人教版数学高二A版选修4-5学案第四讲二用数学归纳法证明不等式

二 用数学归纳法证明不等式

1．通过教材掌握几个有关正整数n 的结论．

2．会用数学归纳法证明不等式．

1．本节的有关结论

(1)n 2＜2n (n ∈N ＋，______)．

(2)|sin nθ|≤________(n ∈N ＋)．

(3)贝努利不等式：

如果x 是实数，且x ＞－1，x ≠0，n 为大于1的自然数，那么有____________．

贝努利不等式更一般的形式：当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有____________________，

当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有______________．

(4)如果n (n 为正整数)个正数a 1，a 2，…a n 的乘积a 1a 2…a n ＝1，那么它们的和a 1＋a 2＋…＋a n ≥____.

【做一做1】 用数学归纳法证明C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＞1

2n n (n ≥n 0且n ∈N ＋)，则n 的最

小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．用数学归纳法证明不等式

使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由n ＝k 时命题成立推出n ＝k ＋1时命题成立这一步．为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题的其他条件及相关知识．

【做一做2】 用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1

＜n (n ∈N ＋，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )

A ．2k －1

B ．2k －1

C ．2k

D ．2k ＋1

答案：1．(1)n ≥5 (2)n |sin θ| (3)(1＋x )n ＞1＋nx (1＋x )α≥1＋αx (x ＞－1) (1＋x )α≤1＋αx (x ＞－1) (4)n

【做一做1】 B 当n ＝1时，左边＝C 11

＝1，右边＝10＝1,1＞1不成立； 当n ＝2时，左边＝C 12＋C 22＝2＋1＝3，右边＝1

2

2＝2，3＞2，成立． 当n ＝3时，左边＝C 13＋C 23＋C 33＝3＋3＋1＝7，

右边＝31＝3,7＞3，成立．

【做一做2】 C 当n ＝k 时，不等式1＋12＋13＋14＋…＋12k －1

＜k 成立； 当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1

，比较n ＝k 和n ＝k ＋1时的不等式左边，则左边增加了2k ＋1－1－(2k －1)＝2k ＋

1－2k ＝2k (项)．

1．观察、归纳、猜想、证明的方法

剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．

在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．教材例1中若只观察前3项：a 1＝1，b 1＝2a 1＜b 1；a 2＝4，b 2＝4a 2＝b 2；a 3＝9，b 3＝8a 3＞b 3，从而归纳出n 2＞2n (n ∈N ＋，n ≥3)是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．

2．从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”的方法与技巧

剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．

题型一 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系

【例1】 已知f (x )＝x n －x －n x n ＋x －n .对于n ∈N ＋，试比较f (2)与n 2－1n 2＋1

的大小并说明理由． 分析：先通过n 取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明． 反思：利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向．再用数学归纳法证明结论成立．

题型二 数学归纳法在解决有关数列问题中的应用

【例2】 已知数列{a n }满足：a 1＝32，且a n ＝3na n －12a n －1＋n －1

(n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求证：对一切正整数n ，不等式a 1a 2…a n ＜2n ！恒成立．

分析：(1)由题设条件知，可用构造新数列的方法求得a n ；(2)可以等价变形，视为证明新的不等式．

反思：本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明……”，“只需证明……”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的．

题型三 用数学归纳法证明不等式

【例3】 设P n ＝(1＋x )n ，Q n ＝1＋nx ＋n (n －1)2

x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．

分析：这类问题，一般都是将P n ，Q n 转化到具体的P n ，Q n 开始观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性．

反思：本题中，n 的取值会影响P n 与Q n 的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n ”，而忽视其他变量(参数)的作用．

题型四 易错辨析

【例4】 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．用数学归纳法证明f (2n )＞n 2

时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.

错解：12

k ＋1 错因分析：∵f (n )＝1＋12＋13＋ (1)

中共有n 项相加， ∴f (2k )中应有2k 项相加，f (2k ＋1)中有2k

＋1项相加，

∴f (2k ＋1)－f (2k )中应有(2k ＋1－2k )项．

答案：

【例1】 解：据题意f (x )＝x n －x －n x n ＋x －n ＝x 2n －1x 2n ＋1＝1－2x 2n ＋1

， ∴f (2)＝1－22n ＋1，又n 2－1n 2＋1＝1－2n 2＋1

， ∴要比较f (2)与n 2－1n 2＋1

的大小，只需比较2n 与n 2的大小即可， 当n ＝1时，21＝2＞12＝1，

当n ＝2时，22＝4＝22，

当n ＝3时，23＝8＜32＝9，

当n ＝4时，24＝16＝42，

当n ＝5时，25＝32＞52＝25，

当n ＝6时，26＝64＞62＝36.

故猜测当n ≥5(n ∈N ＋)时，

2n ＞n 2，

下面用数学归纳法加以证明．

(1)当n ＝5时，2n ＞n 2显然成立．

(2)假设n ＝k (k ≥5，且k ∈N ＋)时，不等式2n ＞n 2成立，

即2k ＞k 2(k ≥5)，则当n ＝k ＋1时，

2k ＋1＝2·2k ＞2·k 2＝k 2＋k 2＋2k ＋1－2k －1

＝(k ＋1)2＋(k －1)2－2＞(k ＋1)2((k －1)2＞2)．

由(1)(2)可知，对一切n ≥5，n ∈N ＋，2n ＞n 2成立．综上所述，当n ＝1或n ≥5时，f (2)