第一部分 层级三 专题1 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级3 压轴专题1 圆锥曲线中的综合题

课时跟踪检测(十七) 圆锥曲线中的最值、范围问题

1．已知动圆E 经过点F (1,0)，且和直线l ：x ＝－1相切．

(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；

(2)已知点A (3,0)，若斜率为1的直线l 与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．

解：(1)由题意，可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，所以动点E 的轨迹是以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，所以曲线G 的方程是y 2＝4x .

(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，其中－3

联立方程组⎩⎨⎧

y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，

消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0， Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立．

设C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得

x 1＋x 2＝4－2m ，x 1x 2＝m 2，∴|BC |＝42(1－m )，

点A 到直线l 的距离为d ＝3＋m 2

， ∴S △ABC ＝12·42(1－m )·3＋m 2

＝21－m (3＋m )． 令1－m ＝t ∈(1,2)，则m ＝1－t 2，∴S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3，

令f (t )＝8t －2t 3，∴f ′(t )＝8－6t 2.

则y ＝f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23上单调递增，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫23，2上单调递减． y ＝f (t )在t ＝23时，即m ＝－13时取得最大值．

故△ABC 面积的最大值为3239.

2．(2019·合肥模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．

(1)若ED

→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 的面积的最大值． 解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y

－2＝0.

设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，

由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＝4，

解得x 2＝－x 1＝21＋4k 2

.① 由ED →＝6DF →，得x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， ∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2

. 由点D 在直线AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，

∴x 0＝21＋2k

. ∴21＋2k ＝1071＋4k

2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.

(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为

d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)

， d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)

， 又|AB |＝22＋12＝5，

∴四边形AEBF 的面积为

S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12×5×4(1＋2k )5(1＋4k 2)

＝2(1＋2k )1＋4k

2＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2 ＝21＋44k ＋1k ≤21＋4

24k ·1k ＝22，

当且仅当4k ＝1k (k ＞0)，即k ＝12时，等号成立．

故四边形AEBF 的面积的最大值为2 2.

3．(2019·石家庄模拟)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离

心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．

解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，

半焦距为c .

∵椭圆E 的离心率等于223，

∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.

∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2，

∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2

a .

∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 2→|2＝9b 4a 2＝1.

由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2

＝a 29，9b 4a 2＝1，解得⎩⎨⎧

a 2＝9，

b 2＝1，∴椭圆E 的方程为 y 29＋x 2＝1. (2)∵直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，

∴直线l 不可能与x 轴垂直，

∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧

y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9，

得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)＞0，

即m 2－k 2－9＜0.且x 1＋x 2＝－2km k 2＋9. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，

∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9

＋1＝0.