恒成立与存在性问题方法总结

恒成立与存在性问题方法总结

导读：一、构建函数

构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。

1、构建一次函数

众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。

例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求实数k 的取值范围。

解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x）在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f（2）＞0，解之得k∈（- ，+∞）。

例2：对m≤2的一切实数m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范围。

解：原问题等价于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，设f（m）=（x -1）m-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（m）或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。

（1）当x -1=0时，x=±1。

当x=1时，f（m）＜0恒成立；当x=-1时，f（m）＜0不成立。

（2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（m）＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上，所求的x∈（）。

2、构建二次函数

二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本复杂的问题变得容易解决。

例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a的取值范围。

解：构造函数g（x）= ax +2x+1，则原问题等价于：当x≥0时，g（x）恒大于0。

若a=0且x≥0，则g（x）= 2x+1＞0恒成立；

若a≠0，则g（x）为二次函数，当a＜0时，显然当x≥0时不能使g（x）恒大于0，仅当a＞0时，要使当x≥0时，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0

∴a的'取值范围为［0，+∞）。

3、构建形如f（x）=ax+ 的函数

通过换元、变形，将原问题转化为形如f（x）=ax+ 的函数的最值问题，再合理利用该函数的单调性等性质来解题，常要用到如下结论：

（1）f（x）=ax+ 为奇函数，（2）当a＞0，b＞0时，f（x）在0，上递减，在，+∞上递增。

例4：若不等式x -5x-6＜a（x-4）对于x∈［-1，1］恒成立，求a的取值范围。

解：由x∈［-1，1］知：x-4＜0，则原问题等价于：当x∈［-1，1］时，＞a恒成立，即（x-4）- +3＞a，令t=x-4，则原问题又等价于：当t∈［-5，-3］时，t- +3＞a恒成立，构建函数f（t）= t- ，在t∈［-5，-3］上单调递增，∴0≤3+f（t）≤，要使3+ （t- ）＞a恒成立，只要a＜0即可。

二、分离参数

运用不等式的相关知识不难推出如下结论：

若对于x的取值范围内的任何一个数，都有f（x）＞g（a）恒成立，则f （x）＞g（a），若对于x的取值范围内的任何一个数，都有f（x）＜g（a）恒成立，则f （x）＜g（a）。

例5：若不等式|x-3|-|x+1|＜a在（-∞，+∞）内恒成立，求a 的取值范围。

解：构造函数f（x）=|x-3|-|x+1|，则a必须大于f（x）的最大值，由f（x）=-4，x≥32-2x，-1＜x＜34，x≤-1知，f （x）=4，故a的取值范围为（4，+∞）。

三、特殊赋值

取特殊值的方法，对做选择题很有效，在恒成立问题上也不失为一个好方法。

例7：已知实数a，b变化时，直线l ：（2a+b）x+（a+b）y+

（a-b）=0恒过定点

解：∵直线l 恒过定点，

故令a=1，b=1，得3x+2y=0

a=0，b=1，得x+y-1=0

∴3x+2y=0x+y-1=0

解之得：x=-2y=3，将（-2，3）代入l ，经检验，点恒满足方程（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0。

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