凸函数的性质及其应用论文

凸函数的性质及其应用论文

凸函数性质及其应用

摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.

关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式

Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several

important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.

Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions

凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.

1 凸函数的定义及其相互关系 定义

1 设在区间I 上有定义,在区间I 称为

是凸函数当且仅当:,有

上式中“”改成“<”则是

严格凸函数的定义.

≤()f x ()f x 1

2

,,(0,1)

x x

I λ∀∈∀∈1212[(1)]()(1)()

f x x f x f x λλλλ+-≤+-

定义2 设在区间I 上有定义, 在区间I

称为是凸函数当且仅当:有 定义3 设在区间I 上有定义, 在区间I

称为是凸函数当且仅当：

,有

定义4 在区间I 上有定义,当且仅当曲线

的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.

若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线

为严格凸的.

引理1 定义2与定义3等价.

引理2 若连续,则定义1，2，3等价.

2 凸函数的性质

定理1 设在区间I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意, 保持成立）：（i ）在I 上为凸函数

（1）

（ii

）

（2）

≤()f x ()

f x 1

2,,

x x

I ∀∈1

2

12()()

.2

2x x

f x f x f ++⎛⎫≤

⎪⎝

⎭

()f x ()

f x 1,2,...,n x x x I

∀∈1212......()()......()

.n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤

⎪⎝⎭

()f x ()

y f x =()f x ()

f x ()f x ()f x 1

2

3

,,,x x x I ∈1

2

3

x x

x <<()

f x 2121()()f x f x x x --3131

()()

f x f x x x --

(iii) （3）(iv)

（4）

推论1若在区间I 上为凸函数，则I 上任意三点，有.

推论2 若在区间I 上的凸函数，则过的弦的斜率 是x 的增函数（若为严格凸的,则严格增）.

推论3 若是区间I 上的凸函数，则I 上任

意四点s

且

这里表示的全体内点组成之集

合.（若为严格凸的，则与为严格递增的）.

证明 因为内点,故使得,从而（利用

推论2）,.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存≤

3

1

3

2

3

1

3

2

()()()()

f x f x f x f x x x x x

--≤--2121

()()

f x f x x x --3232

()()f x f x x x --()f x 1

2

3

x x

x <<2

1

2

1()()

f x f x x x

-

≤-3131()()f x f x x x -≤

-3232

()()

f x f x x x --()f x 0

,x I ∀∈0

x

()k x =00

()()

f x f x x x

--f ()k x ()f x ()()f t f s t s --()()f v f u v u

-≤

-()f x (),()f x f x +

-

''()()f x f x -

+

''≤0()

x I ∀∈0

I I f '

f +

'f -

x 1

2

,,

x x

I ∃∈1

2

x x x <<1

2

1

2

()()()()

f x f x f x f x x x x x --≤

--1

x 11

()()

f x f x x x

--