历年校内竞赛题之初等模型 -
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5 936 求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长 下去，假定细菌无死亡， 60天后细菌的个数大概是多少？ 10 2190 由于细菌的繁殖时连续变化的， 在很短的时间内数量变化得很小， 繁殖速度可近似看做不变。
解:建立数学模型 将时间间隔t分成n等分，在第一段时间 为
t ，在第一段时间末细菌的数量为 kA0
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。 工作效率最高，即生产率最大， 问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？ 此题中，工人在t时刻的生产率 Q关于时间t的变化率： 2 解：工人的生产率为为产量 R t ，则问题转化为求 Q' t 3t 18 (t) 12 Q’ (t) Qt ’ 的最大值
1.5 经济问题中的初等模型
例1 某品牌收音机每台售价90元，成本为60元，厂家为鼓励 销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多 每台利润是实际售价p与成本 订购一台，售价就降低1分（例如某商行订购300台，订购量 60元之差，所以 比100台多200台，于是每台就降价0.01×200=2元，商行可 按每台88元的价格购进300台）。但最低价格为 L=(p-60)x 75元/台。 （1）建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。 （2）建立利润L与订购量x的数学模型。 （3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利润多少？ 据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型： 当x≤100时，每台售价90元；当订 购量超过1600x 台时，每台售价 75元； 100 90 当订购量在 到 1600 0.01 100 p 90 x 100 100 x 台之间时，每 1600 台售价为90-(x-100) ×0.01 75 x 1600
而f 在 0 ,0 上连续，且
S1 , S2
f 0 S1 0 S2 0 0 只证明了直线的存在性 f 0 S1 0 S2 0 0 你能找到它么？
由零点定理得证。
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 正方形 对称性
C C´
A´
O D
D´
A
两个距离 正方形ABCD 绕O点旋转
x
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：
y A0e
kt
海报设计问题
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
s 2x 4 y 4 2 2x
2
4 128 这个问题可用求一元函数最值的方法解决 x 8
• 3， 出租车收费问题
• • • • • • • • • • 4， 蚂蚁逃跑问题 1.2 极限问题中的初等模型 1.3 最值问题中的初等模型 1.4 积分问题中的初等模型 细菌繁殖问题 海报设计问题 工人上班效率问题 最大利润问题 商品的贮存费问题 车辆平均行驶速度问题
1.1 生活中的问题
例子1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地
计算起来很简单。
1.2极限问题中的初等模型 1.3最值问题中的初等模型 1.4积分问题中的初等模型
细菌繁殖问题
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。 1.建立细菌繁殖的数学模型。
2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的 天数 细菌个数 近似数据。
历年校内竞赛题之
初等模型
2013年11月3日
李健荣 628568 数信学院 12统计学1班
初等模型
生活中的问题
极限、最值、积分问题的初等模型 经济问题中的初等模型 线性代数模型 建模举例 重点:各种简单的初等模型 难点:简单初等模型的建立和求解
• 1.1 生活中的问题 • 1， 椅子能在不平的地面上放稳吗？ • 2， 分蛋糕问题
最小
令此式对x的导数为0，解得： 其中 x=16,此时y=8,可使空白面积 思考：若海报改为左右两栏，横 最小。 向粘贴，印刷面积为180平方分米， s' ' 0 要求四周留下空白宽2分米，留1分米 宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总 空白面积最小?
x
y
1
工人上班效率问题
对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中 等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出
S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)
一般地，连续函数在区间上 此题是求函数 s(t)在区间 的平均值，等于函数在此区 【1，6】内的平均值 间上的定积分除以区间长度。 解 ：平均车辆行驶速度为
左右，试计算下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？
1 6 1 6 3 2 s t dt 2 t 21 t 60t 40 dt 78.5km / h 1 1 6 1 6 1
2
内，细菌繁殖的数量
t 段时间末细菌的数量为 A0 1 k
n
A0 1 k ，同样，第二
细菌的数量为 t
A0 1 k n
n n
；以此类推，最后一段时间末
t n
，经过时间t后，细菌的总数是
n
t lim A0 1 k A0 e kt n n
请回答下列问题 • 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？ • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？ 解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2 元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
5 1 0
0.01Qt t
n j 1 j
总贮存费=
0.01Qt dt 0.01 10000 2000t dt 250元
0
车辆平均行驶速度问题
某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平 均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1： 00至6：00之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
例子2 分蛋糕问题
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题， 问题归结为如下一道证明题： 你知道他用的是什么办法吗？ 已知平面上一条没有交叉点的
比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00， 工人的工作效率最高。
R' t Q' ' t 6t 18 0
最大利润问题
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌 子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计， 如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可 卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果 汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大 收益？
放稳 ~ 四只脚着地
模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形;
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B
例2
一房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180 元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一 套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费。 （1）建立总收入R与租金x之间的数学模型。 （2）当房租定为多少时可获得最大收入？ 解：（1）建立数学模型：
（2）求R的最大值。 50-((x-180) /10)乘以每套公寓的纯利 x 1 润 x-20 R' x 68 x 20 0 10 10 得x=350(元/月)
解：每天的总收益为二元函数： 想一想高等数学中二 元函数求最值的方法
令 f x ' 0，f y'
f x, y x 3070 5x 4 y y 4080 6x 7 y
0 ，则有驻点x=53,y=55
判断可知（53，55）为最大值点。
商品的贮存费问题
x 180 x R x 20 50 x 20 68 10 R等于租出的公寓数 10 总收入
封闭曲线，P是曲线所围图形上 任一点，求证：一定存在一条过 P的直线，将这图形的面积二等 分。
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
S1 l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 )
以点P为旋转中心，将l按逆时 针方向旋转，面积S1，S2就连 续依赖于角 的变化，记为
P P S2
?
令： f S1 S2
10 y1 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6
t y2 0.8 2.5
0 x4 4 x 15 15 x
数学模型为
10 y y1 y2 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6 0 x4 t 4 x 15 0.8 2.5 15 x
例子3 出租车收费问题
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。
例如，当行驶路程x（km）满足 12≤x<12.5时，按12.5km计价；当 12.5 ≤x<13时，按13km计价； 例如，等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月 2000公Βιβλιοθήκη Baidu运走，要用5个月 时间，如果贮存费是每月每公斤 0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？
解 ：令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则 Q(t)=10000-2000t 将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间 【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=△t，在这个小区间中， 每公斤贮存费用=0.01 △t 第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)△t 由定积分定义： 总的贮存费=
解:建立数学模型 将时间间隔t分成n等分，在第一段时间 为
t ，在第一段时间末细菌的数量为 kA0
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。 工作效率最高，即生产率最大， 问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？ 此题中，工人在t时刻的生产率 Q关于时间t的变化率： 2 解：工人的生产率为为产量 R t ，则问题转化为求 Q' t 3t 18 (t) 12 Q’ (t) Qt ’ 的最大值
1.5 经济问题中的初等模型
例1 某品牌收音机每台售价90元，成本为60元，厂家为鼓励 销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多 每台利润是实际售价p与成本 订购一台，售价就降低1分（例如某商行订购300台，订购量 60元之差，所以 比100台多200台，于是每台就降价0.01×200=2元，商行可 按每台88元的价格购进300台）。但最低价格为 L=(p-60)x 75元/台。 （1）建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。 （2）建立利润L与订购量x的数学模型。 （3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利润多少？ 据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型： 当x≤100时，每台售价90元；当订 购量超过1600x 台时，每台售价 75元； 100 90 当订购量在 到 1600 0.01 100 p 90 x 100 100 x 台之间时，每 1600 台售价为90-(x-100) ×0.01 75 x 1600
而f 在 0 ,0 上连续，且
S1 , S2
f 0 S1 0 S2 0 0 只证明了直线的存在性 f 0 S1 0 S2 0 0 你能找到它么？
由零点定理得证。
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 正方形 对称性
C C´
A´
O D
D´
A
两个距离 正方形ABCD 绕O点旋转
x
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：
y A0e
kt
海报设计问题
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
s 2x 4 y 4 2 2x
2
4 128 这个问题可用求一元函数最值的方法解决 x 8
• 3， 出租车收费问题
• • • • • • • • • • 4， 蚂蚁逃跑问题 1.2 极限问题中的初等模型 1.3 最值问题中的初等模型 1.4 积分问题中的初等模型 细菌繁殖问题 海报设计问题 工人上班效率问题 最大利润问题 商品的贮存费问题 车辆平均行驶速度问题
1.1 生活中的问题
例子1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地
计算起来很简单。
1.2极限问题中的初等模型 1.3最值问题中的初等模型 1.4积分问题中的初等模型
细菌繁殖问题
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。 1.建立细菌繁殖的数学模型。
2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的 天数 细菌个数 近似数据。
历年校内竞赛题之
初等模型
2013年11月3日
李健荣 628568 数信学院 12统计学1班
初等模型
生活中的问题
极限、最值、积分问题的初等模型 经济问题中的初等模型 线性代数模型 建模举例 重点:各种简单的初等模型 难点:简单初等模型的建立和求解
• 1.1 生活中的问题 • 1， 椅子能在不平的地面上放稳吗？ • 2， 分蛋糕问题
最小
令此式对x的导数为0，解得： 其中 x=16,此时y=8,可使空白面积 思考：若海报改为左右两栏，横 最小。 向粘贴，印刷面积为180平方分米， s' ' 0 要求四周留下空白宽2分米，留1分米 宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总 空白面积最小?
x
y
1
工人上班效率问题
对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中 等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出
S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)
一般地，连续函数在区间上 此题是求函数 s(t)在区间 的平均值，等于函数在此区 【1，6】内的平均值 间上的定积分除以区间长度。 解 ：平均车辆行驶速度为
左右，试计算下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？
1 6 1 6 3 2 s t dt 2 t 21 t 60t 40 dt 78.5km / h 1 1 6 1 6 1
2
内，细菌繁殖的数量
t 段时间末细菌的数量为 A0 1 k
n
A0 1 k ，同样，第二
细菌的数量为 t
A0 1 k n
n n
；以此类推，最后一段时间末
t n
，经过时间t后，细菌的总数是
n
t lim A0 1 k A0 e kt n n
请回答下列问题 • 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？ • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？ 解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2 元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
5 1 0
0.01Qt t
n j 1 j
总贮存费=
0.01Qt dt 0.01 10000 2000t dt 250元
0
车辆平均行驶速度问题
某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平 均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1： 00至6：00之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
例子2 分蛋糕问题
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题， 问题归结为如下一道证明题： 你知道他用的是什么办法吗？ 已知平面上一条没有交叉点的
比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00， 工人的工作效率最高。
R' t Q' ' t 6t 18 0
最大利润问题
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌 子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计， 如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可 卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果 汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大 收益？
放稳 ~ 四只脚着地
模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形;
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B
例2
一房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180 元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一 套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费。 （1）建立总收入R与租金x之间的数学模型。 （2）当房租定为多少时可获得最大收入？ 解：（1）建立数学模型：
（2）求R的最大值。 50-((x-180) /10)乘以每套公寓的纯利 x 1 润 x-20 R' x 68 x 20 0 10 10 得x=350(元/月)
解：每天的总收益为二元函数： 想一想高等数学中二 元函数求最值的方法
令 f x ' 0，f y'
f x, y x 3070 5x 4 y y 4080 6x 7 y
0 ，则有驻点x=53,y=55
判断可知（53，55）为最大值点。
商品的贮存费问题
x 180 x R x 20 50 x 20 68 10 R等于租出的公寓数 10 总收入
封闭曲线，P是曲线所围图形上 任一点，求证：一定存在一条过 P的直线，将这图形的面积二等 分。
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
S1 l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 )
以点P为旋转中心，将l按逆时 针方向旋转，面积S1，S2就连 续依赖于角 的变化，记为
P P S2
?
令： f S1 S2
10 y1 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6
t y2 0.8 2.5
0 x4 4 x 15 15 x
数学模型为
10 y y1 y2 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6 0 x4 t 4 x 15 0.8 2.5 15 x
例子3 出租车收费问题
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。
例如，当行驶路程x（km）满足 12≤x<12.5时，按12.5km计价；当 12.5 ≤x<13时，按13km计价； 例如，等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月 2000公Βιβλιοθήκη Baidu运走，要用5个月 时间，如果贮存费是每月每公斤 0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？
解 ：令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则 Q(t)=10000-2000t 将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间 【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=△t，在这个小区间中， 每公斤贮存费用=0.01 △t 第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)△t 由定积分定义： 总的贮存费=