函数的奇偶性及周期性

则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2. 答案：2
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
(2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x； (4)f(x)＝|x＋4－3|－x23；
()
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由奇函数的概念可知，y＝x3，y＝2sin x是奇函数．
答案：C
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末页来自百度文库
第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b
的值是
()
A．－13
1 B.3
1 C.2
D．－12
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
[类题通法]
判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体 如下：
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇” 是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶” 是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点 对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝ x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝13.
答案：B
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：
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(2)图像法：
第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
2．周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a； (2)若 f(x＋a)＝f1x，则 T＝2a； (3)若 f(x＋a)＝－f1x，则 T＝2a.(a>0)
求f(-1)是解本 题的关键！
得 f(－1)＝－3，所以 g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
[答案] －1
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
[典例] (2)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在 区间[－2,0]上递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实数 m 的取值范围．
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对 称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
[典例] (1)已知 y＝f(x)＋x2 是奇函数，且 f(1)＝1.若 g(x) ＝f(x)＋2，则 g(－1)＝________.
[解析] (1)∵y＝f(x)＋x2 是奇函数，且 x＝1 时，y＝2，
∴当 x＝－1 时，y＝－2， 即 f(－1)＋(－1)2＝－2，
关于原点 对称
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
2.周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函 数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数， 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期．
(2)∵函数f(x)＝
3－2x ＋
2x－3
的定义域为
3
2
，不
关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
(3)∵f(x)的定义域为R， ∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (4)∵由4|x－＋x32|≥－03，≠0， 得－2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f(x)＝|x＋4－3|－x23＝x＋4－3－x23＝ 4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
[练一练] 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－fx＋32，且 f(1)＝2，则 f(2 014)＝________. 解析：∵f(x)＝－fx＋32，
∴f(x＋3)＝fx＋32＋32＝－fx＋32＝f(x)． ∴f(x)是以3为周期的周期函数．
(5)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00，.
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
解：(1)∵由x12－－x12≥≥00，， 得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
第三节
函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意
偶函数 一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函
图像特点 关于 y轴 对称
奇函数
数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那 么函数f(x)是奇函数
3．分段函数奇偶性判定时，f(－x0)＝f(x0)利用函数在定义域某 一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误 的．
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第三节 函数的奇偶性及周期性 结束
[试一试]
1．(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝
x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是