技术柯布道格拉斯生产函数经济学解析

' 1
' 2
x
'' 2
'' B( x1'' , x2 )
y f ( x1 , x2 )
x1
x
' 1
xwk.baidu.com
'' 1
柯布道格拉斯的生产函数的凸性 对
a b f ( x1, x 2 ) Ax1 x2
进行微分
df
f f a 1 b a b 1 dx1 dx2 ( Aax x ) dx ( Abx x2 )dx2 1 2 1 1 x1 x2
柯布-道格拉斯生产函数的技术替代率
a b f ( x1, x 2 ) Ax1 x2
f ( x1 , x2 ) a 1 b MP Aax x2 , 1 ( x1 , x2 ) 1 x1 f ( x1 , x2 ) a b 1 MP2 ( x1 , x2 ) Abx 1 x2 x2
六、案例分析：我国建筑业三层次规模报酬分析
1、建筑业的工厂层次规模报酬 经济学意义上的工厂是指主要承担一定生产功 的，由若干生产装置系统和工人所组成的独立生产单位 。工厂规模报酬形成的具体原因是由于大批量生产体制 的建立及其发展而导致的长期平均生产费用的不断下降 。首先，大规模生产体制的建立和发展，使得大量先进 、高效的工艺、技术和大型生产设备得到日益广泛的应 用。其次，大规模生产方式的建立和发展，推动了生产 的标准化、专业化和简单化，不仅直接有利于节约劳动 、降低成本及提高产品质量和产量，而且也为开发和使 用高效、专用机械设备创造了基本条件。大规模生产方 式的建立和发展，还直接有利于原材料的充分利用和节 约，降低了可变成本。
①
f (tx1 , kx2 ,, kxn ) tf ( x1 , x2 ,, xn ), (t 1)
y = f(x)
规模报酬不变
产出
2y’
y’
x’
2x’
投入
②
产出
f (tx1 , kx2 ,, kxn ) tf ( x1, x2 ,, xn ), (t 1)
2f(x’) f(2x’) f(x’)
柯布-道格拉斯生产函数
x2
a2 x1a1 x2 y"
a2 x1a1 x2 y a2 y x1a1 x2
x1
二、技术的特征：单调性和凸性
技术的单调性.
X表示一个可以生产Y单位产出的投入向量，X’是与X中 的每种投入至少一样多的投入向量，那么X’也可以生产至少 Y单位的产出。因为如果厂商能够不费成本地处置任何投入， 那么多余的投入就不会产生任何损失。这又被称为所谓自由 处置假设。 例如一定的技术条件下，一单位的A要素和一单位的B要 素可以的到一单位的产出，现在两单位的A要素和一单位的B 要素至少可以得到一单位的产出，因为可以把一单位的A要素 不费任何成本的处置，只剩下一单位的A和一单位的B,确保可 以得到一单位的产出。
第18章 技术
目录
一、技术和技术约束 二、技术的特征：单调性和凸性 三。边际产品 四、技术替代率 五、规模报酬 六、案例分析
一、技术和技术约束
技术：将各种要素投入转化为产出的手段或 方法 物质技术条件或者自然条件对生产的限制叫 做技术约束。
所有的投入和产出的组合叫做生产集，生产 集可以用来描述技术约束
对应于制造业的工厂概念， 建筑业的工厂层次应该是 工程项目。项目是建筑业进行生产的第一线，主要体现的 是建筑业生产技术水平。从生产方式来看，我国建筑业目 前还远未形成产业化的生产模式，生产方式落后，主要以 手工现场湿作业为主；从生产手段来看，中小型建设项目 受经济实力的限制，对先进、高效的施工工艺技术和大型 施工设备的应用不多；从生产的自动化程度来看，由于受 建筑产品单件性的限制，建筑业现场生产方式很难实现标 准化、专业化和简单化。因此，建筑业的项目层次规模报 酬水平很低， 更多体现在那些机械设备和新技术应用较多 的大体量复杂工程中。
a 1 b 2
f (tx1, tx2 ) A(tx1 ) (tx2 ) At x x
a b
a b a b 1 2
①a+b>1， 称为递增报酬型，表明按技术用扩大生产规模来增加产出 是有利的。 ②a+b<1，称为递减报酬型，表明按技术用扩大生产规模来增加产出是 得不偿失的。 ③a+b=1，称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大 而提高，只有提高技术水平，才会提高经济。
而且
a dx2 dx1 x1 x2 2 dx1 d x2 dx1 dx2 dx2 a x2 b dx1 2 x b x dx12 x1 dx x 2 1 1 1 a 1 dx2 dx2 x1 x2 0 a, b, x1 , x2 0, 0 2 b x1 dx1 dx 1
上式表明：C-D生产函数等产量线斜率的变化率为正， 故等产量线凸向原点。
三、边际产品
假设生产函数为： y
f ( x1 ,, xn )
边际产品是一种比率，它是在其他的 投入量固定不变的情况下，增加1单位 y 要素1的投入量而获得的额外产量。即：MPi xi 例如：y
y 1 2 / 3 2 / 3 x1 x2 则要素1的边际产品：MP 1 x1 3
技术的凸性
假设有两种技术，技术A：a1单位的要素1和a2单位的 要素2生产一单位的产出，技术B: b1单位的要素1和b2单位的 要素2生产一单位的产出。 现在我们要得到一百单位的产出，投入要素可以(100 a1,100 a2) 或者是（100 b1,100 b2 ）.我们还可以用技术A生 产t单位产出，用B技术生产100-t单位产出，投入要素就是t a1 +(100-t) b1单位要素1和t a2 +(100-t) b2单位要素2. 凸性：如果x 和x’ 都可以生产y 单位产出，则任何加权 平均tx + (1- t)x’至少可以生产y单位的产量。
如果能够独立操作生产，则生产计划的加权平 均值也将是可行的，因而等产量线呈凸性
x2
100a2 100b2 (ta1 (100 t )b1 , ta2 (100 t )b2 )
等产量线
100a1
100b1
x1
x2
x
' 2
A( x , x )
' '' x1' x1'' x2 x2 C( , ) 2 2
f ( x1 , x2 ) x x
1/ 3 2 / 3 1 2
边际产品递减
一种要素的边际产品会随着该要素使用数量的增加而递减， 我们把这种现象称作边际产品递减规律。 条件：所有其他投入都保持不变， 假设 x1投入量增加， x2 ,...xn保持不变
y '''
y '' y'
y f ( x1 , x2 , x3 ,....xn )
规模报酬递减
y = f(x)
x’
2x’
投入
③
产出
f (tx1 , kx2 ,, kxn ) tf ( x1 , x2 ,, xn ), (t 1)
规模报酬递增
y = f(x)
f(2x’)
2f(x’) f(x’)
x’ 2x’
投入
对于柯布-道格拉斯生产函数
f ( x1, x 2 ) Ax x ，当t>1时有
f ( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 ) MP , MP 1 ( x1 , x2 ) 2 ( x1 , x2 ) x1 x2
f ( x1 , x2 ) MP 1 ( x1 , x2 )x1 MP 2 ( x1 , x2 )x2 0
△x2 MP 1 ( x1 , x2 ) TRS △x1 MP2 ( x1 , x2 ) MP 1 ( x1 , x2 ) △x2 △x1 MP2 ( x1 , x2 )
由于 df 0 ，故
Aax x dx1 Abx x dx2
b dx2 Aax1a 1 x2 a x2 0 a b 1 dx1 Abx1 x2 b x1
a 1 b 1 2
a b1 1 2
(a, b, x1 , x2 0)
上式表示：C-D生产函数等产量线的斜率，即劳 动对资本的边际技术替代率为负。
MP Aax x2 ax2 1 ( x1 , x2 ) 1 TRS a b 1 MP bx1 Abx 2 ( x1 , x2 ) 1 x2
a 1 b
五、规模报酬
边际产品描述了当一种投入量发生变化时，总产量水 平的变化情况。 规模报酬则描述了当所有的投入量成比例变化时， 总产量水平的变化情况。（比如：所有的投入量加倍或 减半）
谢谢！
制作人：孙美琳、陈文浩、刘祎、
罗观长、刘文华、朱文福
2013. 10. 12
2、建筑业企业层次规模报酬 经济学意义上的企业与工厂的区别，在于企业 除了生产功能外，还具有经营功能，并且在法律上 具有独立的经营实体地位。所谓企业的规模经济主 要是指由企业经营规模扩大而给企业带来的经济上 的有利性。对于企业层次的规模经济来说，具有明 显的联合生产经营效应，形成的主要原因是生产流 通环节效率的提高、管理费用和市场交易费用的节 约。企业规模经济效益是建立在工厂规模经济基础 之上的，但是与工厂规模经济相比，企业规模经济 显然更多地由组织创新促成，也更多地体现于组织 效率和经营效率等非生产技术领域。
'' x1' x1
''' x1
x1
四、技术替代率
我们放弃要素1的量∆1，为保持产量不变，需要增加 要素2的量∆2，∆2/∆1恰好是等产量线的斜率，我们称它 为技术替代率（TRS）。
x2
△ x2 TRS △x1
' x x'2 2
A
x' 1
''1 x x 1
B
y x1
技术替代率递减
当增加要素1的投入量并相应调整要素2的投入量以保持产量不变 时，技术替代率会变小。我们把这个与技术密切相关的假定称为技术 替代率递减。
企业层次规模经济针对建筑企业来说，企业具有以 相对较低的价格大批量采购原材料的能力， 业务量的 增大使企业增加抵抗不利的工程承包的风险，企业有机 会获得高素质的管理和技术人才，有条件以更多的资金 用于技术进步，有能力应用大型机械设备，等等。但我 国绝大多数建筑企业的管理模式为垂直管理模式，管理 链条过长，意见与信息的沟通困难。另外，我国绝大多 数大型建筑企业集团都为松散型管理结构，大的建筑集 团公司内业务分布同质，公司总部的经营组织协调能力 差。因此，由一体化经营带来的成本减少， 对绝大多 数的建筑企业效益增加并不明显， 造成建筑企业大而 不强，效益水平并不比小企业高多少。
３、建筑产业层次规模报酬分析 产业规模经济主要是指由于产业规模扩大，导致产 业内分工深化，从而形成经济上的有利点。产业的规模经 济通常是与产业内专业化水平和分工状况相联系的。产业 规模经济的形成原因是产业内分工和专业化生产的发展， 由此而提高全行业的效益。工厂规模经济和企业规模经济 是产业规模经济充分发展的基础，而产业规模经济又是企 业规模经济和生产规模经济充分发展的重要保障。 我国建筑业产业内分工协作的产业组织结构框架还没 有形成， 具体表现为大而全、中而全、小而全，专业化 公司少并且专业化水平不高，造成综合性承包企业、专业 化公司以及劳务队伍的比例构成不合理， 产业组织架构 层次界限不明显。产业内分工和专业化发展不足，限制了 建筑业规模经济的发挥，也就是说，建筑产业层次规模报 酬水平也是很低的。
描述生产集边界的函数叫做生产函数，表示的是 在一定的投入下可以得到的最大产出
。
Y=产出
y = f(x)=生产函数
生产集
①单投入，单产出
X=投入
技术的例子（生产函数的各种形式） 里昂惕夫生产函数： 令a>0,b>0,那么，f(x1,x2)=min(ax1,bx2) 为里昂惕夫技 术。如下图
柯布-道格拉斯生产函数： f(x1,x2)= A X 1a X 2b , 被称为柯布—道格拉斯生产函数.其 中参数A代表生产规模，表示每种投入都使用一单位时产 量将是多少，参数a和b衡量的是产量如何随着投入品的 变动而变动。