略
一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型
1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立
2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立
3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为
M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩
在上恒成立在上恒成立
另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，
若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则
()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则
()()x g x f max max ≤
6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；
10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.
函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程致可分为以下几种类型：
①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
二、恒成立问题解决的基本策略
大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。
等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。
（一）两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在
如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。
（二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8
π
- 对称，那么a=（ ）. A .1 B .-1 C .2 D . -2. 略解：取x=0及x=4π-
，则f(0)=f(4
π
-),即a=-1，故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.
例（备用）．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )
A.10
B.7
C.-1
D.0
略解：取x=0，则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ，故选D
（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型：
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]恒有f(x)<0， 则有
)(0)(<<n f
m f
例2．对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值围. 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.
解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,
设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
⎩⎨
⎧>>-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
10
3422
x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可. 2、二次函数型
涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。
（1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)大于0恒成立，则有00<∆>且a
（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。
类型1：设)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在R 上恒成立，
（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；
（2）
R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在区间],[βα上恒成立
（1）当0>a 时，
],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a b
a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩
⎨⎧<<⇔0)(0
)(βαf f
（2）当0<a
时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨
⎧
>>⇔0
)(0
)(βαf f
],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a b
a b f a b 或或 类型3：设)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在区间 (-∞ , α]上恒成立。
f(x)>0⇔a>0且∆<0或-b/2a>α且f(α)>0 f(x)<0⇔a<0且∆<0或-b/2a>α且f(α)<0
类型4：设)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在区间 [α，+∞)上恒成立。
f(x)>0⇔a>0,∆<0或-b/2a<α且f(α)>0 f(x)<0⇔a<0,∆<0或-b/2a<α且f(α)<0 例3． 若函数1
2
)1()1()(22++
-+-=
a x a x a x f 的定义域为R ，数 a 的取值围. 分析：该题就转化为被开方数01
2
)1()1(2
2
≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.
解：依题意，当时，R x ∈
01
2
)1()1(22≥++
-+-a x a x a 恒成立，。