高中数学必修五：等差数列的前n项和(解析版)

高中数学必修五：等差数列的前n 项和（解析版）
1．(2014·广东七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7 答案：B
解析：由S 2＝4，S 4＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋2d ＝8，4a 1＋6d ＝20. ∴d ＝3.
2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12
＝( ) A.310
B.13
C.18
D.19
答案：A
解析：设{a n }的公差为d ，则
S 3S 6＝3a 1＋3×22d 6a 1＋6×52d ＝a 1＋d 2a 1＋5d ＝13， ∴a 1＝2d .
∴S 6S 12＝6a 1＋6×52d 12a 1＋12×112d ＝2a 1＋5d 4a 1＋22d ＝9d 30d ＝310. 故应选A.
3．设{a n }(a ∈N ＋)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11<S 12，S 12＝S 13>S 14，则下列结论错误的是( )
A ．d <0
B ．a 13＝0
C ．S 15>S 11
D ．S 12和S 13均为S n 的最大值
答案：C
解析：由已知条件得，S n ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n (n ∈N ＋，d <0)的图像是开口向下的抛物线上的分散点，其对称轴是x ＝6.5.
故应选C.
4．(2014·漳州模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )
A ．n －1
B ．n
C ．2n －1
D ．2n
答案：C
解析：由已知可得S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，又S n ＋S n －1＞0，故S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是等差数列，其公差为1，首项S 1＝1，故S n ＝n ，即S n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时也适合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，故应选C.
5．(2014·济南三模)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010
＝2，则S 2 012的值等于( )
A ．－2 011
B ．－2 012
C ．－2 010
D ．－2 013 答案：B
解析：∵S 1212－S 1010
＝2， ∴12(a 1＋a 12)212－10(a 1＋a 10)210
＝2， 故a 12－a 10＝4，
∴2d ＝4，d ＝2，
∴S 2 012＝2 012×(－2 012)＋
2 012×(2 012－1)×22 ＝－2 012.
6．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是________．
答案：5或6
解析：∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，
∴a 1＋2d ＝－a 1－8d ，
∴a 1＋5d ＝0，∴a 6＝0，
∴a n >0，(1≤n ≤5)
∴S n 取得最大值时的自然数n 是5或6.
7．等差数列{a n }的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项a 1为________；数列{|a n |}的前9项和等于________．
答案：9 41
解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1＋a 2＋…＋a 6＝24，
∴a 4＋a 5＋a 6＝3，∴9d ＝－18，d ＝－2，∴a 1＝9，
∴S 9＝2(1＋3＋5＋7)＋9＝41.
8．已知两个等差数列{a n }：6,10,14，…；{b n }：2,7,12，…各100项，由它们的公共项所构成的数列的和为________．
答案：4 240
解析：∵公共项构成的新数列{c n }是以c 1＝22为首项，d ＝20为公差的等差数列， ∴c n ＝20n ＋2.
∵a n ＝4n ＋2，b n ＝5n －3，
∴a 100＝402，b 100＝497.
∴20n ＋2≤402，
∴n ≤20.
∴公共项有20项，它们的和为S 20＝20×22＋20×192
×20＝4 240. 9．(1)在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，求S 13；
(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项．
解：(1)∵a 2＋a 12＝a 1＋a 13＝2a 7，
又a 2＋a 7＋a 12＝24，
∴a 7＝8.
∴S 13＝13(a 1＋a 13)2
＝13×8＝104. (2)∵n 为奇数，
∴S 奇S 偶＝n ＋1n －1＝76
，∴n ＝13. ∵13·a 7＝S 13＝377，∴a 7＝29.
故所求的中间项为29.
10．设数列{a n }为等差数列，求证：b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n
(n ∈N ＋)是等差数列． 证明：证法一：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则
a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)d 2
，
∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2·n ＋a 1－12
d 为关于n 的一次函数关系式，∴{b n }为等差数列． 证法二：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则
a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2
d ， ∴b n ＝a 1＋n －12
d ， 故b n ＋1－b n ＝a 1＋n 2d －a 1－n －12d ＝12
d (常数)， ∴{b n }为等差数列．
11．(1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 99＝200，求S 101；
(2)在等差数列{a n }中，已知a 15＋a 12＋a 9＋a 6＝20，求S 20.
解：(1)S 101＝101(a 1＋a 101)2＝101(a 3＋a 99)2
＝10 100. (2)∵a 6＋a 15＝a 9＋a 12＝a 1＋a 20，
a 1＋a 20＝12
[(a 6＋a 15)＋(a 9＋a 12)]＝10， ∴S 20＝(a 1＋a 20)·202
＝100. 12．数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n ＝2n 2＋n (n ≤k ，n ∈N ＋)，现从k 项中抽取某一项(不抽首末两项)，余下的k －1项的平均数为79.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的项数，并求抽取的是第几项．
解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.
∵当n ＝1时也适合，
∴a n ＝4n －1(n ∈N ＋)．
(2)设抽取的为第t 项，则1<t <k .
由题意知S k ＝79×(k －1)＋a t ，
即2k 2＋k ＝79k －79＋4t －1.
∴2t ＝k 2－39k ＋40，∴2<k 2－39k ＋40<2k .
则38<k <40，
∵k ∈N ＋，∴k ＝39，t ＝20.
故抽取的为第20项，共有39项．
[思考与探究]
13．已知数列{a n }，a n ∈N ＋，S n 是其前n 项和，S n ＝18
(a n ＋2)2.
(1)求证：{a n }是等差数列；
(2)设b n ＝12
a n －30，求数列{
b n }的前n 项和的最小值． 解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝18
(a 1＋2)2， 解得a 1＝2.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－18
(a n －1＋2)2，即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2， 整理得，(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0，
即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0.
∵a n ∈N ＋，
∴a n ＋a n －1＞0，
∴a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4(n ≥2)． 故{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列．
(2)设{b n }的前n 项和为T n ，
∵b n ＝12
a n －30， 且由(1)知a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，
∴b n ＝12
(4n －2)－30＝2n －31， 故数列{b n }是单调递增的等差数列．
令2n －31＝0，得n ＝1512
， ∵n ∈N ＋，
∴当n ≤15时，b n ＜0；当n ≥16时，b n ＞0， 即b 1＜b 2＜…＜b 15＜0＜b 16＜b 17＜…，
当n ＝15时，T n 取得最小值，最小值为T 15＝－29－12
×15＝－225.。