第十一章拉普拉斯变换

拉普拉斯变换定义：
函数 f(t), t∈[0，) ，其拉普拉斯变换为
F(s) f (t)estdt 0
t ━实变量(时域),s=+j ━复变量(复频域)
f(t) ━原函数, F(s) ━ 象函数
拉普拉斯反变换的定义： f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j j
拉氏变换存在条件: f (t) Mect M, c为有限常数
一般工程上涉及的 f(t) 满足上述条件
用 [ ]表示对中括号中的时域函数作拉氏变换
用 [ ]表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换
例如： f(t) = cost, 则： [f (t)]=
[cost ]=
coste
st
dt
0
典型函数的拉氏变换
(1)指数函数
L[eat ]
eatest dt
0wk.baidu.com
1 e(sa)t
N ( p1) D( p1)
••••••••
Ki
N ( pi ) D( pi )
例11 4 : F (s)
4s 5 s2 5s 6
4s 5 (s 2)( s 3)
K1 s2
K2 s3
p1 2, p2 3
K1
(s
p1 ) F (s)
s p1
4s 5 s3
s2
3,
K2
4s 5 s2
f (t) f1(t) f2 (t) fn (t)
F(S)
N (s) D(s)
a0 s m b0 s n
a1sm1 am b1sn1 bn
一. D(s)为真分式 (m<n) 1. D(s)均为单根
F(S)
N (s) D(s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
例：已知：uC (0 ) 100V, t = 0时,开关闭合 , 求 iL(t)，uL(t)=?
30Ω 0.1H iL
解: (1) 求独立初始条件
-
uc 1000μF
uC (0 ) 100V , iL(0 ) 5A
t
t
t0
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
§11-3 拉普拉斯反变换
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 f (t) 1 j F (s)est ds
2j j
(2)查拉普拉斯变换表
F (s) F1(s) F2 (s) Fn (s)
(3)对F(s)进行数学处理 象函数的一般形式：
F (s) K1 K2 Kn
s p1 s p2
s pn
f (t) K1e p1t K2e p2t Kne pnt
洛比达法则
lim lim 或 : K1 (s s1)F (s) s p1
s p1
(s p1)N (s) D(s)
s p1
(s p1)N(s) N (s) D(s)
一、元件VAR
1.电阻 方程
时域
电路模型
2.电感 方程 电路模型
时域
复频域
L
复频域
L
3.电容 方程 电路模型
时域
L
复频域
R ━ 运算阻抗
━━运算方程 sL ━━ 运算阻抗 LiL(0-) ━━附加电压源
1/sC ━━ 运算阻抗 uC(0-)/s ━━附加电压源
作业:13-1 (4),13-2 (2)
s 3
7
或 : K1
N ( p1) D( p1)
4s 5 2s 5
s 2
3,
K2
N ( p2 ) D( p2 )
4s 5 2s 5
s 3
7
f (t) 3e2t (t) 7e3t (t)
2. D(s)有一个二重根,其余为单根 3. D(s)有一个l 重根,其余为单根
二. D(s)为假分式
例11 -
2
L[sint]
L[ 1 2j
(e
jt
e
jt
) (t)]
1 2j
[ s
1
j
s
1
j
]
s2
2
二 . 导数性质
若：L[ f (t)] F(s)
则：L[df (t)] dt
sF
(s)
f
(0
)
例11 3：L[cost] L[ 1
d (sint)]
dt
s
s2 2
0
s
s2 2
推论 :
L[
d
二、KCL、KVL 1. KCL 时 域
方程 2. KVL
方程
复频域
L
L
频域
三、运算阻抗与导纳 1. 元件阻抗
运算阻抗
交流阻抗
2. 等效阻抗 可用等效变换方法求解 I(s)
U(s)
Zeq
Zeq
U (s) I (s)
§11－5 运算法分析暂态电路的基本步骤
基本步骤:
1. 求独立初始条件
各元件的运算电路, 注意：附加电源不可遗漏 2. 画运算电路
电源以象函数表示 ,电流、电压以象函数表示 3. 应用运算形式的电路定律、定理、分析方法建立电路变量的方程
KCL
叠加、戴维南
结点法、
KVL
、互易定理等
回路法等
4. 求解方程, 并用部分分式展开法进行拉氏反变换求时域电流、电压
例:图示电路 , 求电流 iC =?(t≥0) i =?
iL
IL
u
C
UC
解: 由结点法得:
nf dt
(t
n
)
]
sn F (S ) sn1 f
(0 )
f
n1(0 )
三. 积分性质
若：L[ f (t)] F(s), 则 : L[ t f ( )d ] 1 F (s)
0
s
四. 平移性质 设：L[ f (t)] F(s)
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
t t0
§11－4 元件VAR及电路定律的复频域运算形式 例11–5图示电路, R=1Ω,C=1F, uC(0-)=0,US=3V,求t≥0时, uC =?
解： 由 KVL 得 ：
时域方程 对方程作拉氏变换：
现要求根据电路，直接导出电压象函数满足的方程 因此，必须讨论电路定律及元件VAR象函数形式！
复频域(运算)形式
§11-1 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换法是一种数学变换，可将微分方程变换为代数方程 以便于求解。故它可用来求解高阶复杂动态电路的暂态过程。
所以用拉普拉斯变换法求解高阶复杂动态电路是有效而重要的 方法之一。
例2:相量法 正弦量 i1 i2 i
相量
•• •
I1 I2 I
正弦运算简化 为复数运算
sa
0
1 sa
(2)单位阶跃函数
L[ (t)] 1
s
(3)冲激函数
L[ (t)]
0 (t )estdt
0
(t
)e
s
0
dt
0
=1
§11-2 拉普拉斯变换的基本性质
一. 线性
若: L[ f1(t)] F1(s) , L[ f2(t)] F2(s), 则: L[af1(t) bf2 (t)] aF1(s) bF2 (s)