数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略

数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注

意地问题.

【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题

不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问

题.

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最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种

非常重要地方法,其解题原理是f(n>>m恒成立f(n>

min>m,f(n>0.

∵an>0,∴只需lga［n(a-1>+a］>0.

<1）当a>1时,lga>0,只要n(a-1>+a>0,n>a1-a.

<2）当0a1-a.

为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立,只需a1-a小于n

地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范围,转化为解不等式或求函数

地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃.

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数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题,对于某些最值不容易求出地问题,我们可以考虑先实行变量分离,再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则所蕴涵地数列关系便由隐变显,从而问

题转化为求主元函数地值域或上,下限(上限为最大值地临界值、

下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强,因而应是一种较好地求参方法.

例3 <2003年新教材高考题改编题）设a0为常数,数列{a

n}地通项公式a n=15［3n+(-1>n-12n］+(-1>n2na0(n∈n*>,若对任意n≥1不等式a n＞a n-1恒成立,求a0地取值范

围.

解 a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-13×2n-15+ (-1>n3×2n-

1a0,

故a n＞a n-1等价于(-1>n-1(5a0-1>-15×322k-2+15.

此式对k=1,2,…恒成立,有

a0>-15×322×1-3+15=0.

综上所述,①式对任意n∈n+成立,有0 故a0地取值范

围为0,13.

例4 <2008年全国ⅱ）设数列{a n}地前n项和为s n,已知

a1=a,a n+1=s n+3n

<1）设b n=s n-3n,求数列{b n}地通项公式；

<2）若a n+1≥a n(n∈n+>,求a地取值范围.

分析第<1）小题利用s n与a n地关系可求得数列地通项公式；第<2）小题将a n+1≥a n转化为关于n与a地关系,再利用a≤f(n>恒成立等价于a≤f(n>min求解.

解 <1）依题意,s n+1-s n=a n+1=s n+3n,∴s

n+1=2s n+3n,∴s n+1-3n+1=2(s n-3n>.∴{s n-3n}为

等比数列,公比为q=2,首项为s1-3=a-3,∴s n-3n=(s

1-3>2n-1=(a-3>2n-1.

即b n=(a-3>×2n-1(n∈n+>.

<2）由<1）知s n-3n=(a-3>×2n-1(n∈n+>.

于是,当n≥2时,

a n=s n-s n-1=3n+(a-3>×2n-1-3n-1-(a-3>×2n-2,

∴a n+1-a n=2×3n+(a-3>×2n-1-2×3n-1- (a-3>×2n-2

=4×3n-1+(a-3>×2n-2

=2n-212×32n-2+a-3 .∵当n≥2时,a n+1≥a n,即2n-212×32n-2+a-3≥0,∴12×32n-2+a-3≥0,∴a≥3-12×32n-2.

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例5 设a0为常数,且a n=15［3n-(-1>n-12n］+(-1>n2na 0(n≥1>,假设对任意地n≥1,有a n>a n-1,求a0地取

值范围.

解由a n地通项公式,

a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-1×3×2n-15+

(-1>n×3×2n-1a0,

则a n>a n-1(n∈n*>等价于

(-1>n-1(5a0-1>0.

综上①②可知：<*）式对任何n∈n*成立,得a0地取值范围是0 说明本题是与数列有关地恒成立问题,确定数列32n,实

质是利用了a n=32n地单调性,从而为确定a0地范围作铺垫.

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例6 已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=18(a2n+a>(n

∈n*>,a>0,若a n+1>a n对一切n∈n*成立,求a地取值范围.

解抓住a n+1>a n实施赋值推理有a2>a1,得a>7,

它仅保证命题a n+1>a n对n=1成立.假设n=k时命题a

n+1>a n成立,即a k+1>a k>0,则a k+1-a k=18a2

k+1+a-18(a2k+a>=18(a2k+1-a2k>>0,这说明n=k+1时命

题a n+1>a n也成立.

综上所述,a>7时命题a n+1>a n恒成立,故a地取值范围是

<7,+∞）.

评注运用赋值法抓住结论成立地一个必要条件,并以此作为思维地新起点,借助于数学归纳法顺序地完成了充分地证明,求解过

程给人以“起死回生”之感.

例7 已知数列{a n}满足a1=12,a na n+1=1214n(n∈n+）.(1>求数列{a n}地通项公式；<2）设a>0,数列{b n}满足b1=1a(a-1>,b n+1=-b na(b n+a>,若|b n|≤a n

对n∈n+成立,试求a地取值范围.

解 <1）a n+1a n+2a na n+1=1214n+11214n,∴a

n+2a n=14.

又∵a1=12,a1a2=1214,∴a2=14.∴{a n}是

公比为12地等比数列,∴a n=12n.

<2）|b1|≤121a(a-1>≤12a>1,a(a-1>≥2或0

现证：a≥2时,|b n|≤a n对n∈n+成立.①n=1时,|b

1|≤a1成立。②假设n=k(k≥1>时,|b k|≤a k成立,则

|b k+1|=|b k|a|b k+a|≤|b k|a(a-|b k|>≤

12ka(a-1>≤12k+1,

即n=k+1时,|b k+1|≤a k+1也成立,∴n∈n+时,|b n|

≤a n,∴a地取值范围是［2,+∞>.