中考数学相似综合练习题含详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．

（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的

Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，

把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，

∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4

（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，

∴A（﹣1，0），

当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；

当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），

从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，

∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ，

∴△BCD为等腰三角形，

∴构造的三角形是等腰三角形的概率=

（3）解：存在，

易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC•OB= ×3×4=6，

M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），

①当N点在AC上，如图1，

∴△AMN的面积为△ABC面积的，

∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，

当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，

∴tan∠MAC= =4；

当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，

∴tan∠MAC= =1；

②当N点在BC上，如图2，

BC= =2 ，

∵BC•AN= AC•BC，解得AN= ，

∵S△AMN= AN•MN=2，

∴MN= = ，

∴∠MAC= ；

③当N点在AB上，如图3，

作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN= ﹣t，

由②得AH= ，则BH= ，

∵∠NBG=∠HBA，

∴△BNM∽△BHA，

∴，即，

∴MN= ，

∵AN•MN=2，

即•（﹣t）• =2，

整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，

∴点N在AB上不符合条件，

综上所述，tan∠MAN的值为1或4或

【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。

（2）先求出抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标A，与x轴、y轴的交点D、C、B的坐标，可得出从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，再求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。（3）利用待定系数法求出直线BC的函数解析式及△ABC的面积、点M的坐标，再分情况

讨论：①当N点在AC上，如图1；②当N点在BC上，如图2；③当N点在AB上，如

图3。利用△AMN的面积=△ABC面积的，解直角三角形、相似三角形的判定和性质等相关的知识，就可求出tan∠MAN的值。

2．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；

（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；

（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．

【答案】（1）解：如图1，

∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，

∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB=2，AB⊥OC，

∴AC=BC=1，∠BOC=30°，

∴OC= ，

∴A（-1，），

把A（-1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a= ；

（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，

∵CF∥BG，

∴，

∵AC=4BC，

∴ =4，

∴AF=4FG，

∵A的横坐标为-4，

∴B的横坐标为1，

∴A（-4，16a），B（1，a），∵∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠BOE=90°，

∵∠AOD+∠DAO=90°，

∴∠BOE=∠DAO，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△ADO∽△OEB，

∴，

∴，

∴16a2=4，

a=± ，

∵a＞0，

∴a= ；

∴B（1，）；

（3）解：如图3，