【精品】高中必修五数学 等差数列 讲义 +练习题 第11讲 - 8.22 - 教师版

1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；

2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.

3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【学习策略】

数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n 项和公式的性质特点.

注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n

S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量.

【要点梳理】

要点一：等差数列的定义 文字语言形式

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.

要点诠释：

⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d （即公差）； 符号语言形式

对于数列{}n a ，若1n n a a d --=(n N +

∈，2n ≥，d 为常数)或1n n a a d +-=(n N +

∈，d 为常数)，

则此数列是等差数列，其中常数d 叫做等差数列的公差.

要点诠释：定义中要求“同一个常数d ”，必须与n 无关. 等差中项

学生/课程 年级 高一年级 学科 授课教师 江老师

日期

8.22

时段

核心内容

等差数列（第11讲）

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即2

a b

A +=. 要点诠释：

①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数. 任意两实数a ，b 的等差中项存在且唯一. ②三个数a ，A ，b 成等差数列的充要条件是2

a b

A +=. 要点二：等差数列的通项公式 等差数列的通项公式

首相为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为：

推导过程： （1）归纳法：

根据等差数列定义1n n a a d --=可得：1n n a a d -=+， ∴211(21)a a d a d =+=+-，

32111()2(31)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-， 43111(2)3(41)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-，

……

1(1)n a a n d

=+-

当n=1时，上式也成立

∴归纳得出等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-（n N +

∈）.

（2）叠加法：

根据等差数列定义1n n a a d --=，有：

21a a d -=， 32a a d -=， 43a a d -=，

…

()*1(1)n a a n d n =+-∈N

1n n a a d --=

把这1n -个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得1(1)n a a n d -=-， ∴1(1)n a a n d =+-. (3)迭代法：

12212

()()(1)n n n n a a d a d d a d d d a n d ---=+=++=

=+++

+=+-

∴1(1)n a a n d =+-. 要点诠释：

①通项公式由首项1a 和公差d 完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了.

②通项公式中共涉及1a 、n 、d 、n a 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.

等差数列通项公式的推广

已知等差数列{}n a 中，第m 项为m a ，公差为d ，则：

证明：∵1(1)n a a n d =+-，1(1)m a a m d =+-

∴11[(1)][(1)]()n m a a a n d a m d n m d -=+--+-=- ∴()n m a a n m d =+-

由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式1(1)n a a n d =+-可以看成是1m =时的特殊情况.

要点三：等差数列的性质 等差数列{}n a 中，公差为d ，则

①若,,,m n p q N +

∈，且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，

特别地，当2m n p +=时2m n p a a a +=.

()*()n m a a n m d m n =+-∈N ，

②下标成公差为m 的等差数列的项k a ，k m a +，2k m a +，…组成的新数列仍为等差数列，公差为md .

③若数列{}n b 也为等差数列，则{}n n a b ±，{}n ka b ±，（k ，b 为非零常数）也是等差数列. ④123456789,,,a a a a a a a a a ++++++……仍是等差数列. ⑤数列{}+n a b λ（λ，b 为非零常数）也是等差数列. 要点四：等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式

证明：倒序相加法

1231n n n S a a a a a -=+++

++ ① 1221n n n n S a a a a a --=+++

++ ②

①+②：1213212()()()()n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++

∵121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+==+

∴12()n n S n a a =+ 由此得：1()

2n n n a a S +=

证明：将1(1)n a a n d =+-代入1()2n n n a a S +=

可得：1(1)2

n n n d

S na -=+ 要点诠释：

①倒序相加是数列求和的重要方法之一.

②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.