数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略
(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档
恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
不等式恒成立问题解题方法汇总(含答案)
不等式恒成立问题解题方法汇总（含答案）不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案部分1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）．（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．故所求的的取值范围为．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．解：（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．综上可知，所求的实数的取值范围是．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。
怎样求不等式恒成立问题中参数的取值
求不等式恒成立问题中参数的取值问题是高考试题中的常见题型.此类问题综合性较强，不仅考查了不等式，还考查了函数、方程、导数、求最值的方法.求不等式恒成立问题中参数的取值的方法有很多，本文主要介绍参变分离法、数形结合法、基本不等式法.一、参变分离法参变分离法是求不等式恒成立问题中参数的取值的常规方法，是指将不等式中的参数a 与变量f (x )分离在不等式的两侧，将问题转化为a ≤f (x )min 或a ≥f (x )max ，求得f (x )的最值，便能确定a 的取值范围.例1.当x ≥2时，不等式x ln x ≥kx -2(k +1)恒成立，求k 的最大整数值.解：将原不等式变形可得k ≤x ln 2+2x -2(x >2)，令g (x )=x ln x +2x -2，对g (x )函数求导g ′(x )=x -2ln x -4(x -2)2，设h (x )=x -2ln x -4，对函数h (x )求导h ′(x )=1-2x，∴函数h (x )在（2,+∞）上单调递增，而h (8)=6ln 2-4>0，h (9)=4ln 3-5<0，∴g ′(x )零点x 0∈(8,9)，即h (x 0)=0，x 0-2ln x 0-4=0，∴当2<x <x 0时，g ′(x )<0,函数g (x )单调递减，当x >x 0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，∴g (x )≥g (x 0)=x 0ln x 0+2x 0-2=x 0-22，k ≤g (x 0)，而3<x 0-22<72，∴k 最大整数值为3.在本题中，首先通过变形分离出参数，构造出新的函数，然后通过二次求导确定函数的的单调性以及最值，进而求得参数k 的取值.二、数形结合法在解答不等式恒成立问题时，我们可以首先将不等式进行变形，然后构造出适当的函数，绘制出相应的函数图象，借助图形来讨论曲线的临界位置，建立新的不等式，进而确定参数的取值.例2.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2)，若∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为______．解：当x ≥0时，f (x )=ìíîïï-x ,0≤x <a 2,-a 2,a 2≤x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a2作出函数的图象，再根据函数为奇函数画出x <0时的图象，如图所示，由题意，要使∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )恒成立，应满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得a ∈éëêû.这里主要运用了数形结合法.借助函数的图象来分析问题，能帮助我们快速打开解题的思路，提升解题的效率.三、基本不等式法基本不等式法是求最值问题的常用方法.在求不等式恒成立问题中参数的取值时，我们可以结合题意，将问题转化为求最值问题，构造满足基本不等式应用的条件，运用基本不等式来求得最值，进而得到参数的取值范围.例3.设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=9x +a 2x+7，若f (x )≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．解：因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x =0时，f (0)=0，则0≥a +1，所以a ≤-1，设x >0，则－x <0，所以f (x )=-f (-x )=-éëêùûú9(-x )+(a 2-x )+7=9x +a 2x -7.由基本不等式得9x +a 2x -7≥-7=-6a -7,由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需使-6a -7≥a +1，即使a ≤-87，结合a ≤-1，可得所求a 的取值范围是æèùû-∞,-87.在解答本题时，首先根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后运用基本不等式求得函数f (x )的最值，再结合题目条件建立使不等式恒成立的新的不等式，即可求出参数的取值范围.以上三种方法均有各自的特征，无论运用哪种方法来求不等式恒成立问题中参数的取值，都要首先将不等式进行变形，再构造函数，灵活运用函数的图象、性质或基本不等式来求得最值，再建立关于参数的不等式，解不等式求得参数的取值.（作者单位：江苏省包场高级中学）江望杰46。
不等式恒成立、存在性问题的解题方法
不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用变换主元的方法，将m 看作主变元，即将原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x 所以x 的范围是231,271(++-∈x 。
2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)
专题21 数列与不等式结合的问题一、题型选讲题型一 不等式恒成立中的参数的范围，求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数()f x 在定义域为D ，则当x D ∈时，有()f x M ≥恒成立()min f x M ⇔≥；()f x M ≤恒成立()max f x M ⇔≤；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．例1、(2019镇江期末）设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 2a 4＝64.数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式．(2) 若不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，求实数λ的取值范围． (3) 已知k ∈N *，对于数列{b n }，若在b k 与b k ＋1之间插入a k 个2，得到一个新数列{c n }．设数列{c n }的前m 项的和为T m ，试问：是否存在正整数m ，使得T m ＝2019？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．规范解答 (1)设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，因为a 1＝2，a 2a 4＝a 1q ·a 1q 3＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .(1分)当n ＝1时，a 1b 1＝2，则b 1＝1；(2分)当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2 ①，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2 ②， ①－②得a n b n ＝n·2n ，则b n ＝n. 综上，b n ＝n.(4分)(2) 不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，即λ⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n <12n ＋1恒成立． 因为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n >0，当λ≤0时，不等式显然成立．(5分) 当λ>0时，不等式等价于⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1<1λ. 设f(n)＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1，则f （n ＋1）f （n ）＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋22n ＋3⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14—⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1＝2n ＋12n ＋32n ＋2＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1.(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…，所以1λ>f(n)max ＝f(1)＝32，故λ<233，则0<λ<233.综上，λ<233.(8分)例2、(2019南京、盐城二模）已知数列{a n }各项均为正数，且对任意n ∈N *，都有(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1.(1) 若a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求a 2a 1的值；(2) ①求证：数列{a n }为等比数列；②若对任意n ∈N *，都有a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n －1，求数列{a n }的公比q 的取值范围．规范解答 (1)因为(a 1a 2)2＝a 31a 3，所以a 22＝a 1a 3，因此a 1，a 2，a 3成等比数列．(2分)设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或13，所以a 2a 1＝1或13.(4分)(2)①因为(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a n ＋21a nn ＋2，两式相除得a 2n ＋1＝a 1a n n ＋2a n －1n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a 1a n n ＋2，(*)(6分)由(*)，得a n ＋2n ＋2＝a 1a n ＋1n ＋3，(**)(*)(**)两式相除得a n ＋2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋1n ＋3a n n ＋2，即a 2n ＋2n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋1n ＋3， 所以a 2n ＋2＝a n ＋1a n ＋3，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ≥2，n ∈N *，(8分) 由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *，因此数列{a n }为等比数列．(10分) ②当0<q ≤2时，由n ＝1时，可得0<a 1≤1，所以a n ＝a 1q n －1≤2n －1，因为a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2n －1＝2n －1，所以0<q ≤2满足条件．(12分) 当q >2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，得a 1（1－q n ）1－q≤2n －1，整理得a 1q n ≤(q －1)2n ＋a 1－q ＋1.(14分)因为q >2，0<a 1≤1，所以a 1－q ＋1<0， 因为a 1q n<(q －1)2n，即⎝⎛⎭⎫q 2n<q －1a 1，由于q 2>1，因此n <log q 2q －1a 1，与任意n ∈N *恒成立相矛盾，所以q >2不满足条件．综上，公比q 的取值范围为(0，2]．(16分)例3、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.(1) 求a 1，a 2的值；(2) 证明：数列{a n }是等比数列；(3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的所有值．思路分析 (1) 对3S 2n －4S n ＋T n ＝0，令n ＝1，2得到方程，解得a 1，a 2的值．(2) 3S 2n －4S n ＋T n ＝0中，对n 赋值作差，消去T n ，再对n 赋值作差，消去S n ，从而得到a n ＋1＝－12a n ，证得数列{a n }是等比数列．(3)先求出a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，由(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立，确定λ＝0适合，再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立．规范解答 (1)因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.令n ＝1，得3a 21－4a 1＋a 21＝0，因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0，即2a 22＋a 2＝0，因为a 2≠0，所以a 2＝－12.(3分) (2)解法1 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0， ① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0， ②②－①得，3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0，因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0， ③(5分) 所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2)， ④当n ≥2时，③－④得，3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝－12a n ，因为a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－12.又因(1)知，a 1＝1，a 2＝－12，所以a 2a 1＝－12，所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(8分)解法2 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0，②②－①得，3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0， 因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0， 所以3(S n ＋1＋S n )－4＋(S n ＋1－S n )＝0，(5分) 整理为S n ＋1－23＝－12⎝⎛⎭⎫S n －23，又S 1－23＝a 1－23＝13， 所以S n －23＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1，得S n ＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1＋23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，而a 1＝1也适合此式，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，所以a n ＋1a n ＝－12所以数列{a n }是以－12为公比的等比数列．(8分)(3)解法1 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立， 所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n<0对任意的n ∈N *恒成立，所以λ＝0适合．(10分) 若λ>0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有λ<n2n －1恒成立．记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n ≤1，所以n 2n ≤1n(*)，从而当n ≥5且n ≥2λ时，有λ≥2n ≥n2n －1，所以λ>0不符．(13分)若λ<0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有－λ<n2n 恒成立．由(*)式知，当n ≥5且n ≥－1λ时，有－λ≥1n ≥n2n ，所以λ<0不符．综上，实数λ的所有值为0. 解法2 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，故a n a n ＋1<0，所以当λ＝0时，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0即n 2a n a n ＋1<0，对任意的n ∈N *成立，符合题意；(10分)因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立，所以对任意的大于3的偶数n ，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0即⎝⎛⎭⎫λ＋n 2n －1⎝⎛⎭⎫λ－n 2n <0成立，亦即对任意的大于3的偶数n ，|λ|<n 2n －⎝⎛⎭⎫－n 2n －1＝3n2n 成立，(13分) 先证，当n ≥4时，n 2n ≤1n，记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n 41，所以n 2n ≤1n (*)，所以对任意的大于3的偶数n ，|λ|<3n成立，但若λ≠0，当n >3|λ|时，|λ|>3n ，所以λ≠0不合题意，综上，实数λ的所有值为0.(16分)题型二、运用放缩法证明不等式与常数的关系此类问题往往与数列和有关，通过数列求和的方法研究求和或者通过放缩法研究数列和的不等关系，一般会得出数列的和与常数与一个变量之间的关系，进而得到与常数之间的不等关系。
高一数学 不等式恒成立问题中的参数求解策略
不等式恒成立问题中的参数求解策略不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强，本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略 关键词：不等式；恒成立；求解策略在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
常常有以下两类情况： ㈠可化为二次函数在R 上恒成立问题 设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
例1 对于x ∈R ，不等式0m 3x 2x 2≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解：不妨设m 3x 2x )x (f 2-+-=，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使)R x (0)x (f ∈≥，只需0≤∆，即0)m 3(4)2(2≤---，解得]2(m 2m ，-∞∈⇒≤。
变形：若对于x ∈R ，不等式03mx 2mx 2>++恒成立，求实数m 的取值范围。
此题需要对m 的取值进行讨论，设3mx 2mx )x (f 2++=。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<03m 0<<⇒。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知)30[m ，∈。
关键点拨：对于有关二次不等式0c bx ax 2>++（或<0）的问题，可设函数c bx ax )x (f 2++=，由a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x 轴的交点问题，由判别式进行解决。
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略
于 ｎ的最小值 １令＿ ＜ ， Ⅱ １ ０ ０ ÷ ． ， １解得 ＞ 或 ＜ ＜
１ 一 ｒ 上 Ｚ
适 用 于解 厂ｎ 的最 值 容 易求 出 的 数 列 不 等 式 恒 成 立 题 型 ． （） 例 １ 已 知 数 列 ｛ 满 足 ０ Ⅱ｝ Ｊ＝５ ／ ， ：＝５ ｎ ＋ ＝。 ２ ， ＋
解 由题 设 ０ ＝ｒ 一 ＝ｏ ． ＝ ｎｇ ＝ｎ ｇ ． 上× ， 。ｂ ｌａ 口 ｌａ
若 ｂ ＞ｂ ， … 则
ｂ＋ １一ｂ ＝（ 凡＋１ ｒ ｌ。一ｎ ｇ ）上 ｇ ｎ ｌｎ
【 键 词 】 等 式 恒 成 立 问题 ； 列 ； 数 范 围 问题 关 不 数 参
在 高 考 压 轴 题 中 ， 与 函 数 恒 成 立 问题 既 有 类 似 之 处 ， 有 它 又 些 差 别 ， 生容 易 出错 ， 至 不 知 所 措． 里 通 过 几 个 例 学 甚 这 子 归 纳 这 类 问题 的 几 种 常 用 解 法 和 需 要 注 意 的 问题 ．
一
的 等 比数 列 ， ｂ 令 ＝ａｌａ （ ） 若 数 列 ｛ 中 的每 一 ｎ ｎＥＮ＋ ． ｇ ｂ｝ 项 总 小 于 它后 面 的 项 ， 。的取 值 范 围． 求
解 题 技 巧 与 方 法 嚣
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【 要 】 等 式 的 恒 成 立 问题 是 学 生 较 难 理 解 和 掌 握 的 摘 不
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◎ 马 健 （ 肃 省 陇 南 市武 都 区 两水 中 学 甘
五种策略巧解不等式中恒成立问题的参数范围
二 、 量 分 离 策 略 变 变 量 分 离 策 略 即将 参 数 与 未 知 量 分 离 于 表 达 式 的 两 边 ．
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由于 原 不 等 式 在Ｘ∈［ ｌ １ 一 ，］恒 成立 ，故 以上 各 情 形取 交 集 ， 以ａ ４ 所 ＝． 五 、 造 函数 策 略 构 此 种 策 略 在 综 合题 中 很是 常见 ． 据 题 意设 出所
周 宇
（ 睢宁 县 王 集 中 学 ， 苏 睢 宁 江 ２ １０ ） ２ ２ ０
五 种 策 略 巧 解 不 等 式 中 恒 成 立 问 题 的 参 数 范 围
摘 要 ： 观 近 几 年 全 国 高 考 试 题 ， 解 不 等 式 中恒 成 纵 求 立 问题 的参 数 范 围 的题 型 经 常 出现 。本 文详 细介 绍 了五 种 行 之有 效 的 解此 类题 的 策 略 。 关 键 词 ： 等 式 恒 成 立 问题 解 题 策 略 不 不 等 式 中恒 成 立 问 题 涉 及 一 次 函数 、 次 函 数 的 性 质 、 二 图 像 ， 透着换元 、 渗 化归 、 形 结 合 、 数 函数 与 方 程 等 思 想 方 法 ． 此 类 问 题 综 合 性 强 。 辑 能 力 要 求 高 ， 法 灵 活 ， 点 考 查 学 生 逻 解 重 的 分 析 问题 、 决 问 题 能 力 ． 握 以 下 几 种 常 规 策 略 ， 实 战 解 掌 在 中定 能 收 到很 好 的效 果 ， 面一 一 介 绍 ． 下
一
进 行研 究 的方 法 ． 种 方 法 让 我 们有 “ 重 水 复 疑 无路 ， 暗 花 此 山 柳 明又 一 村 ” 的感 觉 ． 使 我们 的 思路 清 晰 化 、 捷 化 ， 效 地 提 可 简 有 高 解题 效 率 ．
恒成立不等式中参数问题
浅谈恒成立不等式中的参数问题摘要：关于恒成立不等式的问题既含变量又含有参数，又有许多知识的交汇，因此与其相关的命题综合性比较强，题型也多种多样，这就需要我们在平时学习时用好转化思想，多归纳，多总结，多体会。
关键词：不等式恒成立参数恒成立不等式中的参数的取值范围问题，是近年来高考的热点之一，也是学生学习的难点之一。
它涉及的知识面比较广，并且综合性也比较强。
它往往与函数、数列、方程、立体几何、解析几何、复数以及应用型问题结合起来，题型形式灵活多变，而且语言也比较抽象。
那么哪些数学思想能解决此类问题呢？笔者下面就结合自己的教学经验，举一些具体的例子来讨论这类参数问题的处理方法。
例1.若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4∴a的取值范围为：-2说明：对于有关一元二次不等式ax2+bx+c0）的问题，可以设二次函数f（x）=ax2+bx+c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据它的图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。
例2.设对于所有的实数x，不等式x2log24（a+1）/a+2xlog22a/（a+1）+log2（a+1）2/4a2>0，都恒成立，求a的取值范围。
解法一：（利用代换，结合判别式）令u=log2（a+1）/2a，则：（3+u）x2- 2ux+2u>0∴ 3+u>0 （1）4u2-8u（u+3）0∴（a+1）/2a>1，解得：0解法二：（分离参数，利用最值法）原不等式可以化为：x2[3+log2（a+1）/2a]-2xlog2（a+1）/2a+2log2（a+1）/2a>0 即：（x2-2x+2）*log2（a+1）/2a+3x2>0∵ x2-2x+2=（x+1）2+1>0∴原不等式可化为：log2（a+1）/2a>（-3x2）/[（x-1）2+1]要使原不等式恒成立，当且仅当log2（a+1）/2a>0解得：0评述：涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，可以根据a>f（x）恒成立等价于a>f（x）max， a（-1+■）/2解（2）得，（1-■）/2<x<（1+■）/2由（1）（2）得：（-1+■）/2<x<（1+■）/2∴ x的取值范围为（-1+■）/2<x<（1+■）/2说明：利用转换思想解决恒成立问题，一定要搞清楚谁是自变量，谁是参数。
恒成立条件下参数问题的求解策略
恒成立条件下参数问题的求解策略〔关键词〕恒成立条件；参数；不等式；函数值域；等价转化；分离参数；主参互换所谓恒成立条件下参数的范围是指某个含参数的数学对象在给定条件下的参数允许取值的全体.求参数范围的本质则是根据条件寻求对参数的限制，再由这种限制得出参数范围.参数的范围一般用不等式表示，这样寻求对参数的限制可优先考虑，化归为关于参数的不等式（组）.当然，若所求为另一个变量的函数时，可考虑借助函数值域或范围.求参数范围的一般步骤为：１.由给定条件寻找对参数的限制；２.将对参数的限制化归为不等式（组）或函数的值域；３.由不等式（组）在寻找参数的范围时，可充分考虑利用判别式法、基本不等式法、数形结合法等.在将限制条件划归为不等式（组）或函数值域时常用等价转化、分离参数、主参互换、数形结合等方法.下面通过几个例题对这些方法作以展示，希望对读者有所启示.等价转化有些题目直接入手解决往往比较复杂，但若对题设中的式子作以等价转化，则可以化繁为简，易于问题的解决.例1：设对所有实数x，不等式x2log2+2xlog2+log2＞0恒成立，求a的取值范围.分析：此题直接求解比较麻烦，若令log2=t，则原式可化为（3+t）x2-2xt+2t ＞0恒成立，经过分析可求解.解：设log2=t，则欲使已知不等式大于0恒成立，只需（3+t）x2-2xt+2t＞0恒成立，即3x2+[（x-1）2+1]t＞0恒成立，故只需t＞0，即log2＞0，解得0＜a ＜1.分离参数法对于有些问题若能将已知式子中的未知数和参数分离开来，则可通过求函数的值域求出参数的取值范围.例2：已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：此题可先经过等价转化，由区间[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立，然后将不等式分离参数得g（a）＞f（x）恒成立，再求得f（x）的最大值f（x）max，由g（a）＞f（x）max得a的取值范围.解：在区间[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立.要使x2+2x+a ＞0恒成立，只需a＞-x2-2x=-（x+1）2+1恒成立.由二次函数的性质可得-（x+1）2+1≤-3，故a＞-3.利用函数的最值例3：同例2.分析：此题可等价转化为在区间[1，+∞）上x2+2x+a＞0恒成立，令y=x2+2x+a，x∈[1，+∞），判断y=x2+2x+a在区间[1，+∞）上的单调性从而求出ymin=3+a，再根据ymin=0时f（x）＞0恒成立解得a的取值范围.解：在区间[1，+∞）上f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立.因为函数y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在区间[1，+∞）上为增函数，所以当x=1时，ymin=3+a.于是当且仅当ymin=3+a＞0时，f（x）＞0恒成立，即有a＞-3.利用函数的单调性通过研究函数的单调性确定函数的值域，从而求出参数的范围也是解此类题目常用的方法.例4：同例2.分析：先将f（x）=，x∈[1，+∞）化简为f（x）=x++2，x∈[1，+∞），再通过判断此函数的单调性求出f（x）min=3+a，进而求得a的取值范围.解：f（x）=x++2，x∈[1，+∞），当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；当a ＜0时，y=x+2与y=在[1，+∞）上均为增函数.所以f（x）=x++2在x∈[1，+∞）上为增函数，故当x=1时，f（x）min=3+a.于是当且仅当f（x）min=3+a＞0时，f（x）＞0恒成立.故a＞-3.主参互换在求参数范围时，如果直接求解较为困难，那么在已知条件中将参数和未知数进行换位，则可使问题迎刃而解.例5：已知方程ax2-2（a-3）x+a-2=0中的a为负整数，试求使方程恒有整数解时a的取值范围.分析：可将关于x的二次方程通过变更主元化为关于参数a的一次方程，由方程得（x2-2x+1）a+6x-2=0，再根据a的取值范围求得x的取值范围，从而确定x的取值，再经过讨论可求得a的取值范围.解：因为ax2-2（a-3）x+a-2=0，所以（x-1）2a=2-6x.显然x≠1，得a=.（1）∵a为负整数，∴a≤-1.故≤-1，即x2-8x+3≤0，解得4-≤x≤4+.因此，x的整数值只能为2、3、4、5、6、7，逐个代入（1）式中，可知x=2时，a=-10；x=3时，a=-4.故当a为-4或-10时，方程恒有整数解.注：此解通过变更主元将关于x的二次方程转化为关于a的一次方程，起到了降次、化简的功效，更是避免了不必要的分类讨论.构造函数法根据题目中所给的含参不等式的结构特征构造适当的函数，并利用函数的性质可求参数的范围.例6：已知不等式++…+＞loga（a-1）+对于大于1的一切自然数n恒成立，试求参数a的取值范围.分析：根据题目所给的不等式的特点构造函数f（n）=++…+，并通过判断此函数的单调性求出f（n）的最小值为f（2）=，由f（n）＞loga（a-1）+对于大于1的一切自然数n恒成立，必须有loga（a-1）+＜，从而可求得a的取值范围.解：构造函数f（n）=++…+，则f（n+1）-f（n）=+-=＞0.由此可知，关于n（n＞1，n∈N）的函数f（n）在[2，+∞）上是单调递增函数.又∵n是大于1的自然数，∴f（n）≥f（2）=.故要使f（n）＞loga（a-1）+对于大于1的一切自然数n恒成立，必须有loga （a-1）+＜.∴loga（a-1）＜-1，∴a∈（1，）.。
恒成立求参数范围题解题技巧
恒成立求参数范围题解题技巧
嘿，同学们！今天咱就来讲讲恒成立求参数范围题的解题技巧，这可真是个让人又爱又恨的家伙啊！
比如说，给你这样一道题：对于任意 x，不等式x²+ax+1＞0 恒成立，求 a 的取值范围。
哇，是不是一下子有点懵？别急，听我慢慢道来。
首先呢，咱得看到关键信息，“恒成立”这三个字可太重要啦！就好像你要追一个心仪的对象，不管对方啥时候出现，你都得有办法应对，才能成功追求到嘛。
这时候就得用上我们的绝招啦！
第一种方法，判别式法。
咱先把不等式看成一个二次函数，这就像给它拍了张快照。
然后看看判别式，如果判别式小于 0，那它就恒在 x 轴上方，不就恒成立啦！就像天总是蓝的，你就不用担心下雨啦！像刚才那道题，咱用判别式来算一算，一下子就能找到 a 的范围啦！
再比如，给你这样一个例子：x²-2ax+2-a＞0 恒成立，这又咋搞？嘿嘿，还是用同样的办法呀，判别式出马，轻松搞定！
还有第二种方法，最值法哦！有时候我们得找到这个函数的最值，让最值都满足条件，那肯定就恒成立啦！这就好比你得把自己的底线守好，只要底线不出问题，那一切就都没问题啦！
哎呀呀，学会这些技巧，是不是觉得恒成立求参数范围题也没那么可怕啦？其实啊，数学就是这样，只要你掌握了方法，就能轻松应对！所以大家一定要多练习，多思考，把这些技巧都变成自己的武器，去攻克那些难题吧！相信你们一定可以的！加油哦！。
不等式恒成立问题中的参数求解技巧
不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。
本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。
一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。
变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<0。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知。
关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。
例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。
例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。
</k<1<>②当图象与x轴有交点，且在时，只需由①②知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。
恒成立，即大于时大于函数值域的上界。
不等式恒成立问题的解题策略
线 恒在 直 线上 方 时 ． 只 有 ３ （轴 ）＜ ＜ 即 － ＇ ０ｋｅ （ 切） 相 时不 等 式成 立 。 得 ０ｋ ｅ 故 ＜ ＜．
评 注 当原 函 数 的 图 象 较 难 作 出 时 ， 要 对 函数 进 行 等价 变形 ． 到 易 作 出不 等 直
式 两边 的两 个 函数 图象 为 止．
在 数 学 问 题 中 经 常 碰 到 有 关 恒 成 立
别 位 于 不 等 式的 两边 ． 其 转 化 为 最值 问 将
问题 ． 决这类 问题的方法尽管很 多， 解 但 都离 不 开 一些 基 本 的数 学 思 想 ， 化 归 思 如 想、 函数 方 程 思想 、 形 结 合 思 想 等 等 ， 数 下 面 举 例 介 绍 解 决 这 类 问题 的 几种 常 用 解
价点 蛾时 ｆ １ 设 ） ） 于 ，＼ ／ ｎ ： 当≥ ＜ ｍｉ． ０ ， ：
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一
在 处 理某 些 不 等 式 恒成 立 问 题 时 ， 适
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变量 就是 通 过 恒 等 变初 步 估 计 出 参数 的取 值 范 围 （ 小 缩
要 充 分 利 用 不 等 式 （ 形 结 合 ） 函数 的 数 及
性质 、 式（ 公 最值 ） 知识 进 行解 题 ． 等
评 注 利 用 分离 变 量 求 最 值 ．往 往 可
以 避免 分 类 讨 论．
￣ｆ ａ （２ 一 ） （ １ ， 式 为 关 －（） 一 ｘ １ ＋ 一 ）此
浅议不等式恒成立问题的几种解题策略
数理化解题研究2021年第01期总第494期浅议不等式恒成立问题的几种解题策略刘树江(山东省临沂临港经济开发区第一中学276624)摘 要：高考数学题量较大，运算量较大，考查较灵活，但是从本质上来讲都是知识点之间的相互转换，这种转换为学生提供了解题思路和方法.本文针对不等式恒成立问题，突出知识点之间的转化,从解题方法上加 以论述，剖析几种常见的解题策略.关键词：不等式恒成立；方法；高考；解题策略中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)01 -0016 -02不等式恒成立问题是高考和竞赛的热点和难点,又 是每年高考题中常考的一个问题,在选择题、填空题和大 题中都有出现，此类题目一般综合性强，同时兼顾考查“函数与方程”“化归与转化” “数形结合” “分类讨论”等 数学思想方法.下面结合例题浅谈含参不等式恒成立问 题的常见解题策略.一、最值法最值法是我们解决不等式恒成立问题最常用的一种方法,/(%) M a 恒成立O /(%)min M a ；f (%) W a 恒成立O/( %)max W a .例1 (2019年高考全国川卷・理23)设%,y ,z e R ,且 % + y + z _ 1.(1) 求(%-1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 的最小值；(2) 若(% -2)2 + (y - 1)2 + (z - a )2 M ；成立,证明：a W — 3 或 a M — 1.解析 (1) 略(2)因为[(% -2) + (y - 1) + (z - a )]2_ (% -2)2 + (y - 1)2 + (z - a )2 + 2 [(% - 2) (y - 1)+ (y -1)(z — a ) +(z — a )(% -2)]W3 [ (% -2)2 + (y - 1)2 + (z - a )2 ],所以由已知得(%-2)2 + (y -1)2 + (z -a )2M 岂必,当且仅当%二于,y 二宁,z 二筈2时等号成立. 故(% -2)2 + (y -1)2 + (z -a )2 的最小值为亘¥丫.由题设知(2；a)2 M*,解得a W -3或a M -1.二、分离参数法不等式恒成立问题中，如果所求的参数能从不等式中分离出来，常常先进行分离,使参数和主元分别位于不 等式的两边,然后构造函数,最后化归为最值法求解.例2 (2019年高考天津・理8)已知a e R ,设函数%2 -2a% + 2a ,%W1,”、， …一一 ,/(%) _{ 若关于%的不等式/(%) M0% - a I n %,% > 1.在R 上恒成立，则a 的取值范围为().A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]解析 当% _ 1时,/(1) _ 1 - 2a + 2a _ 1 > 0恒成立:当 % < 1 时,f (%) _ %2 - 2a% + 2a M 0 恒成立 o2 a M%2「恒成立.% - 1%2令 g (%) _ 亠f,% - 1则 g (%)%2 _ (1 - % - 1)21 - % 1 - %(1 -%)2 -2(1 -%) +1-(1-% + 1- %-2)收稿日期：2020 -10 -05作者简介：刘树江(1973. 3 -)，男，山东省临沂人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.—16 —1 - %W-(2j(1-%) •亠-2) _0,1 - %当1-% = * 1，即% _0时取等号.1 - %所以2a M g (%)唤_0.解得a >0.当% > 1时/(%) _% - a ln %M0恒成立，即a W %恒成立.In%2021年第01期总第494期数理化解题研究令h(%)=盍，则h(%)=(|#当%>e时，因为h'(%)>0,所以函数h(%)单调递增，当1<%<e时，因为h'(%)<0,所以函数h(%)单调递减，则%=e时,h(%)取得最小值h(e)=e.所以a W h(%)mm二e.综上可知,a的取值范围是［0,e］.故选C.三、数形结合法若不等式应用直接求解比较复杂,可考虑对不等式的两边巧妙构造函数，借助函数图象,数形结合,直观形象,从而使问题快捷解决.例3(2018年全国川卷・文理23)［选修4—5：不等式选讲］设函数/(%)=I2%+1+I%-1I.(1)画出y=/(%)的图象；(2)当%e［0,+8)时,f(%)W a%+b,求a+b的最小值.'-3%,%<-亍，解析⑴/(%)=■%+2,_%<1,y=/(%)的图13%,%M1.象如图2所示.(2)由(1)知,y=/(%)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a M3且b M2时,f(%)W a%+b在［0,+8)成立.因此a+b的最小值为5.图2四、分段(类)讨论法当不等式两边的函数具有不确定因素时，可以应用分类或分段讨论的方法处理.分类(分段)讨论可以使原不等式的不确定因素变化为确定因素,从而达到化繁为简的目的.例4(2018年全国I卷・文理23)［选修4-5：不等式选讲］已知/(%)=%+1-a%-1I.(1)当a=1时，求不等式代%)>1的解集；(2)若%e(0,1)时不等式/(%)>%成立，求a的取值 范围.解析⑴略.(2)当%e(0,1)时，%+1-a%-1>%成立等价于当%e(0,1)时,a%-1<1成立.若a W0,则当%e(0,1)时a%-1IM1；2若a>0,a%-1<1的解集为0<%<.a2所以—M1.解得0<a W2.a综上,a的取值范围为(0,2］.五、变更主元法若不等式恒成立问题中存在多元参数,若按常规思路确定主元，会导致求解非常繁琐.若能针对问题的结构特征,转换思考问题的角度，可适当变更主元,反客为主,往往可以避免分类讨论，化难为易，使问题得到解决.例5设不等式m%2-2%-m+1<0对满足m W2的一切m都成立,求%的取值范围.分析本题按常规思路,常将%确定主元,当m H0时，则是关于%的一元二次不等式，讨论起来很复杂.若通过变换主元,将参数m设为主元，将不等式看成关于m的不等式，进而将不等式的左边看成关于m的函数，利用函数性质求解,可大大简化解题过程.解析设/(m)=(%2-1)m+1-2%,由条件/(m)< 0对满足m W2的一切m的值都成立.所以/(2)<0,/(-2)<0.2%2-2%-1<0,解不等式组｛2-2%2-2%+3<0.仙刁曰V7—1^3+1解得2<%<2.所以%的取值范围是三一丄<%<与丄.参考文献：［1］朱婷婷，黄智华.函数与不等式口］.中学数学教学参考，2019(Z1)：72-75.［2］常建伟.例谈含参不等式恒成立问题［J］.新课程学习(下)，2012(11)：47.［3］王薰.不等式恒成立问题的常用解法［J］.中学生数理化(学研版)，2012(10)：14.［责任编辑:李璟］—17—。
恒成立问题中参数范围的求解方法
恒成立问题中参数范围的求解方法作者：范增康来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第13期摘要：恒成立问题在高中数学中较为常见。
这类问题的解决渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，实际上只要紧紧抓住“题型”，这类求恒成立时的参数范围的问题便将迎刃而解。
关键词：恒成立；参数范围；取值范围；求解方法中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）13-0123恒成立问题，在高中数学中较为常见。
这类问题的解决渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
此类问题解法灵活、综合性强，部分考生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢？实际上只要紧紧抓住“题型”，这类求恒成立时的参数范围的题目便将迎刃而解。
一、数形结合数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。
我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1. f（x）>g（x）函数f（x）图象恒在函数g（x）图象上方；2. f（x）函数f（x）图象恒在函数图象g（x）下上方。
例1. 设x∈[0，4]，若不等式≥ax恒成立，求a的取值范围。
解析：设y1=x（4-x），则（x-2）2+y2=4（y1≥0），它表示的是圆心为（2，0），半径为2的半圆（如图所示）。
另设y2=ax，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a的直线，将两者图象画在同一坐标系下，根据不等式≥ax的几何意义，要使得半圆恒在直线l的上方（包括相交），当且仅当时a例2.设f（x）=， g（x）=x+1-a，若恒有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围。
解析：在同一直角坐标系中作出f（x）及g（x）的图象，如图所示，f（x）的图象是半圆（x+2）2+y2=4（y≥0），g（x）的图象是平行的直线系4x-3y+3-3a=0。
处理数列型不等式中恒成立问题的策略课件
精选例 例 2 已知函数 f (x) 满足：对任意的 x R, x 0 ，恒有 f (1 ) x 成题立，
x 数列{an}、{bn} 满足 a1 1,b1 1 ，
且对任意 n N ，均有 an1
an f (an f (an )
) 2
, bn1
bn
1. an
( I )求函数 f (x) 的解析式;
( II )求数列{an}、{bn} 的通项公式;
(III)对于 [0,1] ，是否存在 k N ，使得当 n k 时， bn (1 ) f (an ) 恒成立？ 若存在，试求 k 的最小值；若不存在，请说明理由.
解：( I )由 f (1 ) x 易得 f (x) 1 , (x 0)
等价于 [0,1] 时， (2n 1) n 2 4n 3 0 恒成立， 设 g ( ) (2n 1) n 2 4n 3 0 ，
通过对历年考题的分析和归纳总结，发现解决此类问题的 常用方法是利用“分离变量”转化为最值问题或者“函数与方 程”去解决。
真题回放
（06'湖北理17）已知二次函数y f (x)的图像经过坐标原点，其导
函数为f '(x) 6x 2.数列an的前n项和为sn，点n，sn n N
均在函数y f (x)的图像上.
又由点n，sn n N 均在函数y f x的图像上得sn 3n2 2n.
当n 2时,an sn sn1 6n 5
当n 1时,a1 s1 1 61 5符合上式 所以an 6n 5.
(2)有(1)得bn
3 an an 1
Байду номын сангаас
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如何求恒成立问题中参数的范围
如何求恒成立问题中参数的范围湖南省衡东县欧阳遇中学 廖鹏飞恒成立问题是中学数学的一类很重要的题型，它是函数、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,很好地考查了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法. 其中往往是以求某一个参数的范围为命题方向，解答这类问题常常有如下几种常用技巧和思路：1. 判别式法例1 若不等式210mx mx ++>对一切实数恒成立，求实数m 的取值范围． 解：当0m =时，10>显然对一切实数恒成立；当0m ≠时，要使不等式210mx mx ++>对一切实数恒成立，须有00m >⎧⎨∆<⎩，，，即2040m m m >⎧⎨-<⎩，，解得04m <<．综上， m 的取值范围是[04)，． 注：不等式20ax bx c ++>对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨>⎩，，或00a >⎧⎨∆<⎩，；；不等式20ax bx c ++<对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨<⎩，或00.a <⎧⎨∆<⎩， 2. 构造函数法①一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解.例2.对于一切 |m| ≤2，不等式m x mx x +>++212恒成立，求实数x 的取值范围.解：设12)1()(2+-+-=x x m x m f ，当1=x 时，0)(=m f 不符合题意. 当1≠x 时，要使0)(>m f 在]2,2[-∈m 上恒成立，则：⎩⎨⎧>>-0)2(0)2(f f ⎪⎩⎪⎨⎧>->+-⇒0103422x x x ⇒31>-<x x 或. 故)1,(--∞∈x ),3(+∞ ②二次函数型问题，结合抛物线图像.例3. 对于| x | ≤2，不等式03)1()1(2>+-+-x m x m 恒成立，求实数m 的取值范围解：设3)1()1()(2+-+-=x m x m x f . 当1=m 时，3)(=x f >0，符合题意. 当1,01<>-m m 即时，∵)(x f 图像对称轴为21=x ，∴)(x f >0在]2,2[-∈x 上 恒成立⇔△=0)1(12)1(2<---m m ，解得：111<<-m当1,01><-m m 即时，∵min )(x f )2(-=f ，∴)(x f >0在]2,2[-∈x 上恒成立⇔ 0)2(>-f ,即03)2()1()2()1(2>+-⨯-+-⨯-m m ，解得：231<<m . 综上，)23,11(-∈m注：若已知条件中的变量有两个，其中有一个变量的范围已知，若该变量为一次，则可以采用一次函数法，若为二次，则可以采用二次函数法，注意分类讨论思想的应用. 3. 直接利用图象判断例4. 当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.分析：本题若直接求解，则较为繁难，若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为对数函数的图象，借助图形可直观、简捷求解．解：设y 1=(x-1)2,y 2=log a x ，则在同一坐标系内y 1 、y 2的图象如右图所示，要使对一切x ∈(1,2),y 1<y 2恒成立，显然a>1,并且只需当x=2时y 2的函数值大于等于y 1的函数值.故log a 2>1,a>1, ∴ 1<a ≤2.注：对于f(x)<g(x)（或f(x)>g(x)）型问题，一般先利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。
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数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问题.【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问题.1最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种非常重要地方法,其解题原理是f(n>>m恒成立f(n>min>m,f(n>0.∵an>0,∴只需lga［n(a-1>+a］>0.<1）当a>1时,lga>0,只要n(a-1>+a>0,n>a1-a.<2）当0a1-a.为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立,只需a1-a小于n地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范围,转化为解不等式或求函数地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃.2数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题,对于某些最值不容易求出地问题,我们可以考虑先实行变量分离,再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则所蕴涵地数列关系便由隐变显,从而问题转化为求主元函数地值域或上,下限(上限为最大值地临界值、下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强,因而应是一种较好地求参方法.例3 <2003年新教材高考题改编题）设a0为常数,数列{an}地通项公式a n=15［3n+(-1>n-12n］+(-1>n2na0(n∈n*>,若对任意n≥1不等式a n＞a n-1恒成立,求a0地取值范围.解 a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-13×2n-15+ (-1>n3×2n-1a0,故a n＞a n-1等价于(-1>n-1(5a0-1>-15×322k-2+15.此式对k=1,2,…恒成立,有a0>-15×322×1-3+15=0.综上所述,①式对任意n∈n+成立,有0 故a0地取值范围为0,13.例4 <2008年全国ⅱ）设数列{a n}地前n项和为s n,已知a1=a,a n+1=s n+3n<n∈n+）.<1）设b n=s n-3n,求数列{b n}地通项公式；<2）若a n+1≥a n(n∈n+>,求a地取值范围.分析第<1）小题利用s n与a n地关系可求得数列地通项公式；第<2）小题将a n+1≥a n转化为关于n与a地关系,再利用a≤f(n>恒成立等价于a≤f(n>min求解.解 <1）依题意,s n+1-s n=a n+1=s n+3n,∴sn+1=2s n+3n,∴s n+1-3n+1=2(s n-3n>.∴{s n-3n}为等比数列,公比为q=2,首项为s1-3=a-3,∴s n-3n=(s1-3>2n-1=(a-3>2n-1.即b n=(a-3>×2n-1(n∈n+>.<2）由<1）知s n-3n=(a-3>×2n-1(n∈n+>.于是,当n≥2时,a n=s n-s n-1=3n+(a-3>×2n-1-3n-1-(a-3>×2n-2,∴a n+1-a n=2×3n+(a-3>×2n-1-2×3n-1- (a-3>×2n-2=4×3n-1+(a-3>×2n-2=2n-212×32n-2+a-3 .∵当n≥2时,a n+1≥a n,即2n-212×32n-2+a-3≥0,∴12×32n-2+a-3≥0,∴a≥3-12×32n-2.3例5 设a0为常数,且a n=15［3n-(-1>n-12n］+(-1>n2na 0(n≥1>,假设对任意地n≥1,有a n>a n-1,求a0地取值范围.解由a n地通项公式,a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-1×3×2n-15+(-1>n×3×2n-1a0,则a n>a n-1(n∈n*>等价于(-1>n-1(5a0-1>0.综上①②可知：<*）式对任何n∈n*成立,得a0地取值范围是0 说明本题是与数列有关地恒成立问题,确定数列32n,实质是利用了a n=32n地单调性,从而为确定a0地范围作铺垫.4例6 已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=18(a2n+a>(n∈n*>,a>0,若a n+1>a n对一切n∈n*成立,求a地取值范围.解抓住a n+1>a n实施赋值推理有a2>a1,得a>7,它仅保证命题a n+1>a n对n=1成立.假设n=k时命题an+1>a n成立,即a k+1>a k>0,则a k+1-a k=18a2k+1+a-18(a2k+a>=18(a2k+1-a2k>>0,这说明n=k+1时命题a n+1>a n也成立.综上所述,a>7时命题a n+1>a n恒成立,故a地取值范围是<7,+∞）.评注运用赋值法抓住结论成立地一个必要条件,并以此作为思维地新起点,借助于数学归纳法顺序地完成了充分地证明,求解过程给人以“起死回生”之感.例7 已知数列{a n}满足a1=12,a na n+1=1214n(n∈n+）.(1>求数列{a n}地通项公式；<2）设a>0,数列{b n}满足b1=1a(a-1>,b n+1=-b na(b n+a>,若|b n|≤a n对n∈n+成立,试求a地取值范围.解 <1）a n+1a n+2a na n+1=1214n+11214n,∴an+2a n=14.又∵a1=12,a1a2=1214,∴a2=14.∴{a n}是公比为12地等比数列,∴a n=12n.<2）|b1|≤121a(a-1>≤12a>1,a(a-1>≥2或0现证：a≥2时,|b n|≤a n对n∈n+成立.①n=1时,|b1|≤a1成立。
②假设n=k(k≥1>时,|b k|≤a k成立,则|b k+1|=|b k|a|b k+a|≤|b k|a(a-|b k|>≤12ka(a-1>≤12k+1,即n=k+1时,|b k+1|≤a k+1也成立,∴n∈n+时,|b n|≤a n,∴a地取值范围是［2,+∞>.例8 <2009年安徽卷理）首项为正数地数列{a n}满足an+1=14(a2n+3>,n∈n+.<1）证明：若a1为奇数,则对一切n≥2,a n都是奇数.<2）若对一切n∈n+都有a n+1>a n,求a1地取值范围.解 <1）已知a1是奇数,假设a k=2m-1是奇数,其中m为正整数,则由递推关系得a k+1=a2k+34=m(m-1>+1是奇数.根据数学归纳法,对任何n∈n+,a n都是奇数.<2）方法一：由a n+1-a n=14(a n-1>(a n-3>知,an+1>a n当且仅当a n3.另一方面,若0 若a k>3,则a k+1>32+34=3.根据数学归纳法,03a n>3,n∈n+.综合所述,对一切n∈n+都有a n+1>a n地充要条件是03.方法二：由a2=a21+34>a1,得a21-4a1+3>0,于是03.a n+1-a n=a2n+34-a2n-1+34=(a n+a n-1>(an-a n-1>4.因为a1>0,a n+1=a2n+34,所以所有地a n均大于0,因此a n+1-a n与a n-a n-1同号.根据数学归纳法,n∈n+,a n+1-a n与a2-a1同号.因此,对一切n∈n+都有a n+1>a n地充要条件是03.5例9 已知数列{a n}中a1=a(a>0>,a n+1=a n-1a n 是否存在正数a,使得对任意n∈n*都有a na n+1>0？若存在,求出a地值；若不存在,请说明理由.解假设存在正数a使a na n+1>0恒成立,则a n>0,运用赋值法推理得a2>0,即a-1a>0,解得a>1.以此为思维地新起点,便可导致矛盾地结论.因为a n+1-a n=-1a na2+1时,有a n≤a-n-1a 这与a n>0恒成立相矛盾,从而不存在a适合题意.评注抓住一个必要条件,产生了矛盾地结论<实为反证法）,则探索终止,结论为假；若探索出一个正确地命题,则还需设法证明充分性,否则,不符合逻辑规则.以上介绍地几种常见函数型不等式恒成立问题地求解策略,只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数地取值范围.事实上,这些策略不是孤立地,在具体地解题实践中,往往需要综合考虑,灵活运用,才能使问题得以顺利解决.。