高三数学-第七节 数学归纳法
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第7节-数学归纳法
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【思路导析】 (1)a1 为含 x 项的系数；(2)可使用数学归纳法证明． 【解析】 (1)a1＝1＋2＋…＋n＝n（n＋2 1）. (2)证明：证法一：利用数学归纳法 ①当 n＝2 时，f(x)＝(1＋x)(1＋2x)＝1＋3x＋2x2， 此时 a2＝2. 又3n＋4 2C3n＋1＝2C33＝2，所以命题成立． ②假设 n＝k(k≥2)时，命题成立，即 a2＝3k＋4 2C3k＋1. 则当 n＝k＋1 时，
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[规律方法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归 纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个 特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种 方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题 中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
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[跟踪训练] 2．用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n∈N*，n≥2)．
证明 (1)当 n＝2 时，1＋212＝54＜2－12＝32，命题成立．
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(2)假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12＜2－1k. 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋（k＋11）2＜2－1k＋（k＋11）2 ＜2－1k＋k（k＋1 1）＝2－1k＋1k－k＋1 1 ＝2－k＋1 1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．
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人教版数学高三-【报纸论文】《数学归纳法》学习指导
《数学归纳法》学习指导一、重难点扫描数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种重要推理方法，在初等数学和高等数学中都有着极其广泛的应用，类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是其应用的一种主要思想方法，因此是高考考试的热点之一。
1、数学归纳法分为完全归纳和不完全归纳两种，近几年的高考试题中出现了不少体现不完全归纳法的应用的考查，既要求归纳发现结论，又要能证明结论的正确性，初步形成“观察——归纳——猜想——证明“的思维模式。
2、 用数学归纳法证题的一般步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n 时，命题成立。
（2）假设当),(0*∈≥=N k n k k n 时命题成立，证明1+=k n 时命题也成立。
（3）根据（1），（2）可断定对一切0n n ≥*∈N n 命题都成立。
3、数学归纳法的一般应用。
数学归纳法可以应用在证明：数列、不等式、整除、恒等式、几何计数等与正整数有关的命题。
二、温馨提示1、证明的三步缺一不可，步骤(1)是正确的奠基步骤，称为归纳基础；步骤 (2)是无限的递推关系，即归纳的依据。
若只有步骤（1）而无步骤（2），只是证明了结论在特殊情况下的正确性，是不完全归纳，若只有步骤（2）无步骤（1），则假设n ＝k 成立就是没有根据的，缺乏递推之依据，也就是无法递推（因“递推”为“数学归纳法”之灵魂，故在应用该法证题时,寻觅命题的“递推关系”乃首要问题），故有了步骤（1）（2）才能使递推成为可能；步骤（3）是将步骤（1）和（2）完美结合完成数学归纳法的全过程，因此三个步骤缺一不可。
2、第（1）步中0n 的值并非一定是1，据题目的要求可能为2，3等；第（2）步由),(0*∈≥=N k n k k n 到1+=k n 成立的过程中，务必用到归纳假设，否者就非“数学归纳法”，因而应将归纳假设定位于“题设条件”的范畴。
3、由k 到1+k 的证明，实际问题中从k 到1+k 的变化规律是学习的难点，突破难点的关键是掌握由k 到1+k 的推证方法，在运用归纳假设时，应分析()(1)P k P k +与的差异与联系，利用拆、添3、 不是每一个关于自然数的命题都必须用数学归纳法来证明，而且也不是每一个关于自然数的命题都可以用数学归纳法来证明，数学归纳法不是万能的，只要命题没有“递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。
数学归纳法
课堂互动讲练
证明】 左式＝ 【证明】 (1)当 n＝1 时，左式＝ 当 ＝ 12(1－ 1)(1＋ 1) － ＋ 2 1 － 1＝0，右式＝ ＝ ，右式＝ ＝0， ， 4 等式成立． ∴等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N )时等式成立， 假设 ＝ ∈ 时等式成立 时等式成立， 即 (k2 － 1)＋ 2(k2－ 22)＋ … ＋ k(k2 － k2) ＋ ＋ k2(k－ 1)(k＋ 1) － ＋ . ＝ 4
数学归纳法
基础知识梳理
证明一个与正整数n有关的命题， 证明一个与正整数 有关的命题，可 有关的命题 按下列步骤进行： 按下列步骤进行： (1)(归纳奠基 证明当 取第一个值 归纳奠基)证明当 归纳奠基 证明当n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； 时命题成立； 时命题成立 (2)(归纳递推 假设 ＝k(k≥n0，k∈N*) 归纳递推)假设 归纳递推 假设n＝ ∈ 时命题成立，证明当n＝ ＋ 时命题也成 时命题成立，证明当 ＝k＋1时命题也成 立． 只要完成这两个步骤， 只要完成这两个步骤，就可以断定命 题对从n 开始的所有正整数n都成立 都成立． 题对从 0开始的所有正整数 都成立．
基础知识梳理
上述证明方法叫做数学归纳法． 上述证明方法叫做数学归纳法．用 框图表示就是： 框图表示就是：
三基能力强化
1．数学归纳法适用于证明 ． ________类型的命题 类型的命题( ) 类型的命题 A．已知⇒结论 ．已知⇒ B．结论⇒已知 ．结论⇒ C．直接证明比较困难 ． D．与正整数有关 ． 答案： 答案：D
课堂互动讲练
【证明】 (1)当n＝1时，f(1)＝36， 证明】 当 ＝ 时 ＝ ， 能被36整除 整除． 能被 整除． (2)假设 ＝k(k∈N*)时，f(k)能被 假设n＝ ∈ 时 能被36 假设 能被 整除， 整除， 能被36整除 即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被 整除； ＝ ＋ 能被 整除； ＋ 当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝ ＋ 时 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9 ＋ － ＋ － ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， ＋ ＋ ，
第六章第七节数学归纳法
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N＋等式都成立．
第七节 数学归纳法
考点一
抓主干 知识回顾
研考向 考点研究
答题模板 系列8
课时 跟踪检测
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典题悟法 演练冲关
用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先 看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项， 项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时等式的两边 变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明.
知识点二
抓主干 知识回顾
[自测练习]
研考向 考点研究
答题模板 系列8
课时 跟踪检测
解析
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知识点一 知识点二
3．(2015·南昌调研)用数学归纳法证明等
式：1＋2＋3＋…＋n2＝
n4＋n2 2
(n∈N＋)，则
从n＝k到n＝k＋1时，左边应添加的项为
(D )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
n＝k时，左边有k2项， 当n＝k＋1时左边有(k＋ 1)2＝k2＋2k＋1项，从n ＝k到n＝k＋1左边应添 加2k＋1项，故选D.
时，{an}是以b为公比的等比
数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－
1)，
a2 a1
＝b，即
bb－1 b＋r
＝b，解
得r＝－1.
第七节 数学归纳法
考点二
抓主干 知识回顾
典题悟法 演练冲关
等比数列{an}的前n项和为
Sn.已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn) 均在函数y＝bx＋r(b＞0，且b≠1，
b，r均为常数)的图像上．
课时 跟踪检测
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高考数学中的数学归纳法及应用
高考数学中的数学归纳法及应用在高考数学中，数学归纳法是一个重要的概念，它被广泛应用于各种数学问题的解决和证明，特别是那些与自然数和整数相关的问题。
在本文中，我们将主要讨论高考数学中的数学归纳法及其应用。
1. 数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种数学推理方法，通过一个已知的命题的真实性，证明其对于所有的自然数都成立。
数学归纳法的基本步骤包括以下三个部分：第一步，证明基本情况，即证明所要证明的命题在某个整数上成立。
这个整数一般是0或1，有时也可以是其他的整数。
第二步，证明归纳步骤，即证明如果命题在某个整数上成立，那么它在下一个整数上也会成立。
第三步，结论，即由前两步推出所要证明的命题对所有的自然数都成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用：2.1. 计算等差数列的和等差数列的和问题，就可以用数学归纳法来推导出通用公式。
具体步骤如下：首先，我们用初中阶段所学的方法，求出等差数列前n项和的通式Sn。
S1 = a1 (n=1时，Sn=a1)S2 = a1 + a2 (n=2时，Sn=a1+a2)S3 = a1 + a2 + a3 (n=3时，Sn=a1+a2+a3)……Sn = a1 + a2 + …… + an我们通过数学归纳法来推导出通用公式：证明基本情况，当n=1 时，Sn=a1 成立。
证明归纳步骤：假设当n = k（k≥1）时，Sn = a1 + a2 + …… + ak 成立。
即证明当n=k+1 时，Sn=a1+a2+……+ak+ak+1 成立。
即结论：对于所有的自然数n，等差数列的前n项和为Sn = n[a1 + an] / 2。
2.2. 证明不等式数学归纳法也可以用于证明不等式的真实性。
如果某个命题的成立可以从另一个命题的成立推导出来，而这两个命题都可以用数学归纳法进行证明，那么我们可以通过这两个命题的联合证明，来证明原来的不等式。
例如，我们可以用数学归纳法证明n ≥ 3 时，2^n > n^2。
高中数学数学归纳法
数学归纳法能通过“归纳—猜想—证明”解决一些数学问题．1．数学归纳法公理对于某些与正整数n有关的数学命题，可以用数学归纳法证明．2．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．想一想：(1)数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.(2)为什么可以先假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立？再证n＝k＋1时命题也成立就可说明命题成立？提示“假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题成立，”其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷．如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立．3．用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．想一想：数学归纳法的两个步骤有何关系？提示使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．名师点睛1.运用数学归纳法的注意点数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可．如果缺少步骤(2)，无法对n取n0后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．(1)验证是基础数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1.(2)递推乃关键“假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”这一归纳假设起着已知的作用，“n＝k＋1时命题成立”则是求证的目标．在证明“n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时命题成立．可见数学归纳法证明的关键在于第二步．说明：(1)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛．一般来说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．(2)归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证．一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想是否正确.2．归纳→猜想→证明(1)归纳、猜想和证明是人们探索事物发展规律的常用方法，在数学中是我们分析问题、解决问题的一个重要的数学思想方法．(2)在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．(3)在数学归纳法证明阶段体现的是有限和无限的转化，是一种极限的思想.知识点一正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化【例1】已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．变式迁移1 设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．知识点二 证明与自然数n 有关的等式 【例2】 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .变式迁移2 用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，211111111149162n n n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.知识点三 用数学归纳法证明不等式问题【例3】 用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．变式迁移3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式11111+1+1+1+357212n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．知识点四用数学归纳法证明整除性问题【例4】用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被36整除．变式迁移4用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．知识点五归纳—猜想—证明【例5】在数列{a n}，{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n＋1成等差数列，b n，a n＋1，b n＋1成等比数列{n∈N＋}．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n＜512.变式迁移5已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n－2)(3n＋1)，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明．第1课时数学归纳法【课标要求】1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【核心扫描】1．用数学归纳法证明数学命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．2．对数学归纳法的考查主要是在解答题中出现，用数学归纳法证明不等式是高考的热点.自学导引1．数学归纳法公理对于某些与正整数n有关的数学命题，可以用数学归纳法证明．2．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．*想一想：(1)数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?提示 不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°，第一个值n 0＝3.(2)为什么可以先假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立？再证n ＝k ＋1时命题也成立就可说明命题成立？ 提示 “假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题成立，”其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷．如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数n 都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立．名师点睛运用数学归纳法的注意点数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可．如果缺少步骤(2)，无法对n 取n 0后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．(1)验证是基础一般情况下，用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题时，第一个允许值是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值n 0都是1.(2)递推乃关键“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”这一归纳假设起着已知的作用，“n ＝k ＋1时命题成立”则是求证的目标．在证明“n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n ＝k ＋1时命题成立．可见数学归纳法证明的关键在于第二步．说明：(1)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛．一般来说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n 项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．(2)归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证．一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想是否正确.题型一 正确判断命题从n ＝k 到n ＝k ＋1项的变化【例1】 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是________．[思路探索] 仔细观察命题的结构特点，理解命题由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化趋势． 解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项． 答案 2k 项在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．【变式1】 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2题型二 证明与自然数n 有关的等式【例2】 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .[思路探索]证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎡⎦⎤1k ＋1－12(k ＋1)＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k＋12(k ＋1)＝右边；所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *等式都成立．(1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；(2)用数学归纳法证题时，要把n ＝k 时的命题当作条件，在证n ＝k ＋1命题成立时须用上假设．要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．【变式2】 用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2 ＝n ＋12n. 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (n ≥2，n ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝(k ＋1)2－12k (k ＋1)＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1).∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立．题型三 证明与数列有关的问题【例3】 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 审题指导 据条件写出前五项→猜测出通项公式→[规范解答] (1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22， ∴a 2＝22，∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222. 同理可得a 4＝4232，a 5＝5242. 因此这个数列的前五项为1,4，94，169，2516.(4分) (2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (n ＝1)，n 2(n －1)2 (n ≥2)，(6分) 下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2(n －1)2. ①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22， 所以等式成立．(8分)②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k 2(k －1)2， 则当n ＝k ＋1时，∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，∴a 1·a 2·…·a k ＋1＝(k ＋1)2.∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2[(k ＋1)－1]2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．(11分)根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2(n －1)2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (n ＝1)，n 2(n －1)2 (n ≥2).(12分)【题后反思】 (1)数列{a n }既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式a n ，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．【变式3】 数列{a n }满足：a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n ，(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)令n ＝2，得S 2＝2×(2＋1)2a 2， 即a 1＋a 2＝3a 2，解得a 2＝112. 令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3， 即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，解得a 3＝120. 令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4， 即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，解得a 4＝130. (2)由(1)的结果猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给予证明： ①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(2＋1)，结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时，S k ＝k ·(k ＋1)2a k ，① S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，② ②与①相减得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1－k ·(k ＋1)2a k ， 整理得a k ＋1＝k ＋1k ＋3a k ＝k ＋1k ＋3·1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3)＝1[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②知对于n ∈N ＋，上述结论都成立．误区警示 未应用归纳假设而导致错误【示例】 证明：12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (n ∈N *) [错解] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立．从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程是完整的，但实际上以上的证明却是错误的．错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n ＝k ＋1时式子12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒，一定要引起同学们的足够重视．[正解] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立，有12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k . 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．数学归纳法证明命题的步骤及注意事项：①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.题型三 用数学归纳法证明几何问题【例3】 用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条． [思路探索] 可先弄清凸n 边形多增加一条边时对角线的变化情况，再归纳出变化规律，然后求解．证明 ①当n ＝3时，12n (n －3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时结论正确，即凸k 边形的对角线有12k (k －3)条， 则当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)， 当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1 ＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3] 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．【变式3】 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2. 证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．题型四 归纳—猜想—证明【例4】 在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列{n ∈N ＋}．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. 审题指导 (1)根据已知条件求出{a n }，{b n }的前几项，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式．然后根据递推关系式用数学归纳法加以证明．(2)用放缩法证明不等式．[规范解答] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可以得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.(4分)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立．即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(8分)(2)证明 1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1) ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，原不等式成立．(12分)【题后反思】 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．【变式4】 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1(n ∈N *)． 下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14， 猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1，那么， 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．误区警示 未使用归纳假设而出错【示例】 用数学归纳法证明n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)．[错解] (1)n ＝1时显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，有k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1)2＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，命题成立，根据(1)(2)对n ∈N *原不等式成立．以上证明过程中，第(2)步未用归纳假设，不用归纳假设的证法不是数学归纳法，故以上解法是错误的．[正解] (1)当n ＝1时，显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立． 即k 2＋k ＜k ＋1，∴k 2＋k ＜(k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2 ＝k 2＋k ＋2k ＋2＜(k ＋1)2＋2k ＋2 ＝k 2＋4k ＋3＜k 2＋4k ＋4＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. ∴(k ＋1)2＋k ＋1＜(k ＋1)＋1，故当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n ∈N *成立． 即n 2＋n ＜n ＋1.数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n (n 取无限多个值)有关的数学命题，但是，并不是所有与正整数n 有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1＋1n n (n ∈N *)的单调性就难以实现．一般说，从n ＝k 时的情形过渡到n ＝k ＋1时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.。
高中数学中的数学归纳法知识点总结
高中数学中的数学归纳法知识点总结数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，在高中数学课程中占有重要的地位。
它是通过对特定命题的逐一验证来证明一般性结论的方法。
本文将对高中数学中的数学归纳法的相关知识点进行总结。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种以自然数为基础的证明方法。
其基本思想是：假设某个命题对自然数1成立，然后假设对于任意的自然数k成立，可以证明对于自然数k+1也成立，最后通过数学归纳法原理得出该命题对所有自然数成立。
二、数学归纳法的基本步骤使用数学归纳法证明一个命题通常包括以下几个步骤：1. 基础步骤：证明该命题在自然数1上成立；2. 归纳假设：假设对于任意的自然数k，命题成立；3. 归纳证明：证明对于自然数k+1，命题也成立；4. 数学归纳法原理：根据数学归纳法原理，可以得出该命题对于所有自然数成立。
三、数学归纳法的示例下面通过几个具体的数学归纳法示例来说明其应用：1. 数列的性质证明：证明斐波那契数列的性质，即F(1)=1，F(2)=1，并且对于自然数n≥3，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
（1）基础步骤：当n=1或2时，斐波那契数列成立；（2）归纳假设：假设对于任意的自然数k，斐波那契数列成立；（3）归纳证明：考虑n=k+1的情况，有F(k+1)=F(k)+F(k-1)，根据归纳假设，F(k)和F(k-1)都成立，因此F(k+1)也成立；（4）根据数学归纳法原理，得出斐波那契数列对所有自然数成立。
2. 数学命题的证明：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
（1）基础步骤：当n=1时，等式成立；（2）归纳假设：假设对于任意的自然数k，等式成立；（3）归纳证明：考虑n=k+1的情况，有1+2+3+...+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=[(k+1)(k+2)]/2，根据归纳假设，等式成立；（4）根据数学归纳法原理，得出等式对所有自然数成立。
3. 方程求解：证明n^2-n+41是素数的情况。
第六章 第七节 数学归纳法
解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1， 1 1 1 n 可猜测：1＋ ＋ ＋„＋ n ＞ 2 3 2 －1 2
1 1 1 n 答案：1＋ ＋ ＋„＋ n ＞ 2 3 2 －1 2
1 2．在数列{an}中，a1＝ ，且 Sn＝n(2n－1)an 通过求 a2， 3 a3，a4 猜想 an 的表达式为 1 A. n－1n＋1 1 C. 2n－12n＋1 1 B. 2nn＋1 1 D. 2n＋12n＋2 ( )
解“归纳—猜想—证明”题的关键环节：
(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．
(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论． (3)用数学归纳法证明之．
一、把脉考情
从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证明与自然数
有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为 解答题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时 考查学生分析问题、解决问题的能力，难度为中高档． 预计2012年高考可能会以数列、有关的等式或不等式的 证明为主要考点，重点考查学生运用数学归纳法解决问题的 能力．
3 1 3 ∴ ≤1＋ ≤ ，即命题成立． 2 2 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 k 1 1 1 1＋1 时，
1 1 1 1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ k＋ k ＋ ＋„＋ k 2 3 2 2 ＋1 2k＋2 2 ＋2k k＋1 k k 1 ＞1＋ ＋2 ·k . k＝1＋ 2 2 2 ＋2 1 1 1 1 1 1 又 1＋ ＋ ＋„＋ k＋ k ＋ ＋„＋ k 2 3 2 2 ＋1 2k＋2 2 ＋2k 1 1 k 1 ＜ ＋k＋2 ·k＝ ＋(k＋1)， 2 2 2 即 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立． n 1 1 1 1 即 1＋ ≤1＋ ＋ ＋„＋ n≤ ＋n(n∈N*)． 2 2 3 2 2
浙江2020版高考数学第七章数列与数学归纳法7.3等比数列及其前n项和课件
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2
3
4
5
6
题组三 易错自纠
a1－a2 4.若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则 的值 b2 1 －2 为____.
解析 ∵1，a1，a2，4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，
2 则 b2 ＝ 1 × 4 ＝ 4 ，且 b ＝ 1 × q >0，∴b2＝2， 2 2
高频小考点
GAOPINXIAOKAODIAN
等差数列与等比数列
关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程 或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.
例1 A.34
a1＝1， q＝ 2，
所以a5＝a1q4＝4，故选B.
2.(2018· 全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式； 解 设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).
解析 由等比数列的性质及题意知a1a9＝a3a7＝2a3a6，
5 a 1 － 2 1 a7 所以 q＝a ＝2，由 S5＝ ＝－62，可得 a1＝－2. 6 1－2
S3 8 (2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且S ＝9，则 6 an－an－1 n∈N).
an＋1
1 －2 ＝_____( n≥2，且
1
2
3
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5
6
6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 MB，然后每3秒自身复 39 秒，该病毒占据内存8 制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机____
第六章 第七节 数学归纳法[理]
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1,2,3，…. (1)求a3，a4并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn.证明：当n≥6时，|Sn－2|＜. 解：(1)因为a1＝1，a2＝2， 所以a3＝(1＋cos2)a1＋sin2＝a1＋1＝2， a4＝(1＋cos2π)a2＋sin2π＝2a2＝4. 一般地，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1＝[1＋cos2]a2k－1＋sin2＝a2k
， 整理得，解得a＝，b＝c＝. 答案：A A. B. C. D. 解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an， 得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2， ∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3， 即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，a4＝. 答案：C 二、填空题 7．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为 __________________________________． 答案：1－4＋9－…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)． 8．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则 第n－2(n≥3，n∈N*)个图形中共有________个顶点．
第六章
第七节 数学归纳法[理] 课下练兵场
命题报告 容易题 (题号) 1 2、3 7 6、10 4、8、9 中等题 (题号) 5 11 12 稍难题 (题号)
难度及题号 知识点 证明等式问题 证明不等式 归纳、猜想与证明 整除与几何问题
一、选择题 1．用数学归纳法证明等式(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－ 1)，从k到k＋1左端需增乘的代数式为 ( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 解析：当n＝1时，显然成立．当n＝k时，左边＝(k＋1)·(k＋2)·… ·(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k) (k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k ＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)·2(2k＋1)． 答案：B 2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n ＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 ( ) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k1)求a1，a2； (2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明． 解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0， 解得a2＝. (2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， S－2Sn＋1－anSn＝0. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0. 由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝. 由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，…. 下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n＝1时已知结论成立． (ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1 ＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立． ①
数学归纳法-高中数学知识点讲解
数学归纳法
1．数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0 时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，
n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
1/ 1。
第六章 第七节 数学归纳法(理)
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1 1 1 1．(教材习题改编 已知 为正偶数，用数学归纳法证明 －2＋3－4＋… ． 教材习题改编 已知n为正偶数 用数学归纳法证明1－ 教材习题改编)已知 为正偶数， 1 1 1 1 为偶数)时 －n＝2( ＋ ＋…＋2n)时，若已假设 ＝k(k≥2且k为偶数 时 时 若已假设n＝ ≥ 且 为偶数 n＋2 n＋4 ＋ ＋ 命题为真， 命题为真，则还需要用归纳假设再证 A．n＝k＋1时等式成立 ． ＝ ＋ 时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 ． ＝ ＋ 时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 ． ＝ ＋ 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 ． ＝ ＋ 时等式 时等式成立 ( )
第 六 章 不 等 式、 推 理 与 证 明
第 七 节 数 学 归 纳 法 (理)
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招
提 能 力
我 来 演 练
[备考方向要明了 备考方向要明了] 备考方向要明了 考 什 么 了解数学归纳法的原理， 了解数学归纳法的原理 ， 能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题. 简单的数学命题
(
)
解析：由n＝1时，左＝1＋2＋22＋23. 解析： ＝ 时 ＋ ＋ 答案： 答案： D
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1 1 1 1 3．已知 ．已知f(n)＝n＋ ＝ ＋ ＋…＋n2，则 n＋1 n＋2 ＋ ＋ 1 1 A．f(n)中共有 项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 ． 中共有n项 中共有 ＝ 时 ＝ 1 1 1 B．f(n)中共有 ＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 ． 中共有n＋ 项 中共有 ＝ 时 ＝ 1 1 C．f(n)中共有 2－n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 ． 中共有n 中共有 项 ＝ 时 ＝ 1 1 1 D．f(n)中共有 2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 ． 中共有n 中共有 ＋ 项 ＝ 时 ＝
第六章 第七节 数学归纳法(理)
×1×2× × ×
22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2 ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ k(k＋1)(2k＋1)＋4(k＋1)2 ＋ ＋ ＋ ＋ (k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)] ＋ ＋ ＋ ＋ (k＋1)(2k2＋7k＋6)＝ ＋ ＋ ＝ (k＋1) (k＋2)(2k＋3)＝ ＋ ＋ ＋ ＝
1.用数学归纳法证明 用数学归纳法证明 22＋42＋62＋…＋(2n)2＝ ＋ (n＋1)(2n＋1). ＋ ＋
证明： 当 ＝ 时 左边＝ 证明：(1)当n＝1时，左边＝22＝4，右边＝ ，右边＝ 3＝4， ＝ ， ∴左边＝右边，即n＝1时，等式成立 左边＝右边， ＝ 时 等式成立. (2)假设当 ＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立， 假设当n＝ ∈ 时等式成立， 假设当 时等式成立 即22＋42＋62＋…＋(2k)2＝ ＋ 那么当n＝ ＋ 时 那么当 ＝k＋1时， k(k＋1)(2k＋1)， ＋ ＋ ，
数学归纳法的两个步骤各有何作用？ 数学归纳法的两个步骤各有何作用？ 提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想， 提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想， 第一步是递推基础，也叫归纳奠基， 第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递 推的依据，也叫归纳递推 两者缺一不可 两者缺一不可. 推的依据，也叫归纳递推.两者缺一不可
由此猜测第n个不等式为 由此猜测第 个不等式为
(n∈N*). ∈
解析： ＝ 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1， ＝ ＝ ， 可猜测： 可猜测：
答案： 答案：1+
5.记凸 边形的内角和为 ，则凸 ＋1边形的内角和 ＋1)＝ 记凸k边形的内角和为 边形的内角和f(k＋ ＝ 记凸 边形的内角和为f(k)，则凸k＋ 边形的内角和 f(k)＋ ＋ .
第七节 数学归纳法
2．在进行 n＝k＋1 命题证明时，一定要用 n＝k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法 不是数学归纳法．
巩固提高
变式迁移 1 用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1 1 1 1 *, 对任意的 n∈N 1－ ＋ － ＋„＋ － ＝ ＋ ＋„＋ . 2 3 4 2n－1 2n n＋1 n＋2 2n
已知等差数列{an}的公差 d 大于 0，且 a2、a5 是方程 x －12x＋27＝0 的两根，数列{bn}的前 n 项和为 1 Tn，且 Tn＝1－ bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式； 2 1 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，试比较 与 Sn＋1 的大小，并说明理由．
2
bn
课后巩固 完成《三维设计》课时跟踪检测（三十九）
1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 详见教辅《三维设计》 P85 3. 数学归纳法的应用；
数，用数学归纳法证明：当 x>－1 时，(1＋x) ≥1＋mx. 1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验 n 等于 2 A.1 B.2 C.3 D.0 ( D.非以上答案 ) 探究点三 用数学归纳法证明整除问题 * n＋1 2n－1 2 例 3.用数学归纳法证明：当 n∈N 时，a ＋(a＋1) 能被 a ＋a＋1 整除．
第六章
不等式、推理与证明
第7节
西乡县第二中学 2018 届高三第一轮总复习理科数学导学案
第 7 课时 考纲索引 课标要求
1.数学归纳法；
数学归纳法
探究点二
用数学归纳法证明不等式
2. 数学归纳法证明等式、不等式、整除性问题的应用
1 2n＋1 1 1 例 2.用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式1＋ 1＋ „1＋ > 2 成立． 3 5 2n－1
第七节数学归纳法课案
第七节数学归纳法基础回顾数学归纳法：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n0＝1，n0＝2等)时结论正确；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(C)A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n ≤4时，2n >n 2＋1不成立，n ≥5时，2n >n 2＋1成立，所以取n 0＝5.2．下列代数式中(其中k ∈N *)，能被9整除的是(C )A ．6＋6×7kB ．2＋7k －1C ．3(2＋7k )D ．2(2＋7k ＋1)解析：(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n(n ∈N *)命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36，这就说明，当k ＝n ＋1时命题也成立．故选C.3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *)． 解析：3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2. 4．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n(2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）(n ∈N *)．解析：a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，猜想a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.高考方向1.高考对数学归纳法较少单独考查，一般和合情推理、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇点处命题.2.题型以解答题为主，难度中等偏上.品味高考1．已知f(x)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . (1)若x ≥1时，证明：f(x)≥ln x ；(2)证明：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)＋n 2（n ＋1）(n ≥1)． 证明：(1)设g(x)＝f(x)－ln x ＝x 2－12x －ln x(x ≥1)，则g ′(x)＝12x2－1x ＋12＝x 2－2x ＋12x 2＝（x －1）22x 2≥0(x ≥1)，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，即当x ≥1时，g(x)≥g(1)＝0，即f(x)≥ln x.(2)方法一 由(1)有f(x)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x(x ≥1)，且当x ＞1时，12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＞ln x. 令x ＝k ＋1k ，有ln k ＋1k ＜12[k ＋1k －k k ＋1]＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1k ＋1]， 即ln(k ＋1)－ln k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1k ＋1k ＋1，k ＝1，2，3，…，n. 将上述n 个不等式依次相加，得ln(n ＋1)＜12＋(12＋13＋…＋1n )＋12（n ＋1）. 整理得1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)＋n 2（n ＋1）. 方法二 用数学归纳法证明．①当n ＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立． ②假设n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k ＞ln(k ＋1)＋k 2（k ＋1）. 那么n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋k 2（k ＋1）＋1k ＋1＝ln(k ＋1)＋k ＋22（k ＋1）. 由(1)有f(x)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x(x ≥1)． 令x ＝k ＋2k ＋1，得12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1－k ＋1k ＋2≥ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)－ln(k ＋1)．∴ln(k ＋1)＋k ＋22（k ＋1）≥ln(k ＋2)＋k ＋12（k ＋2）. ∴1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋2)＋k ＋12（k ＋2）. 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据①，②，可知不等式对任何n ∈N *都成立．2．函数f(x)＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P(4，5)，Q n (x n ，f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x x ＋1<3；(2)求数列{x n }的通项公式．(1)证明：因为f(4)＝42－8－3＝5，故点P(4，5)在函数f(x)的图象上，故由所给出的两点P(4，5)，Q n (x n ，f(x n ))可知，直线PQ n 斜率一定存在. 故有直线PQ n 的直线方程为y －5＝f （x n ）－5x n －4·(x －4)．令y ＝0，可求得－5＝x 2n －2x n －8x n －4·(x －4)⇔－5x n ＋2＝x －4⇔x ＝4x n ＋3x n ＋2.所以x n ＋1＝4x n ＋3x n ＋2. 下面用数学归纳法证明2≤x n <3.①当n ＝1时，x 1＝2，满足2≤x 1<3.②假设n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时，2≤x k <3成立，则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝4x k ＋3x k ＋2＝4－5x k ＋2， 由2≤x k <3⇒4≤x k ＋2<5⇒1<5x k ＋2≤54⇒2<114≤4－5x k ＋2<3，即2≤x k ＋1<3也成立．综上可知，2≤x n <3对任意正整数恒成立．下面证明x n <x n ＋1：由x n ＋1－x n ＝4x n ＋3x n ＋2－x n ＝4x n ＋3－x 2n －2x n x n ＋2＝－（x n －1）2＋4x n ＋2， 由2≤x n <3⇒0<－(x n －1)2＋4≤3，故有x n ＋1－x n >0，即x n <x n ＋1.综合①②可知，2≤x n <x n ＋1<3恒成立．(2)解析：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n 2＋x n. 设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列． 因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1， 所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1(n ∈N *)． 高考测验1．观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…设第n 行的各数之和为S n ，则S n ＝(2n －1)2．解析：第一行，1＝12，第二行，2＋3＋4＝9＝32，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，归纳：第n 行的各数之和S n ＝(2n －1)2.2．已知函数f(x)＝ax 1＋x a (x>0，a 为常数)，数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝f(a n )，n ∈N *.(1)当a ＝1时，求数列{a n }的通项公式；(2)在(1)的条件下，证明对∀n ∈N *有：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝n （n ＋5）12（n ＋2）（n ＋3）. (1)解析：当a ＝1时，a n ＋1＝f(a n )＝a n 1＋a n ，两边取倒数，得1a n ＋1－1a n ＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝2为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ＋1，a n ＝1n ＋1，n ∈N *.(2)证明：方法一 由(1)知a n ＝1n ＋1，故对k ＝1，2，3，…， a k a k ＋1a k ＋2＝1（k ＋1）（k ＋2）（k ＋3）＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1（k ＋1）（k ＋2）－1（k ＋2）（k ＋3） 所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×4－14×5＋…＋ ⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1（n ＋1）（n ＋2）－1（n ＋2）（n ＋3） ＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×3－1（n ＋2）（n ＋3）＝n （n ＋5）12（n ＋2）（n ＋3）. 方法二 ①当n ＝1时，等式左边＝12×3×4＝124， 等式右边＝1×（1＋5）12×（1＋2）（1＋3）＝124，左边＝右边，等式成立； ②假设当n ＝k(k ≥1)时等式成立，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k a k ＋1a k ＋2＝k （k ＋5）12（k ＋2）（k ＋3）， 则当n ＝k ＋1时，a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k a k ＋1a k ＋2＋a k ＋1a k ＋2a k ＋3＝k （k ＋5）12（k ＋2）（k ＋3）＋1（k ＋2）（k ＋3）（k ＋4）＝k（k＋5）（k＋4）＋12 12（k＋2）（k＋3）（k＋4）＝k3＋9k2＋20k＋1212（k＋2）（k＋3）（k＋4）＝k2（k＋1）＋4（k＋1）（2k＋3）12（k＋2）（k＋3）（k＋4）＝（k＋1）（k＋2）（k＋6）12（k＋2）（k＋3）（k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋5]12[（k＋1）＋2][（k＋1）＋3].这就是说当n＝k＋1时，等式成立，综①②知对于∀n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋…＋a n a n＋1a n＋2＝n（n＋5）12（n＋2）（n＋3）.课时作业1．(2013·福建三明模拟)某个与正整数n有关的命题，如果当n ＝k(n∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，则(C)A．n＝4时该命题成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝6时该命题不成立解析：因为“当n ＝k(k ∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故可得n ＝5时该命题不成立，则一定有n ＝4时，该命题也不成立．故选C.2．若f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f(1)为(C ) A ．1 B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案 解析：注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f(1)＝1＋12＋13＋14＋15.故选C. 3．(2013·杭州质检)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边(C )A ．增加了一项12（k ＋1）B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对解析：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴增加了12k＋1＋12k＋2，减少了1k＋1，故选C.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(C)A．30 B．26C．36 D．6解析：∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明：n＝1，2时，由上得证，设n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k ＋9能被36整除，则n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2 (k≥2)．∴f(k＋1)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.故选C.5．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22(n∈N*)，则从n＝k到n＝k＋1时，左边应添加的关于k的表达式为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2．解析：n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.比较上述两个式子，n＝k＋1时，等式的左边是在假设n＝k时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.6．设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的自然数n都有：(S n－1)2＝a n S n，通过计算S1，S2，S3，猜想S n＝nn＋1．解析：由(S1－1)2＝S21，得：S1＝12；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得：S2＝23；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得：S3＝34.猜想：S n＝n n＋1.7．平面内有n(n≥2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，利用数学归纳法证明线段的条数为f(n)，则由n＝k 到n＝k ＋1增加的线段数是2k－1．解析：增加一条直线，该直线被原来的k条直线分出k－1段线段，而原来的k条线段中的每一条，都多出1条线段，因此增加了k －1＋k＝2k－1条．8．数列{a n}中，a n＞0，a n≠1，且a n＋1＝3a n2a n＋1(n∈N*)．(1)证明：a n≠a n＋1；(2)若a1＝34，计算a2，a3，a4的值，并求出数列的通项公式．(1)证明：若a n＝a n＋1，即3a n2a n＋1＝a n，得a n＝0或a n＝1与题设矛盾，∴a n≠a n＋1.(2)解析：a2＝910，a3＝2728，a4＝8182，猜想a n＝3n3n＋1(n∈N*)，用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即a k＝3k3k＋1，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝3a k2a k＋1＝3·3k3k＋12·3k3k＋1＋1＝3k＋12·3k＋3k＋1＝3k＋13k＋1＋1，∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知a n＝3n3n＋1对一切正整数都成立．9．设曲线y＝ax33＋12bx2＋cx在点A(x，y)处的切线斜率为k(x)，且k(－1)＝0.对一切实数x，不等式x≤k(x)≤12(x2＋1)恒成立(a≠0)．(1)求k(1)的值；(2)求函数k(x)的表达式；(3)求证：1k（1）＋1k（2）＋…＋1k（n）＞2nn＋2.(1)解析：由x≤k(x)≤12(x2＋1)得1≤k(1)≤1，所以k(1)＝1.(2)解析：k(x)＝y′＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)， 由k(1)＝1，k(－1)＝0得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0⇒a ＋c ＝12，b ＝12. 又x ≤k(x)≤12(x 2＋1)对x ∈R 恒成立，则由x ≤k(x)恒成立，得ax 2－12x ＋c ≥0(a ≠0)恒成立，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝14－4ac ≤0，a ＋c ＝12⇒a ＝c ＝14. 同理，由k(x)≤12(x 2＋1)恒成立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a x 2－12x ＋12－c ≥0恒成立，也可得a ＝c ＝14.综上所述，a ＝c ＝14，b ＝12，所以k(x)＝14x 2＋12x ＋14.(3)证明：证法一 k(n)＝n 2＋2n ＋14＝（n ＋1）24⇒1k （n ）＝4（n ＋1）2，要证原不等式成立，即证122＋132＋…＋1（n ＋1）2>n2n ＋4， 因为1（n ＋1）2>1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以122＋132＋…＋1（n ＋1）2>12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋4， 所以1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （n ）>2nn ＋2.证法二 由k(n)＝n 2＋2n ＋14＝（n ＋1）24⇒1k （n ）＝4（n ＋1）2， ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝23，左边>右边，所以n ＝1时，不等式成立；②假设当n ＝m 时，不等式成立，即1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （m ）>2mm ＋2.当n ＝m ＋1时，左边＝1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （m ）＋1k （m ＋1）>2m m ＋2＋4（m ＋2）2＝2m 2＋4m ＋4（m ＋2）2， 由于2m 2＋4m ＋4（m ＋2）2－2（m ＋1）m ＋3＝4（m ＋2）2（m ＋3）>0， 所以1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （m ）＋1k （m ＋1）>2（m ＋1）（m ＋1）＋2，即当n ＝m ＋1时，不等式也成立．综合①②可知，1k（1）＋1k（2）＋…＋1k（n）>2nn＋2.。
第七节 数学归纳法
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋„＋2n＋2＝2n＋3－1”，
答案：(1)×
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(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
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证明：(1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1，
1 右边＝21＋2－1＝1，左边＝右边，等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋„＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时，
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第二节
第七节 数学归纳法 命题及其关系、充分条件与必要条件
结束
2．已知数列 an ，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a 2 n＋1 ＋an＋1－1
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第二节
高中数学讲义：数学归纳法
数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。
证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ³，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。
在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k £的时依然成立。
第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k £，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。
可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N £³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++£思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ³+，n k =时，不等式为321k k ³+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +³+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+£-()()()1313131n n n n +\-£+-1133331n n n n n n n ++Û×-£×+--321n n Û³+，下面用数学归纳法证明：（1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =³Î时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=׳+=+>++所以1n k =+时，不等式成立n N *\"Î，均有131n n S n S n++£小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++Î（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a æö=+ç÷èø，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+æö>Îç÷èø解：（1）2632n n n S a a =++①()21116322,n n n S a a n n N *---=++³Î②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-Þ+=-0n a >Q 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a \是公差为3的等差数列()131n a a n \=+-，在2632n n n S a a =++中令1n =可得：211116321S a a a =++Þ=（舍）或12a =31n a n \=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +æö×××>ç÷-èøL ，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。
07数学归纳法(学生)
07 数学归纳法【复习要求】1、知道数学归纳法的基本原理；掌握数学归纳法的一般步骤，并会用于证明与正整数有关的简单命题和整除性问题；2、领会“归纳---猜想---论证”的思想方法，通过“归纳---猜想---论证”的思维过程，具有一定的演绎推理能力和归纳、猜想、论证的能力。
【知识要点】1、数学归纳法是论证与正整数有关的数学命题的方法。
它的具体步骤是：（1）验证当 时命题为真；（2）假设当 时命题为真，推证当 时命题也成立。
根据（1）（2）可得，对于一切0n n ≥的整数n ，命题为真。
2、“归纳---猜想”是从若干已知事实中，探索和寻找出有关规律，从而猜测出一个未知的结论。
猜测的结论不一定正确，需加以 。
【基础训练】1．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（n ＋3）＝2)4)(3(++n n （n ∈N *），当n ＝1时，左边的式子应为 ．2．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S ＝2n －n a ，则｛n a ｝的前四项依次为 _______ 、______、 、 ，猜想n a ＝ ．3．用数学归纳法证明某个命题时，左式为1－21＋31－41＋…＋11-n －n1（n 为正偶数）从“n ＝2k 到n ＝2k ＋2”，左边需增加的代数式是 ． 4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋（2n ＋1）＝)12)(1(++n n 时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是 ．5．观察下列式子:1+221＜23,1+221+231＜35,1+221+231+241＜47,…,则可以猜想其结论为 6．观察：1=1，14(12)-=-+，149123-+=++，14916(1234)-+-=-+++ ，，找出一般规律，表示出第n 个式子为_________________________________。
【典型例题】例1、判断下列推证是否正确，并指出原因:用数学归纳法证明：126422++=++++n n n 。
高中数学解题基本方法之数学归纳法
五、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n ≥n 0且n ∈N ）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n·1·2…(2n －1) （n ∈N ），从“k 到k ＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k ＋1 B. 2(2k ＋1) C. 211k k ++ D. 231k k ++ 2. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2k -1B. 2k －1C. 2kD. 2k＋1 3. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立。
第六章 第七节 数学归纳法(理)
(a≠1)， ( )
解析：因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以验证n＝1时，
等式左端计算所得的项是1＋a＋a2. 答案：C
3.利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝ 2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N+”时，从“n＝k”变到 “n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是 A.2k＋1 C. B.2(2k＋1) D. ( )
(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N+) 时命题成立，推证当n＝ k＋1 时
命题也成立，从而推出对所有的 n≥n0，n∈N+ 命题成立.
[思考探究] (1)数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？ 提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是
递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归
纳递推．两者缺一不可． (2)归纳推理与数学归纳法有什么区别与联系？ 提示：归纳推理是合情推理的一种方式，得到的结论不一 定正确，不可以作为数学证明的方法，数学归纳法是科学 的方法，可以用来证明与正整数n有关的问题，但在某些 与正整数有关的问题中，往往先用归纳推理得到结论后， 再用数学归纳法来证明．
(2)假设当n＝k时等式成立，即1· k＋2· (k－1)＋3· (k－2)＋
…＋(k－1)· 2＋k· 1＝ 则当n＝k＋1时， k(k＋1)(k＋2)，
f(k＋1)＝1· (k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k
＋1)－2]· 3＋[(k＋1)－1]· 2＋(k＋1)· 1
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 条时，第一步检验n等于 A.1 C.3 B.2 D.0
n(n－3) ( )
解析：因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3. 答案：C
2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ 在验证n＝1时，等式左端计算所得的项是 A.1 C.1＋a＋a2 B.1＋a D.1＋a＋a2＋a3
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立． (3)由(2)得数列前 n 项和 Sn＝2n1－1.
考点3 用数学归纳法证明不等式 【例 3】 已知 n∈N*，证明：(1＋1)1＋12…1＋21n≤61－21n.
考点3 用数学归纳法证明不等式
【例 3】 已知 n∈N*，证明：(1＋1)1＋12…1＋21n≤61－21n. 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝(1＋1)1＋12＝3，右边＝3，不等式 成立． (2)假设当 n＝k 时不等式成立，即 (1＋1)1＋12…1＋21k≤61－21k， 那么当 n＝k＋1 时，
得
an1
3an
1(n
2) ， an1
1 2
3
an
1 2
，
3分
又
a2
1 2
4
1 2
3
a1
1 2
也满足上式，
数列
an
1 2
是首项为
3 2
，公比为
3
的等比数列.
an
1 2
3 3n1 2
3n 2
， an
1 (3n 2
1)(n N )
.
6分
（2）证明 由 b1 b2 b3 18 ，可得 b2 6 ，
1
2 3n1
，所以
1 3n 1
1 2 3n1
。
于是 1 a1
1
a2
1 ...
an
1
1
1 3 ... 3n1
1
1 3n1
1 1
1 3
31 2 (1 3n )
3。 2
3
所以 1 1 ... 1 3
a1 a2
an 2
放缩法
数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 1， an1 2Sn n 1(n 1) .
1 1 1 . 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a2b2 a3b3
anbn 2 3 5 5 7
2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 . 2 3 2n 1 2 3 6
考点探究
(1＋1)1＋12…1＋21k1＋2k1＋1≤61－21k·1＋2k1＋1 ＝61＋2k1＋1－21k－221k＋1＝61－2k1＋1－221k＋1 ＜61－2k1＋1. 当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知，对任意 n∈N*，都有(1＋1)1＋12…1＋21k≤61－21k. 点评：用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 时成立得到 n＝k＋1 时成立，主要 方法有放缩法、基本不等式法，作差比较法等．
1，n＝1， an＝－（2n－3）2（2n－1），n≥2.
考点探究
(2)①当 n＝1，2，3，4 时，由(*)知猜想成立， ②假设 n＝k(k≥2)时，ak＝－（2k－3）2（2k－1）成立， 故 Sk2＝－（2k－3）2（2k－1）·Sk－12， ∴(2k－3)(2k－1)S2k＋2Sk－1＝0， ∴Sk＝2k1－1，Sk＝－2k1－3(舍)． 由 Sk2＋1＝ak＋1·Sk＋1－21，得(Sk＋ak＋1)2＝ak＋1·ak＋1＋Sk－12⇒（2k－1 1）2＋ak2＋1 ＋22ka－k＋11＝ak2＋1＋2akk－＋11－12ak＋1⇒ak＋1＝[2（k＋1）－3－][22（k＋1）－1]，即 n＝k＋1 命题也成立．
考点 用数学归纳法求数列的通项
(2014·广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足 Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且 S3＝15. (1)求 a1，a2，a3 的值； (2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20， 又 S3＝15，∴a3＝7. ∴S2＝4a3－20＝8， 又 S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 综上知 a1＝3，a2＝5，a3＝7.
证明当n=k+1时命题也成立； 在完成了这两个步骤后，我们就可以断定这个命题对于
不小于n0的所有正整数n都成立。 必须由n=k时命题成
立来推出n=k+1时命 题也成立
注意：第二步中 “当n=k+1时命题也成立”必须由 “n=k时命题成立”这个假设推导得到
考点探究
考点 用数学归纳法证明恒等式
变式探究 2．用数学归纳法证明：对任意的 n∈N*， 1×1 3＋3×1 5＋…＋（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
放缩法证明不等式
（2014 课标 2 第 17 题）( 12 分)
已知数列an 满足 a1 =1， an1 3an 1.
（Ⅰ）证明
an
1 2
是等比数列，并求an 的
通项公式；
（Ⅱ）证明： 1 1 …+ 1 3 .
a1 a2
an 2
（Ⅱ）由（I）知 1 2 an 3n 1
因为当 n
1时， 3n
设 bn 的公差为 d 且 d 0 ，
依题意可得 9 d ，10，16 d 成等比数例， （9 d)(16 d) 100 ，解得 d 4 或 d 11（舍去），
bn 4n 2(n N ) .
8分
当 n
2 时，
1 an bn
1 (2n 1)(3n
1)
1 (2n 1)(2n 1)
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设等差数列bn 各项均为正数，满足 b1 b2 b3 18 ，
且 a1 b1 2 ， a2 b2 ， a3 b3 3 成等比数列，
证明： 1 1 1 1 .
a2b2 a3b3
anbn 6
解（1）
由
anan 12Sn21Sn
n n(n
1, 2),
考点 用数学归纳法求数列的通项 课时作业 6．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有： (Sn－1)2＝anSn，通过计算 S1，S2，S3，猜想 Sn＝_________
解析：由(S1－1)2＝S21，得：S1＝12； 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得：S2＝32； 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得：S3＝43. 猜想：Sn＝n＋n 1.
考点 用数学归纳法求数列的通项
【例 6】 在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，an，Sn，Sn－12成 等比数列．
(1)求 a2，a3，a4，并推出 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{an}所有项的和．
考点探究
解析：∵an，Sn，Sn－21成等比数列， ∴Sn2＝an·Sn－12(n≥2)，(*) (1)由 a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋a2，代入(*)式得：a2＝－23. 由 a1＝1，a2＝－23，S3＝13＋a3 代入(*)式得：a3＝－125. 同理可得：a4＝－325，由此可推出：
第六章 不等式、推理与证明
第七节 数学归纳法
考纲要求： （1） 了解数学归纳法的原理 归纳—猜想—证明 （2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
用数学归纳法来证明某些与自然数有n关0一的般数取使学命命题题
成立的最小正整数
的基本步骤：
（1）验证当n取第一个值n0时命题成立；
（2）假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,