高中数学恒成立问题的解题策略
有关恒成立问题的解题策略与技巧
有关恒成立问题的解题策略与技巧作者：黄翠萍来源：《中学生数理化·教与学》2015年第03期近年来，恒成立问题频繁出现在高考数学试题中，主要涉及求参变量的范围问题，考查函数、不等式、数列、导数、圆锥曲线等知识，让试题的深度与广度得到加深，并渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想与方法，能够考查学生的综合解题能力.因此，在高中数学学习过程中，学生要注重对这类题目的解题技巧的总结，通过反复练习，达到融会贯通的目的.教师要给予学生正确指导，帮助学生提高解决恒成立问题的能力.一、函数最值法函数最值法是学生比较常用的一种解题方法，适用于恒成立的相关题目.在教学过程中，教师要让学生根据题意，利用函数最值法来解决实际问题.这种方法简单省时.点评：在运用函数最值法解决恒成立问题时，要注重对题目进行变形处理.二、分离参数法在遇到含参数的不等式题目时，要将含参数的不等式进行变形，把参数分离出来，将不等式变形为一端只含参数的解析式，这种方法十分便捷有效，有利于学生快速解决问题.例2已知2a-3b=1，证明直线ax+by=5恒过定点.解：由2a-3b=1，得a=12（3b+1），带入直线方程后分离参数b，得（x-10）+b（3x+2y）=0；由方程x-10=0，3x+2y=0可得，x=10，y=-15；所以（x-10）+b（3x+2y）=0表示经过两直线x-10=0和3x+2y=0的交点（10，-15）的直线系方程.因此，当2a-3b=1时直线ax+by=5恒过定点（10，-15）.点评：分离参数法主要是将参数单独放在一端，另一端则为不含参数的函数，然后将其转化为函数最值问题进行处理.这样，就能将复杂的恒成立问题简单化，教师应该向学生加强这方面的指导，让学生能够用分离参数法解决高中数学中的恒成立问题.三、数形结合法运用数形结合法也可以解决恒成立问题.首先要构造函数，作出满足已知条件的函数图形，然后找出函数与函数图形在各区间上的关系，最后得出结论，求得参数范围.点评：在这道恒成立题目中，如果直接进行求解是很困难的，但是在构造函数后，利用函数图形来分析两个函数间的关系，这样就非常直观，也便于得出最后答案.另外，学生通过观察构造的函数，能够全面掌握各函数图形代表的含义，这样学生就能加深对已知条件的理解，今后在遇到类似的题目时，也能轻易解决.总之，高中数学恒成立题型很多，解法也很多，在实际的解题过程中，要充分了解给定函数的特点和性质，具体问题具体分析，选择最恰当的解题方法，尽量将问题等价转化，这样就能很轻松的解决问题.教师要注重对学生进行这方面的指导，让学生在面对恒成立问题时，能够运用有效的方法解决难题.。
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！
开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。
由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。
所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。
适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。
方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。
方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。
总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。
平时练习过程中，应注意观察，总结！。
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略一、恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立。
某函数地定义域为全体实数R 。
●某不等式地解为一切实数。
❍某表达式地值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数地性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生地综合解题能力,在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了积极地作用.因此也成为历年高考地一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数地奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数地图象.二、恒成立问题解决地基本策略<一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min)]([)(x f m D x x f m≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x>地最大值或者最小值问题,我们可以通过习题地实际,采取合理有效地方法进行求解,通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f<x）地最值.这类问题在数学地学习涉及地知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现地试卷类型,希望同学们在日常学习中注意积累.(二>、赋值型——利用特殊值求解等式中地恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1>4+b 1(x+1>3+b 2(x+1>2+b 3(x+1>+b 4定义映射f：(a 1,a 2,a 3,a 4>→b 1+b 2+b 3+b 4,则f：(4,3,2,1>→(>A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4=0,故选D例2．如果函数y=f(x>=sin2x+acos2x 地图象关于直线x=8π-对称,那么a=<）.A .1B .-1C .2D .-2.略解：取x=0及x=4π-,则f(0>=f(4π->,即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想.<三）分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本地解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x>=ax+b(a≠0>,若y=f(x>在[m,n]内恒有f(x>>0,则根据函数地图象<直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x><0,则有)(0)(<<n f m f 例2．对于满足|a|≤2地所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立地x 地取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 地一次函数大于0恒成立地问题.解：原不等式转化为(x-1>a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a>=(x-1>a+x 2-2x+1,则f(a>在[-2,2]上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1>∪(3,+∞>此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上地图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方<或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体地方法,在今后地解题中自觉运用.<1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0>大于0恒成立,则有00<∆>且a <2）若是二次函数在指定区间上地恒成立问题,可以利用韦达定理以及根地分布知识求解.例3．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 地定义域为R,求实数a 地取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数地讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立,所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,f(x>地定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：()y f x =地函数图像都在X 轴及其上方,如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 地最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上地最小值为()g a .⑴当22a -<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a> a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()(3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 地取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号地左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0地问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：<运用根地分布）2—2⑴当-<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥2∴a ≤2a ∉(4,+∞)∴a 不存53在.⑵当-2≤-≤22a,即-4≤a ≤4时,2g (a )=f (a 2)=--a +3≥24a ,2-22-2≤a ≤2－22-2∴-4≤a ≤2⑶当->2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥2,2a∴a ≥-5∴-5≤a <-4综上所述-5≤a ≤22-2.此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定地情形,对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法<如例4、例5）,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上地最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量地范围已知,另一个变量地范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号地两边,则可将恒成立问题转化成函数地最值问题求解.运用不等式地相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内地任何一个数都有f(x>>g(a>恒成立,则g(a><f(x>min 。
高中数学恒成立问题
高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是.注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
二、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.解：由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.四、最值法当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.例4 已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.例5 对于任意实数x ，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立，求实数a 的取值范围.分析①：把左边看作x 的函数关系，就可利用函数最值求解.解法1：设f （x ）=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,（x ≤1）3，（-1＜x ≤2）2x-1,（x ＞2） ∴f （x ）min =3. ∴a ＜3.分析②：利用绝对值不等式│a │-│b │＜│a ±b │＜│a │+│b │求解f （x ）=│x+1│+│x-2│的最小值.解法2：设f（x）=│x+1│+│x-2│，∵│x+1│+│x-2│≥│（x+1）-（x-2）│=3，∴f（x）min=3. ∴a＜3.分析③：利用绝对值的几何意义求解.解法3：设x、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│＞3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当a＜3时，│PA│+│PB│＞a恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立.∴实数a的取值范围为（-∞，3）.小结求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.。
含参数恒成立不等式问题的解题策略
含参数恒成立不等式问题的解题策略河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 张贺忠 Eail:含参数不等式恒成立问题是高中数学中的一类重要问题，是高考考查的重点和热点，本文将这类问题的解题策略作以介绍，供同学们学习时参考.一、主元变换法例1已知关于x 的不等式243x px x p +>+-对24p -≤≤恒成立，求实数x 的取值范围.分析：本题是对含参数的不等式在某个区间上恒成立，用主元变换法处理.解析：将其化为关于p 的不等式：2(1)430x p x x -+-+>对24p -≤≤恒成立， 当x =1时，不等式化为0>0，不成立.当x ≠1时，关于p 的一次函数()f p =2(1)43x p x x -+-+在[-2,4]上的值恒为正值， 无论一次项系数1x -为正还是为负，只需要(2)0(4)0f f ->⎧⎨>⎩，即222(1)4304(1)430x x x x x x ⎧--+-+>⎪⎨-+-+>⎪⎩，解得5x <-或1x >. 所以实数x 的取值范围(,5)(1,)-∞-⋃+∞.点评：对含参数的不等式在某个区间上恒成立问题，若将其看成关于已知范围的变量的不等式更为简单，常将已知范围的变量看作主变量，化为关于已知范围的变量的不等式，结合对应的函数图像，得出其满足的条件，通过解不等式求解.二、数形结合法例2已知关于x 的不等式2x <log a x 对1(0,]2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 分析：本题是一边为二次式另一边是对数式的不等式问题，用数形结合法.解析：作出y =2x 和log a y x =的图像，由题意知对1(0,]2x ∈，y =2x 图像恒在log a y x =的图像的下方，故2111()log 22a a <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1116a <<, 故实数a 的取值范围为1116a <<. 点评：对不等式经过移项等变形，可化为两边是熟悉的函数的形式，特别是可化为一边为多项式另一边是超越函数的不等式问题和含参数的一元二次不等式问题，常常用数形结合法，先构造函数，再作出其对应的函数的图像，结合图像找出其满足的条件，通过解不等式求出参数的范围.例3.对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立，求实数a 的取值范围.分析：设y =|1||2|x x +--,对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立即转化为求函数y =|1||2|x x +--的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令y =|1||2|x x +--=31211232x x x x -≤-⎧⎪--<<⎨⎪≥⎩在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立恒成立，只需3-<a .故实数a 的取值范围3-∞-（，）点评：本题中若将对任意实数x ，不等式12x x a+-->恒成立，求实数a 的取值范围，改为①任意实数x ，不等式12x x +--＜a 恒成立，求实数a 的取值范围，同样由图象可得a ＞3;②对任意实数x ，不等式12x x ++-＞a 恒成立，求实数a 的取值范围,构造函数，画出图象，得a ＜3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、分离变量法例3已知函数()f x 在R 上是减函数，对一切x R ∈不等式2(2sin )f m x -≤ 2(21cos )f m x ++成立，求实数m 的取值范围.分析:先用函数的单调性化为关于x 的不等式，再用分离变量法，化为一端关于m 的式子另一端是关于x 的式子的不等式，解析：∵函数()f x 在R 上是减函数，对一切x R ∈不等式2(2sin )f m x -≤ 2(21cos )f m x ++成立，∴22sin m x -≥221cos m x ++对一切x R ∈恒成立，∴221m m --≥2cos 2sin x x +对一切x R ∈恒成立，设()g x =2cos 2sin x x +， ∴221m m --≥max [()]g x ()g x =2cos 2sin x x +=2sin 2sin 1x x -++=2(sin 1)2x --+，当sin x =1即x =22k ππ+（k Z ∈）时，max [()]g x =2， ∴221m m --≥2， 解得x ≤1-或x ≥3，∴实数m 的取值范围为x ≤1-或x ≥3.点评：对含参数不等式的在某个范围上恒成立求参数范围问题,若容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，即化为不等式()f x <()g m (或()f x >()g m )在x 的某个范围上恒成立问题,则()g m <min [()]f x (()g m >max [()]f x ),先求出()f x 的最值，将其转化为关于m 的不等式问题，通过解不等式求出参数m 的取值范围.四、分类讨论法例4当x ∈[2,8]时，不等式221log a x -＞1-恒成立，求实数a 的取值范围.分析：本题不等式左边是对数式，底数含参数，故需要对底数分类讨论.解析：原不等式可化为：221log a x -＞22211log 21a a --， 当0＜221a -＜1 ①时，对数函数是减函数，则原不等式等价于：2121a -＞x 对x ∈[2,8]恒成立， ∴2121a -＞max x ， ∵当x ∈[2,8]时，max x =8， ∴2121a -＞8，②解①②得，34-＜a ＜2-或2＜a ＜34； 当221a -＞1 ③时，对数函数是增函数，则原不等式等价于：2121a -＜x 对x ∈[2,8]恒成立， ∴2121a -＜min x ， ∵当x ∈[2,8]时，min x =2， ∴2121a -＜2，④解③④得，a ＜1-或 a ＞1，综上所述，实数a 的取值范围为33(,1)(,)()(1,)4224-∞-⋃--⋃⋃+∞. 点评：对含参数恒成立的不等式问题，若参数取值不同，是不同的不等式或解法不同时，可对参数进行分类讨论进行求解，注意分类要做到不重不漏.五、判别式法例5不等式2222463x mx m x x ++++＜1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：本题左边是分子和分母都为关于x 二次三项式，可用判别式法.解析：∵2463x x ++＞0恒成立，∴原不等式可化为：22(62)3x m x m +-+-＞0对x ∈R 恒成立，∵2>0， ∴∆=2(62)42(3)m m --⨯-＜0，解得1＜m ＜3，∴实数m 的取值范围为（1，3）.点评：对可化为关于x 一元二次不等式对对x ∈R （或去掉有限个点）恒成立，常用判别式法.先将其化为关于x 一元二次不等式，结合对应的一元二次函数图像，确定二次项系数与判别式满足的条件，化为关于参数的不等式问题，通过解不等式求解.注意二次是否可为0.六、最值法例6若已知不等式4(4)13x x x a -->+-对x ∈[3,2)-恒成立，求实数a 的取值范围. 分析：本题是一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，将其化为一边是关于x 的二次式的另一边为0的形式，其对应的函数最值易求，故用最值法.解析：原不等式可化为：21613x x a ++-＜0对x ∈[3,2)-恒成立， 设()f x =21613x x a ++-(x ∈[3,2]-)=2855()39x a +--，对称轴x =83-∈[3,2)-且离2远，故x =2时，max [()]f x =473a -， 要使21613x x a ++-＜0对x ∈[3,2)-恒成立，只需max [()]f x =473a -≤0即可， 解得a ≥473，∴实数a 的取值范围为47[,)3+∞. 点评：对含参数的不等式恒成立问题，可将其化为()f x ＞0（或()f x ＜0）在x 的某个范围上恒成立问题，则0<min [()]f x (0>max [()]f x ),先求出()f x 的最值，将其转化为关于m 的不等式问题，通过解不等式求出参数m 的取值范围.。
高中数学 6大类30小类高阶方法搞定恒成立与有解问题
分离变换是解决方程、不等式有解，不等式恒成立最常用的方法，根据分离对象的不同可分为分离常数法、分
离整式法、分离参数法及分离函数法。
题型 1 分离常数法
分离常数法是研究分式形式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有
y
ax b cx d
，
y
ax2 mx2
bx nx
c p
x2
00
x
1 2
1
1
2
2
x
1 2
1
3
，
a 2
所以
a
2
3
，a
3或
3 a 2 。所以 a 的取值范围是
,
3
3, 2 。
变式 1 已知正实数 x，y 满足 xy ＋2x＋y＝4，则 x＋y 的最小值为________．
【分析】因为 xy＋2x＋y＝4，所以 x＝4－y.由 x＝4－y>0，得－2<y<4，又 y>0，则 0<y<4，
＋N＝f(a)＋f(－a)＝4
036－ 2
2－ 018a＋1 2
0182－a＋1＝4
034。故选
D。
例题 2
若对任意实数
x
恒有
a
2x2 3 x2 1
a2
，求实数
a
的取值范围.
【分析】从
2x2 3 x2 1
中分离出
2，使分子为常数，便于求范围。
【解析】因为
2x2 3 x2 1
2
1 ，由 x2 1
y＋2
y＋2
所以 x＋y＝4－y＋y＝ 6 ＋(y＋2)－3≥2 6－3，当且仅当 6 ＝y＋2(0<y<4)，即 y＝ 6－2 时取等号．
浅析高中数学恒成立问题的求解策略
高中浅析高中数学恒成立问题的求解策略山东省烟台第二中学 彭凤娇 解决恒成立问题的过程中，往往会涉及函数、方程、不等式等高中数学核心知识，以及转化化归、分类讨论、数形结合等重要数学思想，其综合性和灵活性注定使恒成立问题成为高考试题中的“香饽饽”．在对恒成立问题进行研究之后，整理了几类典型的题型，下面就从高考中出现的两道典型恒成立问题说起．引例１ （２００７年山东文）当狓∈（１，２）时，狓２＋犿狓＋４＜０恒成立，则犿的取值范围是．引例２ （２０１８年天津）已知犪∈犚，函数犳（狓）＝狓２＋２狓＋犪－２，狓≤０，－狓２＋２狓－２犪，狓＞０．｛若 狓∈［－３，＋∞），犳（狓）≤狓恒成立，则犪的取值范围是．从上面两道高考恒成立问题中不难发现，解决恒成立问题的方法大致可分为两种：分离参数与函数思想（即不分离参数）．在解答恒成立问题时需要具体题目具体分析．一、单变量恒成立问题（一）分离参数利用分离参数法来确定不等式犳（狓，犪）≥０（狓∈犇，犪为参数）恒成立时，参数犪的取值范围的一般思路：将题目中的参数与变量分离，化为犵（犪）≤犳（狓）（或犵（犪）≥犳（狓））恒成立的形式．接下来求解出函数犳（狓）的最小（或最大）值．最后解不等式犵（犪）≤犳（狓）ｍｉｎ（或犵（犪）≥犳（狓）ｍａｘ），进而求得犪的取值范围．该思路一般适用于参数与变量易分离且最值易求得的题型．如高考引例１中，注意到狓的取值范围，可以采用分离参数的方法．解：由狓∈（１，２），狓２＋犿狓＋４＜０恒成立，对不等式分离参数，得犿＜－狓２＋４狓．令犳（狓）＝狓２＋４狓＝狓＋４狓，易知犳（狓）在（１，２）上是减函数，所以狓∈（１，２）时，４＜犳（狓）＜５，则－狓２＋４狓（）ｍｉｎ＞－５，所以犿≤－５．又如高考引例２，也可以采用分离参数的方法，只不过要分段讨论，最终结果取“交集”．解： 狓∈［－３，＋∞），犳（狓）≤狓恒成立狓∈［－３，０］，狓２＋２狓＋犪－２≤－狓且 狓∈（０，＋∞），－狓２＋２狓－２犪≤狓 犪≤（－狓２－３狓＋２）ｍｉｎ＝２且犪≥－狓２＋狓２（）ｍａｘ＝１８犪∈１８，２［］．例１ 已知狓∈犚时，不等式犪＋ｃｏｓ２狓＜５－４ｓｉｎ狓＋５犪－槡４恒成立，求实数犪的取值范围．解：将参数进行分离，得５犪－槡４－犪＋５＞ｃｏｓ２狓＋４ｓｉｎ狓，即５犪－槡４－犪＋５＞１＋４ｓｉｎ狓－２ｓｉｎ２狓，只需要５犪－槡４－犪＋５＞（１＋４ｓｉｎ狓－２ｓｉｎ２狓）ｍａｘ．令ｓｉｎ狓＝狋（狋∈［－１，１］），则犵（狋）＝１＋４狋－２狋２（狋∈［－１，１］），易得犵（狋）ｍａｘ＝３．所以５犪－槡４－犪＋５＞３，即５犪－槡４＞犪－２ 犪－２≥０，５犪－４≥０，５犪－４＞（犪－２）２烅烄烆或犪－２＜０，５犪－４≥０，｛解得４５≤犪＜８．（二）函数思想一般思路：首先分清楚题目中的变量与参数．一般来说，题目给出取值范围的元为变量，最终求解范围的元为参数．通过构造变量的函数，借助所构造的函数的取值特征进行求解．若在客观题中涉及不同类型函数恒成立问题，可通过画函数图像的方法，排除选项，提高解题速度．如高考引例１也可以用函数思想（二次函数根的分布）来解答，也比较简便．解：设犳（狓）＝狓２＋犿狓＋４，易知二次函数的图像“开口向上”，则要使当狓∈（１，２）时，狓２＋犿狓＋４＜０恒成立，只需满足犳（１）≤０，犳（２）≤０，｛即５＋犿≤０，８＋２犿≤０，｛解得犿≤－５．总结：设犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）且犪＞０，犳（狓）＜０在狓∈［α，β］上恒成立 犳（α）＜０，犳（β）＜０．｛０４教学参谋解法探究２０２０年３月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.高中犳（狓）＜０在狓∈（α，β）上恒成立 犳（α）≤０，犳（β）≤０．｛例２ 已知犵（狓）＝ｌｏｇ犪狓，犳（狓）＝（狓－１）２，若狓∈（１，２）时，犵（狓）＞犳（狓）恒成立，求犪的取值范围．分析：对于犵（狓）＞犳（狓）恒成立的问题，有时候将不等式进行合理变形之后，能够非常容易地画出不等号两边的函数图像，最后通过图像直接判断出结果．特别是客观题，采用这种数形结合的方式能够简化解题步骤．根据函数犵（狓），犳（狓）的特征画出函数图像，可直观展示两函数关系．解：由图像分析易知，要使得当狓∈（１，２）时，犵（狓）＞犳（狓）成立，则需犪＞１，同时当狓∈（１，２）时，犵（狓）的图像在犳（狓）的图像上方，即犵（２）≥犳（２），解得犪∈（１，２］．总结：解题时既能落实数形结合思想，又能兼顾对数函数的特征，可使解题过程更加顺畅．二、双变量恒成立问题例３ 设函数犳（狓）＝狓－２ｓｉｎ狓， 狓１，狓２∈［０，π］，恒有犳（狓１）－犳（狓２）≤犕，求犕的最小值．分析：由题易知，要使得犳（狓１）－犳（狓２）≤犕， 狓１，狓２∈［０，π］恒成立，只需求犳（狓１）－犳（狓２）ｍａｘ，即犳（狓）ｍａｘ－犳（狓）ｍｉｎ的值．解：由犳（狓）＝狓－２ｓｉｎ狓，得犳′（狓）＝１－２ｃｏｓ狓，易知狓∈０，π３［］时，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减；狓∈π３，π［］时，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增．所以当狓＝π３时，犳（狓）有极小值，即最小值，且犳（狓）ｍｉｎ＝犳π３（）＝π３－槡３．又犳（０）＝０，犳（π）＝π，所以犳（狓）ｍａｘ＝π．所以犕≥犳（狓１）－犳（狓２）ｍａｘ＝犳（狓）ｍａｘ－犳（狓）ｍｉｎ＝２π３＋槡３．常见的双变量恒成立问题有如下两种：（一）题型一：狓１，狓２∈犇，都有犳（狓１）≤犵（狓２） 犳（狓）ｍａｘ≤犵（狓）ｍｉｎ（这里假设犳（狓）ｍａｘ，犵（狓）ｍｉｎ都存在）例４ 已知函数犳（狓）＝狓２－２狓＋２，犵（狓）＝２狓＋犿， 狓１，狓２∈［１，３］，都有犳（狓１）≤犵（狓２）恒成立，求实数犿的取值范围．解：犳（狓）＝狓２－２狓＋２＝（狓－１）２＋１，当狓∈［１，３］时，犳（狓）ｍａｘ＝犳（３）＝５，犵（狓）ｍｉｎ＝犵（１）＝２＋犿，则犳（狓）ｍａｘ≤犵（狓）ｍｉｎ，即５≤２＋犿，解得犿≥３．推广：狓１，狓２∈犇，都有犳（狓１）≥犵（狓２）·犳（狓）ｍｉｎ≥犵（狓）ｍａｘ（这里假设犳（狓）ｍｉｎ，犵（狓）ｍａｘ都存在）．（二）题型二： 狓１∈犇１，狓２∈犇２，都有犳（狓１）≥犵（狓２） 犳（狓）ｍｉｎ≥犵（狓）ｍｉｎ（这里假设犳（狓）ｍｉｎ，犵（狓）ｍｉｎ都存在）．例５ 已知犳（狓）＝ｌｎ（狓２＋１），犵（狓）＝１２（）狓－犿，若 狓１∈［０，３］， 狓２∈［１，２］，使得犳（狓１）≥犵（狓２），求实数犿的取值范围．解：当狓∈［０，３］时，由复合函数“同增异减”原理可得，犳（狓）在狓∈［０，３］上单调递增，则犳（狓）ｍｉｎ＝犳（０）＝０，当狓∈［１，２］时，犵（狓）单调递减，则犵（狓）ｍｉｎ＝犵（２）＝１４－犿，由犳（狓）ｍｉｎ≥犵（狓）ｍｉｎ得０≥１４－犿，所以犿≥１４．推广： 狓１∈犇１，狓２∈犇２，都有犳（狓１）≥犵（狓２） 犳（狓）ｍａｘ≥犵（狓）ｍａｘ（这里假设犳（狓）ｍａｘ，犵（狓）ｍａｘ都存在）．三、结束语在高中数学的学习中，不仅要熟知高考必考的数学知识，还须熟练掌握重要题型的解题思路和解题技巧，结合典型的数学思想去解决问题，注意勤于练习，学会举一反三，这样才能够爱学数学，学好数学．参考文献：［１］黄锦龙．树立五种意识 破解恒成立问题［Ｊ］．中学数学研究（华南师范大学版），２０１９（２１）．［２］蔡海涛．探寻必要条件 巧解恒成立问题———从一道２０１９年高考函数导数题谈起［Ｊ］．高中数学教与学，２０１９（２１）．［３］洪小银．高中数学恒成立问题方法解析［Ｊ］．中学数学，２０１９（９）．［４］周坤．一类恒成立问题的转化教学设计及反思［Ｊ］．中学数学，２０１９（９）．［５］孙成田，刘本玲．细解高考中的热点难点———不等式恒成立问题［Ｊ］．数学之友，２０１９（４）．［６］孔祥士．例谈“含参数的单变量不等式恒成立问题”的解题策略［Ｊ］．中学数学，２０１９（８）．犉１４２０２０年３月 解法探究教学参谋Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
高中数学中恒成立问题的解题策略
分 析： 令ｙ ＝ ｘ ａ ， ｙ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ ： ，当ｘ ∈（ ０ ， １） 时， 的图 象恒在ｙ １
的图象上方。
ｙ ｆ
ｔ ） ＝ ｎ（ １ － ａ ） ｔ — ａ ２ ＜ ￣０在 ｔ ∈【 一 １ ， １ 】 上恒成立 。
ｆ ａ ＜ Ｏ
【 ｆ （ 一１ ） ＝１ 一 ｆ １ 一 ａ １ — ０ ２ ≤０
利 用 数 形 结 合 解 决 恒成 立 问题 时 ， 应先构造函数 ， 作 出符 合
已知 条 件 的 图形 ， 再 考 虑 在 区 间上 函数 与 函数 图象 之 间 的关 系 ， 得 出答 案 或 列 出条 件 ， 求 出参 数 的范 围 。
例５ ： 如果不等式 — ｌ ｏ ＜ ０ 在（ ０ ， ｝） 内恒成立， 求实数ｍ
的取 值 范 围 。
求 负 数 Ⅱ的取 值 范 围 。 解析： 由题 知 ： ｃ ｏ ｓ ２ ｘ ＋ （ １ 一 ａ ） ｃ ｏ ｓ ｘ － ａ ２ ＜０ ￣ 对 一 切 ｘ∈ Ｒ恒成立。 令 Ｃ Ｏ Ｓ ｘ ＝ ｔ ， 由 Ｘ ∈Ｒ 知 ｔ ∈［ 一 ｌ ， １ ］ ， 设 ｆ （ ｔ ） ＝ ＋ （ １ 一 ａ ） ｆ — ｎ ， 贝 ０
ｆ ０ ＜ ０
ｌ ａ ≤ ０或 ａ≥ １
易得 ： ｛ ｆ （ １ ） ＝ ｌ ＋ １ 一 ｎ 一 ０ ２ ≤０ 甘｛ ｆ 】 ≤一 ２或 Ｑ ≥ｌ 铮 ｏ ≤一 ２
故 所 求 的 Ｑ的 范 围 为 （ 一 。 。， 一 ２ １ 。 说明 ： 本 题 采 用 了换 元 思 想 ， 从 而将 问题 转化 为 了二 次 函数 在指定区间上的恒成立问题。 ２ 采 用 变量 分离 。 利用不等式 ， 函数 单 调 性 等 知 识 加 以解 决
高中数学恒成立问题的求解策略
高 中 数 学 恒 成 立 问 题 的 求 解 策 略
肖常 定
（ 兴 义 市 第 一 中学 ， 贵州 兴义 摘 要： 对 于恒 成 立 问 题 ， 一 些 学 生 经 常是 束 手 无 策 ， 不 知 道从哪里 下手 。 找 不 到 问 题 的 突破 口 ， 因而 感 觉 十 分 困难 ． 如 果运 用 方 程 和 函数 思 想 ， 采用换元 、 化 归、 数 形 结 合 的 思 想 方法． 其 实恒 成 立 问题 是 不 难 解 决 的 ． － 巨成 立 问题 有 利 于 考 查 学 生 的 综合 解题 能 力 ． 也 是 历 年 高考 的 一 个 热 点． 本 文就 高 中 数 学恒 成 立 问题 的 求 解 策 略作 一 些 归纳 和 总结 。 以 飨读 者． 关键词 ： 高 中数 学 恒成 立 问题 思 想 方 法 求 解 策略
解 ： 当ｍ‘ 一 Ｉ ＝ ０ ￣ Ｐ ｍ ＝ ± ｌ 时， 分 别 代 人 已知 不 等 式 ， 知ｍ＝ ｌ 符 合题意 ：
例４ ： 对于 满足Ｉ ｐ ｌ ≤２ 的所有 实数Ｐ ， 求使不 等式ｘ ‘ ＋ ｐ ｘ ＋ ｌ ＞ ２ ｘ ＋ ｐ 恒 成 立 的Ｘ 的取 值 范 围 ． 分析 ： 在 不 等 式 中 出现 了两 个 字 母 ｘ 和Ｐ ， 关 键 在 于 把 哪 个 字母 看 成 变 量 ， 另一 个 作 为 常 数 ． 因 为Ｐ 的范围已知 ， 故 本 题 可 将ｐ 视 为 自变 量 ， 上 述 问题 即 转化 为 在 ［ 一 ２ ， ２ ］ 上 关 于 的一 次 函 数 大 于０ 恒成立的问题．
Ａ ≤０ 即可． ３ ． 二 次 函 数 在 指 定 区 间 上 的恒 成 立 问 题 ， 可 以 利 用 韦 达
定 理 及 根 的实 根 分 布 知 识 求解 ． 例ｌ ： 不等式 （ ｍ ‘ 一 １ ） ｘ ‘ ＋ ２ （ ｍ一 １ ） ｘ 一 １ ≤０ 对 任 意ｘ∈Ｒ 都成立 ， 求 实数 ｍ的 值 ．
高中数学恒成立问题解题思路
高中数学恒成立问题解题思路数学学习中经常碰到不等式恒成立问题，这类问题涉及函数的性质和图象，渗透着换元、化归、数形结合等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力和培养学生思维的灵活性、创造性。
其方法大致有：判别式法，最值法，变换主元法，数形结合法。
一、判别式法：二次不等式在R上恒成立，只需研究开口方向和判别式Δ。
例1？摇关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则a实数的取值范围是_______。
解：因为不等式恒成立，所以Δ二、最值法：不等式恒成立问题转化成求函数最值，分为两种：（1）直接构造函数；（2）分离参数后构造函数。
例2？摇（直接构造函数）已知函数f（x）=x2-2kx+2，当x≥-1时，f（x）≥k恒成立，求实数k的范围。
解：由题，x2-2kx+2-k≥0在x≥-1时恒成立。
令g（x）=x2-2kx+2-k（k≥-1），则[g（x）]min≥0.函数g（x）对称轴为x=k。
（1）k≤-1时，g（x）在[-1，+∞）上单调递增。
[g（x）]min=g（-1）=k+3≥0。
-3≤k≤-1。
（2））k>-1时，g（x）在[-1，k]上单调递减，（k，+∞）上单调递增。
[g（x）]min=g（k）=-k2-k+2≥0。
-1≤k≤1。
综上：k≤1。
例3？摇（分离参数后构造函数）已知函数f（x）=ax-■，当x∈（0，4]时，f（x）解：ax-■a令g（x）=■（0三、变换主元法：已知参数范围求x范围。
例4？摇对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x2+ax+1>2x+a恒成立的x的取值范围。
解：原不等式可转化为（x-1）a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立。
令f（a）=（x-1）a+x2-2x+1（-1≤a≤2），则f（a）>0恒成立。
f（-2）>0f（2）>0即：x2-4x+3>0x2-1>0 解得：x>3或x1或x x>-1或x四、数形结合法：可将不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，作出两函数的图象，通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。
恒成立问题解题策略
黪
’
（ ） 一 １ ｚ＜ 一 去 时 ， １ ２ １ 当 ≤ 一 ≤ ｚ＋ １ ０， 以 ＜ 所
１ ，
例 ｌ 若 ＿ ｚ） ｓｎ（ ＋ Ⅱ ＋ ｃ ｓ ｚ— ａ 为 偶 函 厂 （ 一 ｉ ） ｏ（ ）
ａ丢 令２ 一≤＜ ，｛ 可 ≥ ｛ ， ｚ 一， ｏ 化 十 则 丢
解 设 一 （ 一 １） ，
。
离 等 于 半 径 、 ｆ 所 有 是 Ｒ 且 是 Ｏ恒 成 立 的 题 ． ／ ｋ对 ｆ ∈ ≠
解 设 公 切 线 方 程 为 ＝ ｍ３＋ ｎ， ＝ ２ ＝ 则
生
一 ，／ 是∈Ｒ 且 是 ｆ Ｊ ２１ Ｉ 对 ｋ ≠ ）匣成 立 ，
Ｃ Ｓ＆ ０， 以 ａ－ ７～ （ Ｏ 一 所 一是 【 ｋ∈ ｚ） ．
（当 ＞ 丢 ，＋＞ ，以 ≤ ． ３ ｚ 一 时２ １０ ａ ） ｚ 所 令２斗一， ｏ 等 叮 为 一 １ｚ ＞ ， ＿ 则 羞 化 ｛ 孚 ２ 丢２ ２＝，以 ≤ ； （ 一） （ ＋ ≥ 一）ｌ “ １ ＝所 ＝
一
（ ） Ｔ一 ～ ÷ 时 ， ｚ＋ １— ０， ２ ０， 以 ２当 ２ ｚ＋ ＞ 所
ｎ∈ Ｒ ；
２ｓｎ ｚ ・ｓｎ ａ， 以 ｓｎ ｚ（ ｉ ＋ Ｃ ）一 ０． ｉ ｉ 所 ｉ ｓｎ ａ ＯＳｄ 因 为 对 一 切 ３∈ Ｒ 恒 成 立 ， 以 只 需 也 必 须 ｓｎ － 所 ｉ ＋
综 上 ， ａ的 取 值 范 围是 ［ 得 ３ １． ， ］
Ｉ ，
例 ２ 当 ｋ Ｒ 且 是 ０时 ， 方 程 （ ∈ ≠ 求 ｚ一 是 １ ＋ ） ＋
（ ～ ３ ） ２ 表 示 的 所 有 圆 的 公 切 线 方 程 ． ｋ 一 ｋ 分析 本 题 实 际 上 就 是 圆 心 （ １ ３ ） 直 线 距 ｋ ，ｋ 到
恒成立问题的解题策略
1、若不等式 对一切 恒成立，则实数a的取值范围
2、已知函数 在 上， 恒成立，则实数a的取值范围
3、不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围
4、已知函数 ，若 的取值范围
6、关于x的不等式 ，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为.
f(x)>0恒成立 ；
f(x)<0恒成立 .
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解，往往转化为求函数在此区间上的最值问题更简捷。
例6．（1）若函数 的定义域为R，求实数 的取值范围.
（2）若函数 的值域为R，求实数 的取值范围.
例7：已知函数 ，在R上 恒成立，求 的取值范围.
（一）恒成立问题基本类型1：先分离参数，再求函数的最值（或值域）
若不等式 在区间 上恒成立,则等价于:在区间 上,函数
若不等式 在区间 上恒成立,则等价于:在区间 上,函数
例1：（1）设实数 满足 ，若 恒成立，则 的取值范围是______
（2）不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围_____
7、若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０， ］成立，则a的最小值是().
Ａ.０Ｂ.－２Ｃ.－ Ｄ.－３
8、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（）.
A.1 B.-1 C. D.- .
9、 对满足 的一切 的值，都有 ，求实数 的取值范围；
10、已知函数 ， ．
（3） 的取值范围______
（4） 的取值范围______ .
例2．(07上海)已知函数
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）若 在区间 是增函数，求实数 的取值范围。
高中数学恒成立问题的几种求解策略
物理 学家玻 尔曼说 ： “ 模型 。 无论 是物 理 的 ， 还 是数 学的 ， 无论 是集合的， 还是 统 计的 ， 已成 为科 学 。 以思维 能 力理 解客体 和 用语 言描 述客 体 的工具。 ，它意味 着科 学 不再是 在 直接谈 论 客观 实在 。 这一 观点 目前 不仅 遍 布 于 自然科 学界 。 并且 已使科 学哲 学为之 改 观 。” 在数 学 生活化 的 学 习过 程 中， 教 师 引导 学生做 细 心观 察 ， 使 学生 “ 领悟 ” 出数 学源 于生 活 ， 用 于生 活 ， 数 学有 很 强 的应 用价值 。 学 生在 生 活 中接 触 到 的许 多数 学 问题 ， 为 了解决 这 些 问题 ， 要 对 接 触 到 的数据 、 信 息进行 整理 分 析 ． 建立数 学模 型 ， 再运 用 模型 化 解决 问题 。 例如 ： 学 习 了“ 长 方体 表 面 积” 一 节后 ， 教 师 随 时注 意将 数 学 知 识 与 实际 生活联 系起 来 ， 激励 学 生的创 新 意识 。教 师设 计这 样
范 围。
分析 ： 若要 应 用上 面的 结论 ， 必 须保 证 二 次项 系数 不 为 ０ ， 但 ａ ∈卜１ ， １ １ 恒成 立 ， 求实数 ｔ的取值 范围 。 二 次 项 系数含 有参 数 ｒ ｌ ｌ ， 所 以要 讨论 Ｉ Ｔ Ｉ — ａ 是 否是 ０ 。 分析 ： 本 题 不等 式 中有 三 个 变量 ， 因此 可 以通 过 消元 转 化 的 解 ：当 ｍ－ １ ＝ Ｏ时 ， 即 ｍ＝ ｌ时 。 原 不等 式化 为 ２ ＞ ０对 任 意 的 策 略 。 先 消 去一 个 变量 。 ｘ恒成 立 ， 满足题 意 ； 解： 因为 ｆ （ Ｘ ） 是定 义在 ［ － １ ， １ ］ 上 的 增 函数 ， 故ｆ （ ｘ ） 在 卜１ ， １ 】 上 的 当 ｍ－１ ≠０时 ， 即ｒ ｌ ｌ ≠１时 ， 最大值为 ｆ （ １ ） ＝ １ ， 则ｆ （ ｘ ） ≤ｔ ２ － ２ ａ ｔ ＋ １ 对 于所 有 的 ｘ ∈【 － Ｉ ， １ 】 ， ａ ∈卜 １ ， １ １ 恒 成 立 爿 ≤ｔ ２ － ２ ａ ｔ ＋ ｌ 对于所有的 ａ Ｅ卜１ ， １ １ 恒成立 ， 即２ ｔ ａ － 只 、 需 而 ｛＾ Ｉ △ 一 ＝ （ ， ｍ 一 １ ） ２ 一 ８ （ ｍ 一 １ 、 ） ＜ ０ ， 解 旰 的ｍ 。 Ｈ ∈ Ｅ ， （ １ ， ９ ， ｔ ２ ≤０对 于 所 有 的 ａ ∈【 － １ ， １ 】恒 成 立 ， 令 ｇ （ ａ ） ＝ ２ ｔ ａ — ｔ ２ ， 只 要
高中数学恒成立问题的解题策略
（ ） 厂 ≤ｍ 一 ａ ２ 若＿ ） ２ ｍ＋１对所有 ａ∈［一１ １ 恒成立 ， （ ，］
求 ｍ 的 取值 范 围．
（） １ 一次函数型 ；２ 二次函数 型； ３ 根据 函数 的奇偶 性 、 （） （） 周 期性 等性质进行设计的综合型． 现在我们一起 来探讨其 中的
一
分析 ： 第一问是利用 定义来证 明 函数 的单 调性 ， 第二 问
中 出现 了 ３个 字 母 ， 终 求 的 是 ｍ 的 范 围 ， 以 将 ａ当作 变 最 所
些 典 型 的 问题 ．
一
量， 再根据 函数的单调性求 出－ ） 厂 的最大值即可． （ （） １ 任取 Ｉ ２ ， ∈［一１１ ， ，］ 且 １ ２贝 一 ∈［一１ １ ， ＜ ，４ ２ ， ］
ｌ— 、 羹
学 法指导
Ｉ ＿ 一 ｌ
◆ ・
解 题 策 略 。
刘 兆 荣
恒 成 立 问题 涉 及 到 一 次 函 数 、 次 函 数 的 性 质 、 象 ， 二 图
１ ）＝ｌ若 Ⅱ ６ ， ， ∈［一ｌ１ ， ６ ， ，］ ＋ ≠０ 且有 （ ） 论 ｜（ 在 ［一１１ 上的单调性． １讨 厂 ） ，］
ｌ 一 ，
＞
０．
・ ． ．
＿ 。 ＜ （： － 厂 ） ， ）． （ ．
） ［ ，］ 在 一１１ 上单调递增．
ｍ）＞ ０
（） ２ 解 叵 测 有
） ２ ｍ ＋１对于 所有 ∈［一１ １ ， ≤ｍ 一 ａ ， ］ 口∈
腿
糍
［ ，］ 一１ １ 恒成立 ，
分析 ： 要使 Ｙ＝
＋ｍ ６ ｘ＋ｍ＋ 在 Ｒ 上恒 成 立 ， ８ 即
例 ２已知 函数 厂 是定 义在 ［一１ １ 上 的奇 函数 ， （ ） ，］ 且
一元二次恒成立问题三种解法
一元二次恒成立问题三种解法一元二次方程是高中数学中的重要概念，也是解析几何的基础之一。
在解一元二次方程的过程中，我们经常会遇到一元二次恒成立问题。
一元二次恒成立问题是指在给定条件下，要求解满足一元二次方程的未知数的取值范围。
在这篇文章中，我们将探讨三种解一元二次恒成立问题的方法。
解法一：因式分解法首先，我们来看一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
如果方程左边可以因式分解成两个一次因式的乘积，即可使用因式分解法解一元二次恒成立问题。
举例来说，如果给定的一元二次方程是x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将方程左边进行因式分解，得到(x + 2)(x + 3) = 0。
根据零乘法，方程成立的条件是(x + 2) = 0或(x + 3) = 0，即x = -2或x = -3。
因此，满足一元二次恒成立问题的解是x = -2或x = -3。
解法二：配方法配方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于一元二次方程无法直接因式分解的情况。
配方法的思路是通过添加适当的常数将方程变为一个完全平方的形式，从而解出方程。
例如，如果给定的一元二次方程是x^2 + 6x + 5 = 0，我们可以通过添加常数的方式，将方程变为(x + 3)^2 - 4 = 0。
进一步化简可得(x + 3)^2 = 4，然后开方得到x + 3 = ±2，即x = -3 ± 2。
因此，满足一元二次恒成立问题的解是x = -1或x = -5。
解法三：求判别式法判别式是解一元二次方程的重要工具，它可以用来判断方程的解的情况。
一元二次方程的判别式Δ的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解；当Δ < 0时，方程没有实数解。
利用判别式的结果，我们可以解决一元二次恒成立问题。
例如，如果给定的一元二次方程是x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以计算出Δ = (-4)^2 - 4(1)(4) = 0。
谈“恒成立”之策略
治学之法2013-11数学课本中的公理定理推论公式等都可作为恒成立的结论：例如，二次函数图象开口向下时，则函数值在顶点处取最大值，开口向上时，在对称轴的右面呈递增的特性；奇函数都有f （0）=0成立（f （x ）在x =0时有定义）；指数函数的值恒为正等。
具体来说有下面的恒成立题型。
下面研究一些常见的解决恒成立问题的方法，以提高我们分析数学问题、解决数学理论和实际应用题的能力。
策略一：巧用判别式例.如若函数f （x ）=2x -2ax -a-1√的定义域为R ,则a 的取值范围是什么？解：∵f （x ）=2x -2ax -a-1√的定义域为x ∈R ，∴2x -2ax -a≥1恒成立,即x 2-2ax -a ≥0恒成立,∴△≤0即（2a ）2-4×（-a ）≤0,解得-1≤a ≤0.变题：若函数y =log 2（ax 2+2x +1）的定义域为R ，求a 的取值范围？解：定义域为R ，则ax 2+2x +1恒成立.①若a =0，则2x +1>0，不是恒成立.②若a ≠0，则ax 2+2x +1是二次函数恒大于0，则开口向上，a >0且和x 轴没有交点，所以Δ<0，所以4-4a <0，即a >1.综上，a >1.策略二：借助单调性例.已知：a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈［a ，2a ］，都有y ∈［a ，a 2］满足方程log a x +log a y =c ，求a 的取值集合。
解：∵log a x +log a y =c ，∴y=a c x .∵a >1，∴y=a cx在x ∈［a ，2a ］上递减，∴y max =a c -1，y min =a c -1a c -1≤a 2⇒c ≤312a c -1≥a ⇒a c -2≥2⇒c >log a2+2⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐∵log a 2+2≤c ≤3时，而c 值只有1个，∴c =3，即log a 2=1，有a =2∴a 的取值的集合为：｛2｝策略三：变量分离例.已知定义在R 上函数f （x ）为奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，对于任意x ∈R ，求实数m 的范围，使f （cos2θ-3）+f （4m -2m cosθ）>0恒成立。
高中恒成立问题的解法
高中数学恒成立问题的解法类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
高中数学恒成立问题的解答方法
高中数学恒成立问题的解答方法发布时间：2021-01-19T07:31:08.970Z 来源：《素质教育》2021年1月总第368期作者：罗浩[导读] 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种策略：1.函数性质法；2.主参换位法；3.分离参数法；4.数形结合法。
新课程下的高考越来越注重对学生综合素质的考察，而含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，是各类考试的热点，也是一个考察学生综合素质很好的途径，这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手。
广东省兴宁市齐昌中学514500解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种策略：1.函数性质法；2.主参换位法；3.分离参数法；4.数形结合法。
新课程下的高考越来越注重对学生综合素质的考察，而含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，是各类考试的热点，也是一个考察学生综合素质很好的途径，这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手。
下面就以近几年高考试题为例加以说明。
一、函数性质法1.一次函数：若一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)＞0(或＜0)在x∈［p,q］时恒成立，则在p、q处的函数值满足：f(p)＞0且f(q)＞0[或f(p)＜0且f(q)＜0]。
2.二次函数：(1)若二次函数 f (x)＝a2x＋bx＋c (a≠0)＞0(或＜0)在R上恒成立，则有 (或 )；(2)若二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)＞0(或＜0)在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例１.(2015年全国卷理12)已知函数 f (x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x,f (x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )。
A、(0，2)B、(0，8)C、(2，8)D、(－∞，0)分析：f (x)与g(x)的函数类型，直接受参数m的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解决。
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高中数学恒成立问题的解题策略
论文摘要：在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质;二是变量分离。
本文对此进行了分析。
关键词：恒成立问题;函数图像;数学
在高中教学中，我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来解决呢? 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等……
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质，例如，一次函数、二次函数等;二是变量分离。
恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。
一、利用函数图像与性质
例1：对任意恒成立，求的取值范围。
解：令，
本题关于的二次函数，若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。
若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。
我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题，碰到这样的情况，如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话，会更得心应手。
变式1：对任意恒成立，求的取值范围。
解：若对任意恒成立，令，利用其函数图像，
，得
变式2：若时，恒成立，求的取值范围。
分析：可以看成关于的二次函数，也可以看成关于的一次函数，所以在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。
若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。
给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理，若在内恒有，则有，
利用的函数图像可知，
变式3：对任意及时，恒成立，求的取值
范围。
分析：不等式中出现了三个字母：，及，关键在于先把哪个字母看成是变量，另外两个作为常数。
方法一：若先把看成关于的二次函数，且在上恒大于等于0，则，即，
在上恒成立，(如变式1)
令，，
方法二：若先把看成关于的一次函数，则在上恒成立(如变式
2)，，则，所以此不等式在上恒成立，
二、变量分离
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有恒成立，则;若对于取值范围内的任何一个数，都有恒
成立，则。
(其中和分别为的最大值和最小值)
例2：已知函数在是增函数，在为减函数，(1)求的表达式;当时，若在内恒成立，求的取值范围。
解：(1)函数在是增函数，
在上恒成立，
，在上恒成立，①
函数在是减函数，在上恒成立。
在上恒成立，②
由①②可得，，，。