2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第54讲 圆的方程

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3． 经过三点(2， －1)、 (5,0)、 (6,1)的圆的一般方程为
.
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解析：设所求方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
22＋－12＋2D－E＋F＝0 2 2 5 ＋ 0 ＋5D＋0＋F＝0 则 2 2 6 ＋ 1 ＋6D＋E＋F＝0
，
解得D＝－4，E＝－8，F＝－5， 故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－8y－5＝0.
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第54讲
圆的方程
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1 ．圆 (x ＋ 2)2 ＋ y2 ＝ 5 关于原点 (0,0) 对称的圆的方程为 ( A ) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
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2． 圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆心和半径分别是( C ) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
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一
求圆的方程
【例1】已知圆C过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线y
＝x上，则圆C的标准方程为____________________．
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解析：(方法一)因为圆心 C 在直线 y＝x 上， 所以可设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2， 将 A，B 两点的坐标代入，
，
所以圆 C 的一般方程为 x2＋y2－4x－4x＋3＝0， 化为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
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【拓展演练1】根据下列条件求圆的方程： (1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切 于点P(3，－2)； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
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4．方程 ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0 表示圆，则 a 的取 值范围是( C ) A．a∈R B．a≠1 且 a∈R C．a≠0 且 a∈R D．a∈(1,4]
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解析：方程表示圆，
a≠0 则 4a－1 2 4 2 ] ＋ －4×0>0 [－ a a
1－a2＋0－a2＝r2 a＝2 得 ， 2 2 2 ，解得 2 3－a ＋0－a ＝r r ＝5
故所求圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
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(方法二)设所求圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ex＋F ＝0，则由条件得
12＋02＋D＋0＋F＝0 32＋02＋3D＋0＋F＝0 D E － ＝－ 2 2 D＝－4 ，解得E＝－4 F＝3
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(2)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识 可知， 它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小 值，又圆心到原点的距离为 2. 故 x2＋y2 的最大值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2 ＝7－4 3.
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【拓展演练 2】 如果实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求： y (1) 的最大值与最小值； x (2)x＋y 的最大值与最小值．
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(2)设 x＋y＝b，则 y＝－x＋b. 由图②知，当直线与圆 C 相切时， 截距 b 取最值． 而圆心 C 到直线 y＝－x＋b |6－b| 的距离为 d＝ . 2 |6－b| 因为当 ＝ 6，即 b＝6± 2 3时，直线 y＝－x＋b 与圆 2 C 相切， 所以 x＋y 的最大值与最小值分别为 6＋2 3与 6－2 3.
，
解得 a≠0，a∈R，故选 C.
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5．若圆 x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0 关于直线 x－y ＋1＝0 对称，则实数 a 的值为 .
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a2－1 解析：由已知，圆心(－ ，－ a ) 在直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 2 a2－1 上，则－ 2 ＋a＋1＝0，解得a＝－1或a＝3. 而当a＝－1时，原方程不能表示圆； 当a＝3时，原方程表示圆．故a＝3为所求．
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解析：(1)设 P(x，y)， 则 P 点的轨迹就是已知 圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝6. y 而 ＝k，则直线 OP 的方程为 y＝kx. x 由图①可知，当直线 OP 与圆相切时，斜率取得最值． |3k－3| 因为点 C 到直线 y＝kx 的距离 d＝ 2 ， k ＋1 |3k－3| 所以当 2 ＝ 6，即 k＝3± 2 2时，直线 OP 与圆相切． k ＋1 y 所以 的最大值与最小值分别是 3＋2 2与 3－2 2. x
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三
与圆有关的轨迹问题
【例3】点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的 )
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解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心， 3为半径的圆． (1)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距． 当 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值． |2－0＋b| 此时 ＝ 3，即 b＝－2± 6. 2 故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
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解析：(1)过切点 P(3，－2)且与直线 x＋y－1＝0 垂直的 直线方程为 y＋2＝x－3，与 y＝－4x 联立可求得圆心为(1， －4)．所以半径 r＝2 2. 所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
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(2)设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋144＋D＋12E＋F＝0 则49＋100＋7D＋10E＋F＝0 81＋4－9D＋2E＋F＝0 D＝－2 解得E＝－4 F＝－95
，
.
所以所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－95＝0.
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二
与圆有关的最值问题
【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值．