第10 章 梁的强度和刚度.
大工13秋《工程力学(一)》在线作业3-2-1题目及答案
大工13秋《工程力学〔一〕》在线作业3 单项选择题：CDCDA DBACC判断题：BABAB AABAA大工13秋《工程力学〔一〕》在线作业1 单项选择题：CABCB DABAD判断题：BABBA ABBBA大工13秋《工程力学〔一〕》在线作业2 单项选择题：CDCAD BCBBB判断题：BBAAB BBAAA大工13秋《工程力学〔一〕》在线作业3一、单项选择题〔共 10 道试题，共 60 分。
〕V1. 切开一根梁式杆或单刚结点，相当于去掉〔〕个多余约束。
A. 1B. 2C. 3D. 4总分值：6 分2. 跨中作用集中力F的两端简支梁，跨中截面C的剪力大小为〔〕。
A. F/2B. -F/2C. FD. 不确定总分值：6 分3. 关于变形体虚功原理以下说法不正确的选项是〔〕。
A. 外力系必须是平衡力系B. 位移必须满足虚位移条件C. 力和位移两个状态之间是有关联的D. 适用于任意力-变形关系的变形体总分值：6 分4. 用力矩分配法计算无侧移刚架时，假设等截面直杆远端为定向支承，传递系数为〔〕。
A. 0C. 1D. -1总分值：6 分5. 在径向均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线为〔〕。
A. 圆弧线B. 抛物线C. 悬链线D. 正弦曲线总分值：6 分6. 以下选项不属于图乘法计算位移的前提条件的是〔〕。
A. 杆段为等截面直杆B. 各杆段截面物理参数是常量C. 被积函数中至少有一个是直线图形D. 两个被积函数均为直线图形总分值：6 分7. 静定结构的支座发生移动时〔〕。
A. 杆件无变形，结构无位移B. 杆件无变形，结构有位移C. 杆件有变形，结构无位移D. 杆件有变形，结构有位移总分值：6 分8. 对称结构作用反对称力时，结构的剪力图是〔〕的，弯矩图示〔〕的。
A. 对称，反对称B. 对称，对称C. 反对称，对称D. 反对称，反对称总分值：6 分9. 位移法的基本未知量是〔〕。
A. 支座反力B. 杆端弯矩C. 独立结点位移D. 多余未知力总分值：6 分10. 位移法典型方程中的系数rjk表示的是基本体系在〔〕。
习题讲解
建筑结构习题第0章绪论教学重点 1、混凝土结构的基本概念及其特点。
2、混凝土结构的发展简况、应用及本课程学习方法。
第1章钢筋和混凝土的物理力学性能教学重点 1、钢筋的强度等级、受拉性能。
2、混凝土的立方体抗压轻度和轴心抗压强度，混凝土强度等级的确定，混凝土的受压性能。
3、钢筋和混凝土的粘结强度组成及其影响因素。
第2章混凝土结构的基本设计原则教学重点 1、结构极限状态的概念。
2、实用设计表达式中各系数的含义，荷载标准值和设计值的概念，材料强度标准值和设计值的概念。
第3章受弯构件的基本设计原则教学重点单筋矩形截面梁正截面承载力计算，斜截面受剪承载力计算，梁、板构造要求。
第4章受压构件教学重点 1、轴压构件承载力计算。
2、大小偏压的判别。
3、对称配筋打偏压构件的承载力计算和构造要求。
第5章预应力混凝土构件设计教学重点 1、预应力试驾的两种方法，各自的优缺点和适用范围。
2、张拉控制应力的概念以及预应力损失的产生及组合。
第6章单层厂房教学重点 1、厂房的支撑。
2、排架结构中的吊车荷载计算。
3、牛腿的计算方法。
第7章多层及高层钢筋混凝土房屋教学重点框架结构体系的概念、受力特点及构造要求。
第8章砌体结构教学重点 1、在理解砌体强度设计值需要调整的基础上，掌握无筋砌体受压构件承载力验算。
2、局压承载力的计算。
3、刚性方案房屋墙柱的计算方法。
第9章钢结构的材料教学重点 1、钢材主要力学性能和钢材破坏形式。
2、钢材主要力学性能及影响钢材力学性能的各种因素。
3、钢材符号的表示。
第10章钢结构的连接教学重点 1、钢结构的常用链接方法及其特点。
2、对接焊缝和角焊缝的设计计算方法。
3、螺栓连接的种类、形式、特点、普通螺栓受剪、受拉的承载力设计计算方法。
第11章钢结构构件教学重点 1、轴心受拉构件强度和长细比的验算方法，轴心受压构件的整体稳定和局部稳定验算。
2、实腹式轴心受压构件截面设计和验算的方法和步骤。
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
梁的强度和刚度计算
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
dxI zb dx
QS z ;
I zb
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矩形截面剪应力计算公式：
QS
* z
式中:Q—横截面上的剪力；
Izb
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度；
763 5.2
146 .7cm3;W2
z y2
763 8.8
86.7cm3;
(3)C截面的正应力强度校核:
max
W2 Mc
86.7 10
6
310
34.7MPa ; max
W1 MD
146.7 10
6
310
20.5MPa ;
3
3
(4)D截面的正应力强度校核:
max
W1 MD
146.7 10
6
4.810
32.7MPa ; max
W2 MD
86.7 10 6 4.810
55.3MPa ;
3
3
(5)最大拉应力发生在C截面的下边缘处,最大压应力发生在D
截面的下边缘处,其值分别为: max 34.7MPa; max 55.3MPa;
令Wz
Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3, mm3.
矩形截面：Wz
bh2 6
工程力学第10章 弯曲变形与简单超静定梁
简支梁。 根据原超静定梁A端横截面转角θA=0这一变形条件, 即可进而建立补 充方程以求解MeA。 建议读者按此自行算出全部结果。 以上解题的方法步骤也适用于解二次超静定梁。 此时可建立两个变形几何方程, 因而补充方程也就有两个。 这样, 解多余约束力时就需解二元一次联立方程组。 对于三次以上的超静定梁若仍用上述方法求解, 则将不够简便, 此时就宜采用其 他方法。
但弹性模量E值则是比较接近的。 2.调整跨度 梁的转角和挠度与梁的跨度的n次方成正比, 跨度减小时, 转角和挠度就会有更 大程度的减小。 例如均布载荷作用下的简支梁, 其最大挠度与跨度的四次方成 正比, 当其跨度减小为原跨度的1/2时, 则最大挠度将减小为原挠度的1/16。 故减小跨度是提高梁的刚度的一种有效措施。 在有些情况下, 可以增设梁的中 间支座, 以减小梁的跨度, 从而可显著地减小梁的挠度。 但这样就使梁成为超 静定梁。 图10-10a、 b分别画出了均布载荷作用下的简支梁与三支点的超静 定梁的挠曲线大致形状, 可以看出后者的挠度远较前者为小。 在有可能时, 还 可将简支梁改为两端外伸的梁。 这样, 既减小了跨度, 而且外伸端的自重与两 支座间向下的载荷将分别使轴线上每一点产生相反方向的挠度(图10-11a、 b), 从而相互抵消一部分。 这也就提高了梁的刚度。 例如桥式起重机的桁架钢梁 就常采用这种结构形式(图10-11c), 以达到上述效果。
下述关系
因为挠曲线为一平坦的曲线, θ值很小, 故有 tanθ≈θ(c) 由式(b)、式(c)两式可见, 梁横截面的转角应为
式(d)表明转角θ可以足够精确地从挠曲线方程(a)对x求一次导数得到。 它表 示梁横截面位置的x与该截面的转角θ之间的关系, 通常称为转角方程。 在图10-2所示的坐标系统中, 挠度w以向上为正, 向下为负; 转角θ则以逆时针 转向为正, 顺时针转向为负。
梁的刚度计算范文
梁的刚度计算范文梁的刚度是指材料在受到外力作用时的抵抗变形的能力。
在工程中，刚度是一个非常重要的参数，它决定了梁的强度和稳定性。
梁的刚度计算可以通过不同的方法进行，下面将介绍两种常用的计算方法：简支梁的刚度计算和悬臂梁的刚度计算。
一、简支梁的刚度计算简支梁是指两个端点都可以转动的梁，它的刚度可以通过弯曲刚度来计算。
弯曲刚度是指单位长度下的梁的抵抗弯曲变形的能力。
1.简支梁的弯曲刚度公式简支梁的弯曲刚度可以通过以下公式进行计算：EI=(WL^3)/(48D)其中，EI为弯曲刚度，W为作用在梁上的力或负荷，L为梁的长度，D为梁的挠度。
2.弯曲刚度的单位和性质弯曲刚度的单位是N.m^2，它的数值越大，梁的刚度越高。
弯曲刚度与梁的材料属性有关，即与材料的弹性模量E和惯性矩I有关。
E表示材料的刚度，单位为N/m^2，I表示梁的惯性矩，单位为m^4、弯曲刚度EI 的数值越大，表示材料的刚度越高。
二、悬臂梁的刚度计算悬臂梁是指只有一个端点可以转动的梁，它的刚度可以通过挠度和力矩进行计算。
1.悬臂梁的挠度计算悬臂梁的挠度是指梁在受到外力作用时的弯曲变形。
悬臂梁的挠度可以通过以下公式进行计算：δ=(FL^3)/(3EI)其中，δ为悬臂梁的挠度，F为作用在梁上的力或负荷，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩。
2.悬臂梁的刚度计算悬臂梁的刚度可以通过力矩和挠度的比值来计算：K=M/δ其中，K为悬臂梁的刚度，M为悬臂梁上的力矩，δ为悬臂梁的挠度。
总结：梁的刚度是指梁在受到外力作用时的抵抗变形的能力。
梁的刚度可以通过弯曲刚度和挠度进行计算。
简支梁的刚度可以通过弯曲刚度进行计算，悬臂梁的刚度可以通过力矩和挠度的比值进行计算。
两种方法都可以用来计算梁的刚度，根据具体的梁结构和受力情况选择适当的计算方法。
梁的刚度分析
挠曲线： y f x 任一点的斜率与转角之间的关系为： 由于： 极其微小
dy tg dx
tg
dy f ' x dx
——转角方程
物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切 线的斜率等于该点处横截面的转角。 结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于 f ' x 在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出 挠曲线方程 y f x 。
C ， A EIZ
（5） （6）
即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积 二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积
从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数 D=0, 这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的 挠度为零。 注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并 且对其它类型的梁也成立。 例2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的 挠度和转角。 解：建立坐标系如图： （1）求支反力
（4）求结果：
x=0时， x=L/2时，
1 PL2 PL2 A y EI Z 16 16EI Z
' A
PL3 yC 48EI Z
思考题：
图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中 点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并 求梁上最大挠度值。
Me
A
1 M x K x x EI Z
又：
1 x
(b)
1 y
y
3 2 2
1 M x y x EIZ
1 y M x x 1 EIZ
——挠曲线近似微分方程 (9-3)
第十章：弯曲强度和刚度
例9.10 矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2，已知 F=15kN，a=0.8m，[s]=10MPa。设计截面尺寸。
解：1. 求支反力：
F A =FB=3F 2. 作FS、M图。 M max =Fa=12 kN.m 3. 注意h/b=3/2，则： Wz =bh2 /6=3b 3 /8 4. 强度条件： 3 3 max 1210 3b M = Wz = 8 [s ] 1010 6 解得：b0.147m150mm
2) 抗弯截面模量W z 查表9-1有： Wz =H2 [B-b(h/H)3 ]/6 =1.227 10 -4 m 3 3）强度校核:
B
H
x FS图 qL x M图 qL2/2
Mmax 14.4 10 3 s max = = - 4 = 117MPa<[s]=120Mpa 强度足够。 21 Wz 1.22710
pd
4
d
o
17
64
y
smax压
结论： s=My/Iz
M
x
smax拉
中性轴上，s=0，截面上、下缘，
s =s max 。
18
9.3 平面弯曲的最大正应力及强度条件
y
My 弯曲正应力公式： s = Iz
按绝对值计算应力s 的大小，依 据弯曲后的拉压情况判断正负。
M
smax压
M
x
smax拉
适用范围：
F a 2F F Fa Fa
2F
2F a
F
a FB F x
a
FA
a
a
FS
Fa
x
2F
M
x Fa
22
讨论一： M max =Fa=12 kN.m，[s]=10MPa，
梁的强度和刚度
Asin
z
l
0
(4.4.16)
使上式在任何 z 值都成立，则方括号中的数值必为零，即：
EI
l
4
GIt
l
2
M2 EI y
0
(4.4.17)
上式中的M即为该梁的临界弯矩Mcr
Mcr
1 EI 2
GIt l
EI yGIt k l
EI yGIt l
k 称为梁的侧向屈曲系数，对于双轴对称工字形截面I=Iy(h/2)2
Mcr
1
2EI y l2
2a
3By
2a 3By
2
I Iy
1
l
2GIt 2 EI
其中,
1 By 2Ix
A y( x2 y2 )dA y0
荷载类型 跨中点集中荷载 满跨均布荷载
纯弯曲
系数 1 2
1
1.35 1.13 1.0
3 值
2
0.55
0.46 0.0
3பைடு நூலகம்
0.40
0.53 1.0
《钢标》中梁的整体稳定实用计算
3.按受力形式分： 单向弯曲梁
与双向弯曲梁
§4.3 梁的强度和刚度
一、弯曲强度 1.工作性能
Mmax
2. 抗弯强度计算
梁设计时只是有限制地利用截面的塑性，如工字形截面 塑性发展深度取a≤h/8。(h/8 ~ h/4)
(1)单向弯曲梁
Mx f
xWnx
(4.3.2)
(2)双向弯曲梁
k 1 EI 2 1 2 h 2 EIy 1 2
GIt l
2l GIt
h
2
EIy
2l GIt
10-1-1梁横截面上的正应力(精)
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根据所观察到的表面现象，对梁的内部变形情况进行推断， 作出如下假设：
① 梁的横截面在变形后仍然为一平面，并且与变形后梁的轴 线正交，只是绕横截面内某一轴旋转了一个角度。这个假设称 为平面假设。
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3. 惯性矩和弯曲截面系数的计算
几种常见简单截面如矩形、圆形及圆环形等的惯性矩Iz和 弯曲截面系数Wz列于表10中，以备查用。由简单截面组合 而成的截面的惯性矩计算，见附录Ⅰ。 型钢截面的惯性矩和弯曲截面系数可由型钢规格表查得。
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4. 横力弯曲时梁横截面上正应力的计算公式
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§10－1 梁弯曲时的应力
10－1 －1
梁横截面上的正应力
剪力和弯矩是横截面上分布内力 的合力。在横截面上只有切向分 布内力才能合成为剪力，只有法 向分布内力才能合成为弯矩 （图）。因此，梁的横截面上一
般存在着切应力和正应力，它 们分别由剪力FS和弯矩M所引起
的。
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27.2 106 Pa 27.2MPa
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cB
M
B
y 2
Iz
4 103 N m 8.8 10-2m 7.6410-6 m4
46.1106 Pa 46.1MPa
综合以上可知，梁的最大拉、压应力分别为
tmax=tC=28.8MPa cmax=cB=46.1MPa
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第5章受弯构件-梁
进行验算，主要需验算组合梁中的翼缘和腹板局部稳定
§5.4 型钢梁的设计
型钢梁受力计算的基本要求
型钢梁的设计计算方法
型钢梁的设计实例
一、型钢梁受力计算的基本要求
强度、刚度、整体稳定
正应力 剪应力 局部压应力
二、型钢梁的设计计算方法
经验
内力计算 Mmax 1、初选截面 确定净截面模量
选பைடு நூலகம்钢材 品种 f
My Mx f xWxn yWyn
截面塑性发展 系数（1，η）
注： 当梁受压翼缘的自由外伸宽度与其厚度之比大于 13
235 / f y 且不超过15 235 / f y 时，γ ＝1.0； x
需要计算疲劳的梁，宜取γx=γy＝1.0
2.抗剪强度 梁同时承受弯矩和剪力共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上 的剪应力分布如图所示。 截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实 腹构件，其抗剪强度应按下式计算：
或
Mx f bW x
常截面焊接工字形钢梁b的简化公式：
y t1 2 4320 Ah 235 b b 2 [ 1 ( ) b ] 4.4h fy y Wx
当为双向受弯时，梁整体稳定性计算公式为
My Mx f bWx yW y
上式是按照弹性工作阶段导出的。可取比例极限fp=0.6fy，当 cr>0.6 fy时，即b>0.6时，梁已进入了弹塑性工作阶段应采用 b’来代替公式中的b值。
假定集中荷载从作用处以 1：2.5(hy高度范围)和1：1(hR高度范 围)扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可 按下式计算：
c
F
t wl z
f
梁的强度校核
4
2014-5-25
而此时外伸端D和E的挠度也仅为
2014-5-25
qa2 (l 2a) 4 3 2 qa q(l 2a) wD wE a a 8EI 24EI 2 EI ql 4 0.000 207 () EI
14
所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加 梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自 由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰 支座。
2014-5-25
15
而许可挠度为
w w l l
2014-5-25
1 2.4 m 6 103 m 400
10
由于wmax<[w]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。
Ⅱ. 提高梁的刚度的措施 (1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增
2014-5-25
2
例题1 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既
满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170
MPa，[]=100 MPa，E=210 GPa， 。 l 400
w 1
2014-5-25
3
解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型 号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然
2014-5-25
12
如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所
示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为
梁的强度校核资料
2019/8/7
15
30103 N 0.8 m 3 2.42 m2 4 0.82 m2
40103 N 0.9 m 3 2.42 m2 4 0.92 m2
12103 N 0.6 m 3 2.42 m2 4 0.62 m2 ]
其值小于许用切应力[]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
2019/8/7 应力强度条件。
8
3. 按刚度条件校核
此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截
面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座
的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计
11
(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为
M max
ql 2 8
0.125 ql2
5ql 4
ql 4
wmax 384 EI 0.0130 EI
2019/8/7
12
如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所 示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为
§5-5梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件(stiffness condition)：
wm a x l
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
w l
算公式为
Fb 3l 2 4b2
wC 48EI
梁的强度和刚度计算
梁的强度和刚度计算1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。
（1）梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算：单向弯曲时（5-3）f W M nx x x ≤=γσ双向弯曲时（5-4）f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）；W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；——截面塑性发展系数，对工字形截面，；对y x γγ,20.1,05.1==y x γγ箱形截面，；对其他截面，可查表得到；05.1==y x γγf ——钢材的抗弯强度设计值。
为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于 ，但不超过时，应取。
y f /23513y f /235150.1=x γ需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取。
0.1==y x γγ（2）梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。
工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。
截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。
在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。
因此，设计的抗剪强度应按下式计算（5-5）v w f It ≤=τ式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩；I ——毛截面惯性矩；t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值。
图5-3 腹板剪应力当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。
型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。
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第10 章梁的强度和刚度10-1选择题1 弯曲变形时，弯曲剪应力在横截面上（D）分布。
A.均匀B.线性C.假设均匀D.抛物线2 弯曲变形时，弯曲正应力在横截面上（B）分布。
A.均匀B.线性C.假设均匀D.抛物线3 构件抵抗变形的能力称（A）。
A.刚度B.强度C.稳定性D.极限强度4 构件抵抗破坏的能力（B）。
A.刚度B.强度C.稳定性D.极限强度5 梁的一端固定另一端自由的梁称（D ）。
A.简支B.外伸C.多跨D.悬臂6 梁的一端用固定铰，另一端用可动铰支座支承的梁称（A）梁。
A.简支B.外伸C.多跨D.悬臂7 简支梁的一端或二端伸出支座外的梁称（B ）梁。
A.简支B.外伸C.多跨D.悬臂8 图示梁的最大挠度为（C ）qa4/EI。
9 图示梁的最大转角为（C）qa3/EI。
10 梁的剪切弯曲变形时，梁横截面在上下边缘处的弯曲应力为( A)。
Ａ.剪应力为零、正应力最大Ｂ.剪应力最大、正应力最大Ｃ.剪应力为零、正应力为零Ｄ.剪应力最大、正应力为零11 等强度梁的截面尺寸(C )A.与载荷和许用应力均无关B.与载荷无关，而与许用应力有关C.与载荷和许用应力均有关D.与载荷有关，而与许用应力无关12 在材料和荷载确定的情况下，提高梁的强度和刚度的最好办法是增大（C ）。
A.截面面积B.截面静矩C.截面惯性矩D.都不对13 矩形截面梁的横截面高度增加到原来的两倍，截面的抗弯能力将增大到原来的（C）。
A 2倍B 3倍C 4倍 D.8倍14 若如图应力状态中的切应力改变了方向，那么， ( B ) 。
A ．主应力和主方向都将发生变化B ．主应力不变，主方向将发生变化C ．主应力将发生变化，主方向不变D ．主应力和主方向都不变10-2梁的正应力强度计算，试求图示梁的最大正应力及其所在位置。
题10-2图题14图【解】（1）计算支座反力很明显，kN 10==By Ay F F （↑） （2）m kN 77.0⋅=⨯=Ay MAX F M（3）3533max108220012200120212mm h bh y I W ZZ ⨯=⨯===（4）MPa 75.810810756max max =⨯⨯==Z W M σ10-3图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2F 2=5 kN ，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。
10-3图【解】(1) 画梁的弯矩图(2) 最大弯矩（位于固定端）：max 7.5 M kN =(3) 计算应力： 最大应力：xM1 zK 点的应力：10-4 图示梁，由No22槽钢制成，弯矩M =80 N.m ，并位于纵向对称面（即x-y平面）内。
试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
题10-4图【解】(1) 查表得截面的几何性质：4020.3 79 176 z y mm b mm I cm ===(2) 最大弯曲拉应力（发生在下边缘点处）()30max880(7920.3)10 2.67 17610x M b y MPa I σ-+-⋅-⨯-⨯===⨯(3) 最大弯曲压应力（发生在上边缘点处）30max88020.3100.92 17610x M y MPa I σ---⋅⨯⨯===⨯ 10-5 图示简支梁，由No28工字钢制成，在集度为q 的均布载荷作用下，测得横截面C 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E =200 Gpa ，a =1 m 。
6max max max227.510176 408066ZM M MPabh W σ⨯====⨯6max max 337.51030132 ********K ZM y M y MPa bh I σ⋅⋅⨯⨯====⨯题10-5图【解】(1) 求支反力31 44A B R qa R qa ==(2) 画内力图(3) 由胡克定律求得截面C 下边缘点的拉应力为：49max 3.010******* C E MPa σε+-=⋅=⨯⨯⨯=也可以表达为：2max4C C z zqa MW W σ+== (4) 梁内的最大弯曲正应力：2maxmax max 993267.5 8C zz qa M MPa W W σσ+==== xxF SM10-6 图示槽形截面悬臂梁，F =10 kN ，M e =70 kNm ，许用拉应力[σ+]=35 MPa ，许用压应力[σ-]=120 MPa ，试校核梁的强度。
题10-6图【解】(1) 截面形心位置及惯性矩：112212(150250)125(100200)15096 (150250)(100200)C A y A y y mm A A ⋅+⋅⨯⋅+-⨯⋅===+⨯+-⨯3322841505025200(15050)(25)2(25200)(150)12121.0210 zCC C I y y mm ⎡⎤⨯⨯=+⨯⋅-++⨯⋅-⎢⎥⎣⎦=⨯ (2) 画出梁的弯矩图(3) 计算应力A +截面下边缘点处的拉应力及上边缘点处的压应力分别为：68(250)4010(25096)60.4 1.0210C A A zCM y MPa I σ+++⋅-⨯-===⨯ 6840109637.61.0210CA A zCM y MPa I σ-++⋅⨯⨯===⨯ A -截面下边缘点处的压应力为68(250)3010(25096)45.3 1.0210C A A zCM y MPa I σ---⋅-⨯-===⨯Cx可见梁内最大拉应力超过许用拉应力，梁不安全。
10-7 图示矩形截面钢梁，承受集中载荷F 与集度为q 的均布载荷作用，试确定截面尺寸b 。
已知载荷F =10 kN ，q =5 N/mm ，许用应力[σ] =160 Mpa 。
10-7图【解】(1) 求约束力：3.75 11.25 A B R kNm R kNm ==(2) 画出弯矩图：(3) 依据强度条件确定截面尺寸[]66max max233.7510 3.7510160 466zM MPa bh b W σσ⨯⨯===≤= 解得：32.7 b mm ≥10-8 图示外伸梁，承受载荷F 作用。
已知载荷F =20KN ，许用应力[σ]=160 Mpa ，试选择工字钢型号。
FxM题10-8图【解】(1) 求约束力：5 25 A B R kNm R kNm ==(2) 画弯矩图：(3) 依据强度条件选择工字钢型号[]6max max2010160 M MPa W Wσσ⨯==≤= 解得：3125 W cm ≥查表，选取No16工字钢10-9 当载荷F 直接作用在简支梁AB 的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30%。
为了消除此种过载，配置一辅助梁CD ，试求辅助梁的最小长度a 。
题10-9图【解】(1) 当F 力直接作用在梁上时，弯矩图为：BxMx此时梁内最大弯曲正应力为：[]max,1max,13/230%M F WWσσ=== 解得：[]20%FWσ=..............① (2) 配置辅助梁后，弯矩图为：依据弯曲正应力强度条件：[]max,2max,2324F FaM WWσσ-=== 将①式代入上式，解得：1.385 a m =10-10下列单元体图中，应力单位均为MPa 。
用解析法计算图中指定截面上的正应力与切应力。
（a ） (b)题10-10图【解】：(a) 应力状态σx = 40 ，σy = 0 ，τxy = −20 ；α = −30°MPa3.47)60sin(20)60cos(20402040 2sin 2cos 22=----++=+-++= ατασσσσσαx yx y xxMPa3.7)60cos(20)60sin(2040 2cos 2sin 2=-+--=--=ατασσταx yx 10-11 如图a 所示，一横力弯曲的梁，已知其横截面m -n 上点A （图b ）的正应力和切应力分别为 σ=－70MPa ，τ=14MPa 。
试求点A 的主应力和最大切应力的大小和方向。
题10-11图解: 切取点A ，并画出其单元体应力状态（图c ）。
此单元体垂直方向的正应力等于零,今选样轴x 的正方向垂直向上，写出各应力分量，即为0=x σ， M P a 70-=y σ， M P a14-=-=y x ττ 则⎩⎨⎧=-+--±-+=+-±+=⎭⎬⎫72.7MPa-MPa 7.2)14(]2)70(0[2)70(0)2(22222min max x y x yx τσσσσσσ主应力方位角40.0)70(0)14(222tan 0=---⨯-=--=y x x σστα9.100=α或 9.1000=α分别由轴x 按逆时针转10.9°和100.9°，即可确定应力σmax 与σmin 的分别所在的主平面。
按照主应力代数值的大小排序规定，即有σ1=2.7MPa ，σ2=0，σ3=－72.7MPa 。
最大切应力的大小6max 37.710Pa 37.7MPa τ=⨯= 因最大切应力的所在平面与主平面的夹角为45°，故有9.55459.104501=+=+=αα在单元体图中，由轴x 逆时针转55.9°即可得到1α，图中未画出。