线性系统理论大作业
线性系统理论大作业2
摘要：本文主要讨论线性系统解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。
这一关系从两个方面来说明，第一部分讲述系统解集几何结构与特征值和特征向量之间的关系，通过Matlab 仿真例子说明这一关系；第二部分分别讲述特征值和特征向量与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系，并讲述了能观性，能控性以及稳定性的定义和判据，通过以约旦标准型为例来讲述相同特征值和不同特征值情况下的能观性，能控性，最后在Simulink中仿真一定特征值条件下系统的稳定性。
从以上两个方面来说明解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。
>1. 零输入响应解集与特征值和特征向量之间的关系线性定常系统状态方程x Ax Buy Cx Du=+⎧⎨=+⎩，0(0),0x x t =≥的解为()00()(),0t At A t x t e x e Bu d t τττ-=+≥⎰。
为了研究线性定常系统状态方程解集的几何结构与线性系统的特征之间的关系，将系统简化，只考虑系统为零输入的状态响应，即x Axy Cx=⎧⎨=⎩，0(0),0x x t =≥的解为0()At x t e x =。
所有的零输入状态响应组成了一个线性空间，且该线性空间中有n 个独立的元素，它们的线性组合决定了所有零输入响应。
所以可以通过选择一组线性独立的初始条件得到一组零输入响应集中的基底。
下面先考虑最简单的零输入状态响应集的基底。
若12,,...n λλλ是A 的两两互异的特征值，且12,,...n v v v 是相应的单位特征向量，即,1,2,...i i i Av v i n λ==。
选0,1,2,...i x v i n ==，则0()(...)......i At At i2233i 2233i i i i 2233i i i i i i i t i x t e x e v 11I +At +A t +A t +v 2!3!11v Av t A v t A v t 2!3!11v v t v t v t 2!3!e v λλλλ====++++=++++=-所以取01122...n n x v v v ααα=+++时，相应的零输入响应为121122()...n t t t n nx t e v e v e v λλλααα=+++由此可以看出线性定常系统的零输入响应解集的几何结构可以由系统矩阵A 的特征值和特征向量来表征。
华电线性系统理论大作业
而前文已经得出导轨的动能 Tw ，因此两式相加得系统的动能 T 为：
2 2 2 2 1 x T Tb Tw m x x2 a Ib I w a 2 R
是导轨相对于水平线的倾斜角。
图 1.球杆系统简图
2.2 拉格朗日法建模
为了对球杆系统进行研究， 我们先对其进行建模， 一般来说， 这种球杆系统， 运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下：
d T T V R U t dt q q ' q ' q
v v' w r
其中 v ' 是小球相对于导轨的线速度，其数值等于 x ，负号是指方向与规定 的正方向相反， 指的是导轨的角速度，即 a ，r 是小球的质心在坐标系中的位 置向量，计算式如下：
R x 0 x x a v 0 0 R xa a 0 0 0
其中 T 为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V 为系 统的势能， 包括重力势能弹性势能等等， 能量耗散函数为 R ，q
q1 , q2 ....qk
T
1
为广义坐标向量，其中 k 代表系统的自由度，即完全描述系统运动特性需要的坐 标数目，关于自由度在下文会具体分析， u 为作用于系统的外力。 以下为各个变量所表示的物理意义，M：导轨的质量，g：重力加速度 r：小 球的半径 I b ：球的惯性力矩， I w ：杆的惯性力矩，x：球的相对横坐标，y：球 的相对纵坐标， ：小球相对于导轨的转角，a：导轨与水平线的夹角，球杆系 统受力分析如下：
(完整word版)《线性系统理论》试卷及答案
R C 2《线性系统理论》试卷及答案1、（20分）如图所示RLC 网络,若e(t ）为系统输入变量r （t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t),选定状态变量为 x 1（t)=v 1（t ），x 2(t ）=v 2(t)，x 3（t)=i （t)要求列写出系统的状态空间描述。
2、(15分)求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。
y （4)+4y （3）+3y （2）+7y （1）+3y=u (3）+ 2u （1）+ 3u3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。
[]210X 13101X y -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=4、(10分）分析下列系统的能控性.0111X X u a b •⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5、（10分）分析下列系统的能观性。
[]1110a X X y Xb •⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦6、（15分)判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。
12221123x x x x x x==--7、（15分）已知系统的状态方程为221012000401X X u •--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦试确定一个状态反馈阵K,使闭环极点配置为λ1*=—2、λ2*=-3、λ3*=—4.答案：1、（20分）如图所示RLC 网络，若e （t ）为系统输入变量r （t ）,电阻R 2两端的电压为输出量y （t ），选定状态变量为 x 1(t)=v 1（t)，x 2(t ）=v 2（t ）,x 3（t)=i （t ）要求列写出系统的状态空间描述。
2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。
列出向量表示形式解出解出解出r x x x L R x x x rx LR x x x xx x C R x x x C xC x r x R x L L LL⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=-=+=+==++1321113211311132122222112211333113000xy x xLy （4）+4y (3）+3y （2)+7y (1）+3y=u （3）+ 2u （1)+ 3u[]得出了状态空间表达式列出向量表示形式，就求导，有选取状态变量令有令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----=========⎩⎨⎧++==++++++++=++++++===43211025233375y ~y ~x y ~x y ~...y ~x y ~x y ~3y ~2y ~y ~3y ~7y ~3y ~4y ~u 3734p 1y ~3734p 32p y d/dtp 4214321(4)43(2)22(1)1(3)4(1)21(1)(3)(1)(2)(3)(4)2342343x x x x x x x y u x x x x x x x x y u p p p u p p p p(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案3、(15分）计算下列线性系统的传递函数.[]Xy u X 10103112X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=[][][]计算得出传递函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=----1021131)3)(2(110)()(21131)3)(2(13112)()()(1010311210103112X 1111s s s s B A Is C s G s s s s s s A Is BA Is C s G CB A Xy u X(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案4、（10分）分析下列系统的能控性。
华工线性系统作业
图 3.2 未改进的 LQR 控制输出 从图3.2可以看出，此时系统输出响应的鲁棒性很好，但是响应过程太慢， 且存在较大的稳态误差，所以需要进一步调整Q, R值来是动态响应性能更优。经 过反复调整Q, R的取值可以发现，当Q取值比较小、R取值比较大时，系统的响应 时间很长，而当逐渐调大Q值，或者调小R值时，系统的响应时间迅速变小，到 达稳态所需时间也变小，而且系统的过渡过程没有超调，一直比较平稳。但系统 的稳态误差一直比较大，很难满足要求。所以为了减小稳态误差，这里在反馈环 中引入一个比例环节K p ，其比例系数可以根据跟踪节约输入的需要进行调整。 修改后的结构图如图3.3所示。
图 3.1 LQR 控制器反馈系统结构图 图中 r 为给定信号，u 为控制信号，Y 为输出信号，A、B、C 分别是状态矩 阵、输入矩阵、输出矩阵，在∆1 = ∆2 = 0时，它们分别为 0 1 0 0 ������ = 0 0 1 、������ = 0 、������ = 20000 0 0 0 −30000 −60 1 K 为通过 LQR 算法算得的反馈增益阵，下面编程具体求 K。 3.3.3 仿真及结果分析 根据LQR方法编写Matlab程序，进行仿真分析，其中lqr()函数的调用格式 如下 ������, ������, ������ = ������������������(������, ������, ������, ������) 式中，K是返回的状态反馈矩阵，P为黎卡提代数方程（3-9）的解，E闭环 系统零极点。这里方便起见，先令Q = diag 1 1 1 1 ，R = 1。在仿真时，先使 用∆1 = ∆2 = 0时的状态空间对象，逐步调整Q、R，根据其输出响应曲线，求出使 系统动态响应性能最优的参数。然后，在要求范围内改变∆1 、∆2 的值，考查参数 不确定性对闭环系统的影响。 （1）∆1 = ∆2 = 0的情况 此时易知系统的模型是确定的，可以直接输入相关参数编程仿真，需要注 意的是Q、R的选取。当Q = diag 1 1 1 ，R = 1时，系统的输出响应如图3.2所 示。 3.1
第一篇线性系统理论习题答案
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。 解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x
《线性系统理论》作业参考答案
x 11 e t x 21 , 21 0 , x
x11 ( t 0 ) 1 x 21 ( t 0 ) 0
，
x 12 e t x 22 , 22 0 , x
x12 ( t 0 ) 0 x 22 ( t 0 ) 1
解得
x12 e t e t 0 x11 1 ， x 21 0 x 21 1 1 (t ) x 0 e
( sI A )
1
s ( s 1) 0 2 det( sI A ) s ( s 1) 0 adj ( sI A ) 1
s 1 ( s 1) 0
2
s ( s 1) 1 s ( s 1) 1 s 1 1
2
所以 e
。
可以看出， f ( i ) 是 f ( A ) 的一个特征值。
1-3 解：(1) 特征多项式为 1 ( ) ( 1 ) .
4
验证
A 1 I 0 , ( A 1 I ) 2 0 , ( A 1 I ) 3 0 , ( A 1 I ) 4 0
At
e t 1 1 L [( sI A ) ] 0 0
e 1 1 0
t
t t 1 e te t e 1 。 t e
1-5 证明：因为 D 1 存在，所以由 D R p p
A det C B IA det D 0 BD A I D C
c
k 0
k
A
k
设 x 是属于 i 的一个非零特征向量，故
A x i x
.
2 2 因此 A x A Ax A i x i Ax i i x i x .
华工自动化线性系统第一次 大作业
求的方法有时域的求解方法和频域的求解方法。 方法1：根据或者的定义直接计算：
=I+++…++…= 从公式可以看出，右边是一个无穷项的和，要精确计算出
结果是很困难的，所以无论是手工计算还是利用电脑计算，都 不可能取无穷项计算，通常是取有限项,得到一个近似的值， 以满足不同的精度要求即可.对于不同的精度要求，n的值会不 同。在工程上，只要取它的前几项就可以满足要求，本方法易 于理解，适合计算机编程。 方法2：利用拉氏反变换法求：
版本）正在进行着陆（速度V=16英里/小时）。描述飞机纵向 运动的状态空间方程
给出如下：
控制输入是升降舵角度和向量的状态变量分别是速度的变化， 迎角，俯仰速率和俯仰度。
该飞机的纵向模式称为短周期和长周期。在长周期特征 值，这也是一种复杂的共轭特征值接近虚轴，造成长周期运 动，在水平面缓慢地震荡。
二、状态转移矩阵的重要性与意义
线性系统理论大作业
专业：控制理论与控制工程 学号与姓名：
一、飞行器原理及结构和空间坐标系
为了进行控制系统设计的目的，飞机动力学经常称为飞行 姿态的一些操作状态进行线性化，它假设飞机的速度（马赫 数）和姿态是不变的。控制面（The control surfaces）和发动 机推力装置设置或修改，以达到这些状态，我们设计控制系统 就是为了维护这些条件，例如，强制将到这些状态的扰动（偏 差）变为零。
syms M s d1 t XT X0; A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; disp('矩阵A的行列式如下:'); d1=det(A); I=eye(4); disp('[sI-A]^(-1)为:'); B=(s*I-A); C=inv(B); digits(4) C=vpa(C) disp('状态转移阵为'); D=ilaplace(C); digits(4); M=vpa(D) X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0]; XT=M*(X0+B) %求解系统的状态响应。 %画图 subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2])
线性系统理论习题答案
《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。
华电线性系统理论大作业
分数: ___________任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业学年学期：2014-2015学年第一学期课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：2014年11月27日目录1.绪论 (1)2.球杆系统分析与建模 (1)2.1球杆模型简介 (1)2.2拉格朗日法建模 (1)2.3拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取 (4)3. 系统稳定性分析 (5)3.1有初始状态下求取系统响应曲线 (6)3.3稳定性判断并求取零极点分布图 (7)4.系统能控性判别 (8)4.1代数判据 (8)4.2模态判据 (8)4.3可控性与可稳定性 (10)5.系统极点配置 (10)5.1极点配置方法 (10)5.1.1状态反馈原理 (11)5.1.2输出反馈原理 (11)5.1.3PID配置极点原理 (12)5.1.4三种反馈对比 (12)5.2.用状态反馈进行极点配置 (12)6.可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计 (16)6.1能观性分析 (16)6.1.1代数判据 (16)6.1.2模态判据 (16)6.3全维观测器原理 (17)6.4全维状态观测器结构 (17)6.5全维状态观测器设计 (18)6.6全维状态观测器Simulink仿真 (18)6.7全维状态观测器在干扰下的性能研究 (20)7.总结 (22)1.绪论球杆系统是控制理论中很经典的一个模型，通常用来检验控制策略的效果，并且很多实际系统都可以近似抽象为球杆模型，因此，对球杆系统的研究很有意义，本文从球杆模型的拉格朗日法建模入手，对球杆系统稳定性，能控能观性等控制特性进行分析。
2.球杆系统分析与建模2.1球杆模型简介球杆系统由底座，直流伺服电机，光滑导轨，小球等组成，导轨在伺服电机的带动下转动，小球在自身重力的作用下沿着光滑的金属导轨自由滚动，球杆系统简图如下，其中x 是小球在导轨上相对于导轨中心的位移量，以导轨左侧为正，α是导轨相对于水平线的倾斜角。
线性系统大作业范文
线性系统大作业范文线性系统是控制理论中的重要概念，它涉及到系统的线性性质以及如何对系统进行控制和优化。
在本次大作业中，我研究了一个线性系统的特性，并尝试设计一个控制策略，以优化系统的性能。
以下是我对此的详细分析和实施方案。
我选择研究一个被广泛应用于调节系统中的经典线性系统，即比例-积分-微分控制器（PID控制器）。
这种控制器通过测量误差信号，并根据比例、积分和微分增益来计算控制信号，使系统的输出尽量接近期望值。
PID控制器的优点是简单、稳定且易于调节。
我首先建立了一个模型以更深入地了解系统的特性。
我选择了一个简单的一阶系统作为示例。
该系统由一个控制信号u和输出信号y之间的线性关系组成，可以使用方程y=ku来表示，其中k是系统的增益。
然后，我对这个系统进行了频率响应分析。
通过使用傅里叶变换和频谱分析，我确定了系统的幅度和相位响应。
通过分析振荡频率、幅度衰减和相位延迟等指标，我能够了解系统的稳定性和动态响应。
接下来，我设计了一个PID控制器来优化系统的性能。
PID控制器的核心是比例、积分和微分增益。
比例增益用于调整控制信号与误差信号的比例关系，积分增益用于处理系统的静差，而微分增益用于校正系统的动态响应。
通过适当调节这些参数，可以优化系统的响应速度、稳定性和误差补偿能力。
为了确定PID控制器的最佳增益，我使用了试探法。
我从一个合理的起始点开始，逐渐调整增益，观察系统的响应，并根据响应结果进行微调。
通过不断迭代，最终我找到了一组使系统达到最佳性能的增益。
为了验证PID控制器的效果，我进行了仿真实验。
我利用MATLAB软件搭建了一个模拟环境，输入初始参数和控制信号，然后模拟系统的输出。
通过比较使用PID控制器前后的系统性能指标，如误差补偿能力、响应速度和稳定性，我确认了PID控制器的优越性。
最后，我对PID控制器的适用性进行了讨论。
尽管PID控制器广泛应用于各种应用领域，但它并不适用于所有系统。
对于具有高度非线性特性、时变性或多变量耦合的系统，PID控制器的效果可能不理想。
线性系统理论综述
线性系统理论课程大作业论文线性系统理论综述及其应用这学期学习的线性系统理论属于系统控制理论的一个最为基本和成熟发展的分支，主要包括以下内容：介绍采用系统理论解决工程问题的一般步骤，明确建模、分析、综合在解决实际问题中的作用，并重点介绍线性系统模型的特征和分析方法；介绍系统的状态空间描述，结余状态空间方法的分析和系统结构特征和结构的规范分解以及状态反馈及其性质等。
一．线性系统理论研究内容综述系统是系统控制理论所要研究的对象，从系统控制理论的角度，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分组成的具有特定功能的整体。
动态系统是运动规律按照确定规律或者确定的统计的规律岁时间演化的一类系统，动态系统的行为由各类变量间的关系来表征，系统的变量可以分为三种形式，一类是反映外部对系统的影响或者作用的输入变量组，如控制、投入、扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统外部作用或影响的输入变量组如响应，产出。
表征系统动态的过程的数学描述具有两类基本形式，一是系统的内部描述，另一组是输入变量对状态变量的组的动态影响。
从机制的角度来看，动态系统可被分类为连续系统变量动态系统和离散事件动态系统；从特征的角度，动态系统可分别分类为线性系统和非线性系统，参数集成系统和分布参数系统；从作用时间类型角度，动态系统可被称为连续时间系统和离散时间系统。
线性系统理论是系统控制理论最为成熟和最为基础的分支。
他是现代控制理论的一个重要组成部分，也是对经典控制理论的延申。
现代控制理论主要是着重研究现性状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法。
线性系统的理论和方法是建立在建模的基础上。
在建模的基础上，可以进一步把线性系统的理论进一步区分为“分析理论”和“综合理论”。
分析理论分为定量分析和定性分析，定量分析是着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的结构特性。
系统综合理论是建立在分析的基础上，系统综合目的是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。
线性系统大作业1
xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t);
xdot(2)=1/C*x(1);
function in=f(t)
in=(t>0)*2;
end
end
仿真求解状态方程代码如下：
L=1;
C=0.1;
R=1.5;
[t,x]=ode45('funcforex14',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
的根。方阵A有n个特征值；实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如A为实数对称方阵，则其特征值都是实数。
4.2系统的不变量与特征值的不变性
同一系统，经非奇异变換后，得
公式(4.1)
其特征方程为
公式(4.2)
公式(4.1)与公式(4.2)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('系统响应');
[t,x]=ode45('funcforex13',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1),'k');hold on;xlabel('time sec');
figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid;
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('齐次性');
线性系统理论大作业
《线性系统理论》大作业报告引言：研究线性定常连续系统状态方程的解时，求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。
而线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。
第一个部分是由初始状态所引起的自由运动，即状态的零输入响；第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积，即状态的零状态响应。
由于这两部分中都包含有状态转移矩阵，因此状态转移矩阵的计算是线性定常连续系统状态方程求解的关键。
本文先总结了的计算方法，并运用matlab命令求解证明各方法的正确性及给出相应的零输入响应仿真结果。
然后推导了脉冲响应的公式，希望通过飞机模型的例子来研究其系统的脉冲响应。
最后推广研究了任意输入的零状态响应。
第一部分的计算方法及零输入响应的仿真证明一．的计算方法1.根据的定义直接计算定义式是一个无穷级数，故在计算中必须考虑级数的收敛条件和计算收敛速度问题。
类似于标量指数函数，对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说，矩阵指数函数这个无穷级数都是收敛的。
显然用此方法计算一般不能写成封闭的解析形式，只能得到数值计算的结果。
2.变换A为约旦标准型因为任何都可经线性变换成为对角矩阵或约旦矩阵，因此下面将利用对角矩阵和约旦矩阵的矩阵指数函数计算的简便性质，通过线性变换将一般形式的系统矩阵变换成对角矩阵或约旦矩阵计算其矩阵指数函数。
对于矩阵A，若经过非奇异变换（相似变换）矩阵Ｐ作变换后，有则3. 利用拉氏反变换求已知齐次方程两边取拉氏变换即对上式两边取拉氏反变换得齐次微分方程的解：而由定义法求得的齐次微分方程的解为比较两式得4. 应用凯莱—哈密顿定理求（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A 满足其自身的特征方程，即()1110 0n n n fA A a A a A a I--=++++=故121210...n n n n n A a A a A a A a I ----=-----它是的线性组合。
线性系统理论结课作业
分数: ___________任课教师签字：___________研究生结课作业学年学期：课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：目录1 前言 (1)2.1状态反馈控制 (1)2.2数学模型 (3)3 直流电动机调速系统的设计与仿真 (5)3.1系统的能控性能观性分析 (5)3.1.1能控性定义 (5)3.1.2能控性判据 (5)3.1.3能观性定义 (7)3.1.4能观性判据 (7)3.1.5判断系统的能观性能观性 (8)3.2系统的稳定性分析 (9)3.3 LQR最优调节器的设计与仿真 (10)3.4通过状态反馈实现系统的极点配置 (12)3.4.1状态反馈的基本原理 (12)3.4.2 状态反馈的matlab实现 (13)4 状态观测器的设计 (15)4.1状态观测器的基本原理 (15)4.2状态观测器的matlab实现 (16)5 利用离散化方法研究系统的特性 (20)5.1连续线性系统离散化的概念 (20)5.2采样周期和仿真时间的选择 (21)5.3控制系统的离散化 (21)5.3.1 零阶保持器 (22)5.3.2双线性变换法离散化 (25)5.3.3采用一阶保持器离散化 (28)参考文献 (32)直流电动机调速系统的建模与控制系统的设计1 前言直流电机，是指输出或输入为直流电能的旋转电机，它是能实现直流电能和机械能互相转换的电机。
当它作电动机运行时是直流电动机，将电能转换为机械能；作发电机运行时是直流发电机，将机械能转换为电能。
直流电机由定子（由机座、主磁极、换向磁极、前后端盖和刷架等部件组成）和转子（由电枢、换向器（又称整流子）和转轴等部件构成）两部分组成，其间有一定的气隙。
电能够实现直流电能这机械能相互转化的电机，当它作电动机运行时是直流电动机，将直流转换为机械能；作发电机运行时是直流发电机，将机械能转化为直流电能。
电动机作为最主要的机电能量转换装置，其应用范围已遍及国民经济的各个领域和人们的日常生活。
兰州理工大学线性系统理论期末MATLAB大作业
1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。
为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。
投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。
投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。
由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。
在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型：ẋ = [−0.8+0.02−0.020] x+[0.0510.0010] u y =[x 1 , x 2]其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。
在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5解：下面是对此设计的MATLAB 程序实现：>> A=[-0.8 0.02;-0.02 0];>> B=[0.05 1;0.001,0];>> r=rank(ctrb(A,B))r =2>> C=[1 1];>> P=[1 6];>> K=place(A,B,P)K =1.0e+003 *-0.0200 -6.0000-0.0008 0.30002、描述恒速制导导弹的运动方程为：ẋ = [ 01000−0.1−0.50000.500000 010000.51000]x + [ 01000] uy =[ 0 0 0 1 0 ] x(a) 运用ctrb 函数计算系统的能控型矩阵，并验证系统是不可控的；(b) 计算从u 到Y 的传递函数，并消去传递函数中的分子和分母公因式，由此可以得到能控的状态空间模型。
在消去了公因子之后，请用tf2ss 函数确定新的状态变量模型；(c) 证明(b)中得到的状态变量模型是能控的；(d) 说明恒速制导导弹是否稳定？(e) 讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系（假设用状态变量的数目来度量复杂性）解程序如下:clearA=input('请输入系统矩阵:');B=input('请输入输入矩阵:');C=input('请输入输出矩阵:');Qc1=ctrb(A,B)N1=size(A);n1=N1(1) %判断状态方程维数rc1=rank(Qc1)if rc1==n1disp('系统可控')elseif rc1<n1disp('系统不可控')endsyms sI=eye(n1);Q=inv(s*I-A);sys=collect(C*Q*B) %求解原状态方程的频域传递函数并化简num=[500 250 50];den=[1 0 0];[A1 B1 C1 D1]=tf2ss(num,den)Qc2=ctrb(A1,B1)N2=size(A1);n2=N2(1) %判断状态方程维数rc2=rank(Qc2)if rc2==n2disp('系统可控')elseif rc2<n2disp('系统不可控')endd1=eig(A)'d2=eig(A1)'flag1=0;flag2=0;for i=1:n1if real(d1(i))>0flag1=1;endendif flag1==1disp('原系统不稳定')elsedisp('原系统稳定')endfor j=1:n2if real(d2(j))>0flag2=1;endendif flag2==1disp('新系统不稳定')elsedisp('新系统稳定')end运行结果：请输入系统矩阵:[0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0]请输入输入矩阵:[0;1;0;0;0]请输入输出矩阵:[0 0 0 1 0]Qc1 =0 1.0000 -0.5000 0.1500 -0.02501.0000 -0.5000 0.1500 -0.0250 -0.00250 0 0.5000 -0.2500 0.07500 0 0 5.0000 -2.50000 1.0000 0 -0.1000 0.0500n1 =5rc1 =4系统不可控sys =50/s^2/(10*s^2+5*s+1)A1 =0 01 0B1 =1C1 =250 50D1 =500Qc2 =1 00 1n2 =2rc2 =2系统可控d1 =0 0 0 -0.2500 - 0.1936i -0.2500 + 0.1936id2 =0 0原系统稳定新系统稳定分析：由上述分析结果可知原系统和新系统均稳定，而实际上由系统的极点可知，原系统是稳定的，新系统实际上处于临界稳定状态也可认为是不稳定的；若以状态变量的数目来度量复杂性，可知系统的完全可控性与复杂性存在类似反比的关系，及复杂性越高系统完全可控的难度越大，复杂性越低系统完全可控的难度越低。
【系统】线性系统理论大作业小组报告汽车机器人建模
【关键字】系统审定成绩：重庆邮电大学硕士研究生课程设计报告（《线性系统理论》）设计题目：汽车机器人建模学院名称：自动化学院学生姓名：专业：控制科学与工程仪器科学与技术班级：自动化1班、2班指导教师：蔡林沁填表时间：2017年12月重庆邮电大学汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,应用现代控制理论设计出很多控制算法,对汽车进行控制是非常必要的，本文以汽车机器人为研究对象，对其进行建模和仿真，研究了其模型的能控能观性、稳定性，并通过极点配置和状态观测器对其进行控制，达到了一定的性能要求。
这些研究为以后研究汽车的自动驾驶和路径导航，打下了一定的基础。
关键字:建模、能控性、能观性、稳定性、极点配置、状态观测器第一章绪论第一节概述进入20世纪,汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 但是随着汽车数量的增加,交通事故的数量每年也不断增长,这严重威胁了人们的生命、财产安全,究其主要原因是由于驾驶员的疲劳驾驶造成的. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,也是国内外研究的热点之一。
汽车机器人,其模型可简化成两轮的自行车模型,国内的学者在这方面作了很多深入的研究,应用现代控制理论设计出很多控制算法,取得很多成绩,但其中绝大多数应用环境是在室内,被跟踪轨迹已知,并且其控制方法是将车体的横向位移、纵向位移、纵向速度和转动的角速度等作为被控量,这在应用环境异常复杂城市交通系统中是难实现的。
城市环境下的无人驾驶车由于速度较慢,因此比较安全可靠,它有广阔的应用前景,短期内,可作为城市大容量公共交通(如地铁等) 的一种补充,解决城市区域交通问题,因此,城市环境下的无人驾驶车辆系统的研究已经成为目前的研究热点,但是,由于城市环境非常复杂,对感知和控制算法提出了很高的要求.第二节任务分工本设计由4位同学分工完成，每位同学的任务分工如表1-1所示：表1-1任务分工表第二章系统建模2 系统建模汽车机器人是一种非线性、多变量、强耦合、参数不确定的复杂系统，是检验各种控制方法的一个理想装置，受到广大研究人员的重视，成为具有挑战性的课题之一。
线性系统理论多年考题和答案
线性系统理论多年考题和答案2019级综合大题⎡400⎤⎡1⎤⎥x +⎢1⎥u x =⎢0-21⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣00-1⎥⎦⎣0⎥⎦y =[112]x1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？3 求方程的传递函数；4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。
参考解答： 1.判断能控性：能控矩阵M =⎡⎣B可控，不能任意配置极点。
2按可控规范型分解AB⎡1416⎤⎢1-24⎥, rank (M ) =2. 系统不完全A 2B ⎤=⎦⎢⎥⎢⎣000⎥⎦⎡1⎢3140⎡⎤⎢1⎢⎥-1取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成P =1-20，求得P =⎢⎢⎥⎢6⎢⎥⎢⎣001⎦⎢0⎢⎣2⎤⎡08⎢3⎥⎡1⎤⎢⎥1⎢⎥-1-1进行变换=PAP ⎢12-⎥, =PB =0, =cP =[222]⎢⎥⎢6⎥⎢⎢⎥⎣0⎥⎦001⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎤0⎥3⎥1-0⎥⎥6⎥01⎥⎥⎦⎧⎡08⎤⎡1⎤⎪x =⎢⎥x +⎢0⎥u12所以系统不可简约实现为⎨⎣⎦⎣⎦⎪y =[22]x ⎩3.G (s ) =c (sI -A ) -1B =4.2(s -1)(s +1) 2(s -1)=(s -4)(s +2)(s +1) (s -4)(s +2)det(sI -A ) =(s -4)(s +2)(s +1) ，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。
G (s ) =c (sI -A ) -1B =2(s -1)，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不(s -4)(s +2)是BIBO 稳定。
系统发散，不是李氏稳定。
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目录题目一 (2)（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (2)(1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质 (2)(2)状态反馈增益矩阵和积分增益常数的设计 (4)(3)全维观测器设计 (6)(4)如何在闭环调速系统中增加限流环节 (7)（二）二次型最优全状态反馈控制和按负载扰动前馈补偿的复合控制系统设计8(1)线性二次型最优全状态反馈设计 (8)(2)降维观测器设计 (15)题目二 (17)(1)判断系统是否存在最优控制律 (17)(2)非零给定点的最优控制设计和仿真分析 (17)(3)权矩阵的各权值对动态性能影响分析 (19)题目一（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计(1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质1)画出与题目对应的模拟结构图，如图1所示：图1 原始系统结构图取状态变量为1x =n ，2x =d I ，3x =d u ，控制输入u=c u将已知参数代人并设输出y=n=1x ，得被控对象的状态空间表达式为 其中，237500039.768011=-3.696-17.85727.05600-588.235100T e lala la s C GD C A RT T RT T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 000=023529.41s s B K T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2375-30.4880=000GD E ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，[]100C = 2)检查被控系统的结构性质判断系统能控性、能观性、稳定性程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235];B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0];Qc=ctrb(A,B);Qo=obsv(A,C);L=length(A);if rank(Qc)==Ldisp('系统是状态完全能控');elsedisp('系统是状态不完全能控');endif rank(Qo)==Ldisp('系统是状态完全能观');elsedisp('系统是状态不完全能观');enddisp(eig(A))%利用A的特征值判断系统稳定性运行结果：系统是状态完全能控系统是状态完全能观1.0e+02 *-0.0893 + 0.0820i-0.0893 - 0.0820i-5.8823 + 0.0000i由于矩阵A 全部特征值均具有负实部，因此系统渐近稳定。
原系统设负载转矩为0，输入为阶跃信号，系统simulink 仿真如下：图2 原始开环系统结构框图图3 原始开环系统仿真分析：由系统仿真图可以看出，调节时间大于0.5s ，不满足性能指标。
(2)状态反馈增益矩阵和积分增益常数的设计由于原系统能控，可以使用状态反馈。
为满足设计指标，采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统。
因增广系统能控，故可采用线性状态反馈控制律12u K x K w =-+。
将闭环系统极点配置到复平面左半开平面的任意期望位置且可消除阶跃扰动及阶跃参考输入作用下的稳态误差。
式中：[]1111213=K K K K ，[]123=Tx x x x ，w v y =-，v 为系统参考输入。
由经典控制理论，闭环极点为1,2n j λζωω=-±调量及调节时间为%=100%e σ⨯， 3.5s n t ζω=。
系统需满足%%σ≤8，0.5s s t ≤，计算可得0.6266ζ≥，n ω≥11.1714，取=0.7ζ，=n ω12，设计指标的期望闭环主导极点对为*1,28.48.57j λ=-±。
选择2个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点5倍以上，取*3,450λ=-，据期望闭环极点，采用MATLAB 极点配置函数可求出增广系统状态反馈增益阵，程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235];B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0];Az=[A [0;0;0];-C 0];Bz=[B;0];Cz=[C 0];P=[-8.4+j*8.57;-8.4-j*8.57;-50;-50];Km=acker(Az,Bz,P);K=[Km(1,1),Km(1,2),Km(1,3),-Km(1,4)]运行程序可得：系统simulink 仿真如下：图4 状态反馈加积分器校正系统结构框图图5 状态反馈加积分器校正系统仿真由图可知，超调量%（1.0420-1）/1 4.2%8%σ==<，调节时间0.5s s t <，满足要求。
图6 加负载扰动后系统状态反馈加积分器校正系统仿真0时刻扰动，最终系统稳定在1，因此系统稳态误差为0。
(3)全维观测器设计由于系统能观，可以使用状态观测器。
237500039.768011=-3.696-17.85727.05600-588.235100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦T e lala la s C GD C A RT T RT T ， 000=023529.41s s B K T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，[]100C =， 新系统的特征根为：-61，27.807212.1936j -±，基于通常选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2-5倍这一经验规则，取观测器期望极点为：-150，-60，-70。
应用MATLAB 极点配置函数求解新系统全维观测器，程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;-38.8235 -88.9412 -98.8233];B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0];P=[-150;-60;-70];Gt=acker(A',C',P);%求对偶系统的状态反馈增益阵GG=Gt';%求系统的观测器偏差反馈增益矩阵G运行程序可得：163.3197G=8.1911129.8454⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
带观测器的状态反馈加积分调节系统仿真结构图如下：图7 带观测器的状态反馈加积分器校正系统结构框图图8 系统加全维观测器波形图图9 全维观测器波形图由仿真图可知，系统的稳态误差为0，动态误差满足超调量%%σ≤8,调节时间0.5s s t ≤的要求。
?状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的配置有关。
一般而言状态观测器极点在复平面的左半开平面距离虚轴距离越远，则估计误差收敛速度越快。
但是，观测器响应速度过快会产生大量噪声，影响系统的正常工作故不宜取值过大。
综合工程实际出发，一般取为比状态反馈闭环系统快2—5倍。
(4)如何在闭环调速系统中增加限流环节从加快启动电动机的角度来看，闭环调速系统应允许有较大的启动电流，而造成堵转的故障消失后，系统电流应能自动恢复正常。
所以常规的熔断器或过流继电器在这里均不能作为限流保护措施。
因为它们是通过切断电路来保护设备的，虽然能起到保护作用，但故障消失后，系统无法自动恢复正常。
为了充分利用设备的过流能力，又保证设备的安全运行，电流截止负反馈则可以限制电流的大小。
?电流截止负反馈的作用是：当电枢电流大于某一截止值时，电流负反馈起作用，限制电流不能过大。
当电枢电流小于截止值时，电流反馈被截止，对系统的稳态运行不产生影响。
电动机启动时，因为电流截止负反馈作用，从而限制启动电流。
正常工作时，电流截止负反馈作用很小。
电动机发生堵转时，由于电流截止负反馈的作用，使Ud 大大下降，因而使Ia 不致过大。
允许的堵转电流一般为电动机额定电流的2~2.5倍。
系统工作在额定值时，由于电流截止负反馈起作用，从而保证系统设备的安全。
?电流截止负反馈如图所示：图10 电流截止负反馈结构图（二）二次型最优全状态反馈控制和按负载扰动前馈补偿的复合控制系统设计(1)线性二次型最优全状态反馈设计1)判断系统是否存在最优控制律要使系统阶跃响应具有良好的动、静态特性，可按非零给定点的最优控制律设计，即()()g u t Kx t u *=-+，由于输入维数和输出维数相等，所以1()()(0)c w u t Kx t W y *-=-+。
由于系统完全能控，因此，最优控制()u t *存在。
最优控制性能指标为：01()()()()2T T t J x t Qx t u t Ru t dt ∞⎡⎤=+⎣⎦⎰，其中Q 为状态加权系数矩阵，R 为控制加权系数矩阵。
2)非零给定点的最优控制设计和仿真分析由图可知，系统输出响应发散，可引入最优控制1()()(0)c w u t Kx t W y *-=-+。
选取设⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233001000000=01000100q Q q q ，R=1。
程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0];D=0;R=1;Q=[100 0 0;0 1 0;0 0 1];K=lqr(A,B,Q,R);ac=A-B*K;W=inv((-C/(A-B*K))*B);bc=B*W;cc=C;dc=D;step(ac,bc,cc,dc);grid运行结果如下：[]K=9.8635 4.87020.9809，110.0009c W -=。
图11 非零给定点最优控制系统单位阶跃响应3)权矩阵的各权值对动态性能影响分析a)固定控制加权系数矩阵R=1，且另22q 、33q 都为1，11q 取不同值时，研究非零给定点的最优控制仿真曲线。
程序如下：a_color=['r','g','b','y','c', 'm','k'];A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0];D=0;R=1;syms Q q11;N=[1 100,200,500,1000,10000];syms i K;for i=1:6q11=N(i);Q=[q11 0 0;0 1 0;0 0 1]K=lqr(A,B,Q,R);ac=A-B*K;W=inv(-C/(A-B*K)*B);bc=B*W;cc=C;dc=D;sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc);endfigure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color( 4),sys(5),a_color(5) ,sys(6),a_color(6));grid结果曲线如下：图1211q取不同值时二次型最优全状态反馈曲线红色：111q=，绿色：11100q=，蓝色：11200q=，黄色：11500q=，蓝绿色：111000q=，紫红1110000q=。