函数凹凸性的性质判定及应用

函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。

本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。

在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。

一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。

本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。

凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。

本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。

在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。

2. 一元函数凹凸性的判定2.1 凸函数的多种定义及等价证明 下面先先给出凸函数的13种常见定义。

假设I ∈R ，f:I →R.定义2.1.11： f 在I 内连续ｆ（１２ｘ＋ｘ２）≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２,则称f 为凸函数。

定义2.1.21：若32211232132()()()() f x f x f x f x x x x x x x x --∀∈≤--，，Ｉ，则称f 为凸函数定义2.1.31：123123x x x x x x ⎛⎫⎪∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭１１２２３３ｘ１ｆ（ｘ），，Ｉ，＜＜，ｘ１ｆ（ｘ）ｘ１ｆ（ｘ）的行列式≤0，则称f 为凸函数定义2.1.41：12x x ∀∈∀∈≤１２１２，Ｉ，ｔ（0，1），ｆ（t ｘ＋（1-t ）ｘ）t ｆ（x ）＋（1-t ）ｆ（ｘ），则称f 为凸函数定义2.1.51:111n n n===∀≤∑∑∑ｋｋｋｋｋｋｋｋｋｔ，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）ｔｆ（ｘ），则称f(x)为凸函数定义2.1.61：12x x ∀∈∃≤∀≤＇＇＇＇－＋－＋＇＇＋１－２（1.）ｘＩ　，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）(2），，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）则称f(x)为凸函数定义2.1.71：若ｆ在Ｉ内存在单增函数ψ,∃０ｘ∈I, ∀x ∈I,有ｆ（ｘ）－ｆ（０ｘ）＝d ψ⎰０ｘｘ（ｔ）ｔ，则称f 为凸函数。

定义2.1.81：设f 在I 上连续，12x x ∀∈，Ｉ，且12x x ＜有1212+x ()()122x f x f x d +≤≤⎰２１ｘｘ２１ｆ（）ｆ（ｔ）ｔｘ－ｘ，则称f 为凸函数。

定义2.1.91：若１ｘ，．．．，x ｎ∈Ｉ，ｆ（１２ｎｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ）≤１２ｎｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）ｎ（ｎ∈Ｎ），则称f 为凸函数。

定义2.1.101：若ｆ在Ｉ内可导，∀ｘ，ｙ∈Ｉ，有ｆ（ｘ）≥＇ｆ（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f 为凸函数。

定义2.1.111：若ｆ在Ｉ可导，且＇ｆ（ｘ）单调递增，则称f 为凸函数。

定义2.1.121：ｆ在Ｉ内二次可导，＇＇ｆ（ｘ）≥０，则称f 为凸函数。

定义2.1.131：ｆ在区间Ｉ上凸函数的充要条件是：函数ψλλλ１２（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）为[0,1]上的凸函数， 下面给出几种定义间的相互证明。

定理2.1.11 若ｆ在区间Ｉ上可导，则定义７⇒定义１０证明：因为ｆ在Ｉ内存在单增函数ψ，∃０ｘ∈Ｉ，∀∈ｘＩ，有： ｆ（ｘ）－ｆ（０ｘ）＝dt ψ⎰０ｘｘ（ｔ） （１） 故对于∀ｙ∈Ｉ，不妨设ｙ＜ｘ，有：ｆ（ｙ）－ｆ（０ｘ）＝dt ψ⎰０ｙｘ（ｔ） （２） 将式（１）两边关于ｘ求导，得＇ｆ（ｘ）＝ψ（ｘ）． （１）－（２），得：ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝d ψ⎰０ｘｘ（ｔ）ｔ－d ψ⎰０ｙｘ（ｔ）ｔ＝d ψ⎰０ｘｘ（ｔ）ｔ＋d ψ⎰０ｘｙ（ｔ）ｔ＝d ψ⎰ｘｙ（ｔ）ｔ＝（ｘ－ｙ）ψξ（）；ｙ＜ξ＜ｘ （３） 因为ψ（ｔ）单调递增，且ｙ＜ξ，所以ψ（ｙ）≤ψξ（），式（２）可化为： ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）ψξ（）≥（ｘ－ｙ）ψ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）＇ｆ（ｙ） 即ｆ（ｘ）≥＇ｆ（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ）定理2.1.21： 若ｆ在Ｉ上连续，则定义１３⇒定义８。

证明：因为ψλ（）＝λλ１２ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）为[]０，１上的凸函数，故： λλ１２ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）＝ψλ（）＝ψ（λλ⋅⋅１＋（１－）０）≤λψλψ（１）＋（１－）（０）＝λλ１２ｆ（ｘ）＋（１－）ｆ（ｘ）特别地，当λ＝12时，有ｆ（１２ｘ＋ｘ２）≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２先证不等式的左边．1x ∀２，ｘ∈I ，１２ｘ＜ｘ，由实数的性质知在Ｉ上可确定一个闭区间[]１２ｘ，ｘ，若ｔ∈［１２１ｘ＋ｘｘ，２］，则ｔ关于１２ｘ＋ｘ２的对称点是１２ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上连续，所以积分存在，所以：[]d ≥⎰⎰⎰１２１２２１１２ｘ＋ｘｘ＋ｘｘ１２２２１２ｘｘｘ１２２１ｘ＋ｘｆ（ｔ）ｔ＝ｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ＋ｘ＋ｔ）ｄｔ２ｆ（）ｄｔ＝２ｘ＋ｘ（ｘ－ｘ）ｆ（）２即１２ｘ＋ｘｆ（）２≤⎰２１ｘｘ２１１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ 下证不等式的右边． 作变换ｕ＝x ≤≤２２２１１２１２２１１２－t（0ｕ１），则t ＝x －u （x －x ）＝ux ＋（1－u ）x ，dt ＝（x －x ）du ，x －x 当t ＝x 时，u ＝1；t ＝x 时，ｕ＝0d ⎰２１ｘｘｆ（ｔ）ｔ＝[][]≤⎰⎰１１２１１２２１１２００１２２１（ｘ－ｘ）ｆｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）２即 ⎰２１ｘｘ２１１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２，故１２ｘ＋ｘｆ（）２≤⎰２１ｘｘ２１１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２ 定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可导，则定义８⇒定义１２。

证明 因∀1x ，2x ∈Ｉ１２ｘ＜ｘ，１２ｘ＋ｘｆ（）２≤⎰２１ｘｘ２１１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２ 令x ≤１２１２＋ｘｘ＝，则ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）２１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２，即ｆ（ｘ）－ｆ（１ｘ）≤ｆ（ｘ２）－ｆ（１ｘ）１２ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以x ≤１２１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｘ－ｘ；又因为ｆ在Ｉ上可导，则ｆ在Ｉ上连续，故由极限的性质可知lim lim x x →→≤１２１２ｘ１２ｘｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ），即ｘ－ｘｘ－ｘ≤＇＇＋１－２ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）．因为ｆ具有二阶导数，所以＇＇＇＇＋１１－２２ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），即∀1x ，2x ∈Ｉ，都有＇１ｆ（ｘ）≤＇２ｆ（ｘ），设ｘ为Ｉ上任意固定点，则0lim x x x∆→∆≥∆＇＇＇ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）０，所以ｆ（ｘ）０。

定理2.1.41 定义１１⇒定义2证明 因为ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，且＇ｆ（ｘ）单调递增，∀∈１２３ｘ，ｘ，ｘI, 且１２３ｘ＜ｘ＜ｘ。

可确定两个区间[]１２ｘ，ｘ，[]２３ｘ，ｘ⊂Ｉ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在（2x ，ｆ（2x ））的切线方程为ｙ－ｆ（２ｘ）＝＇２ｆ（ｘ）（ｘ－２ｘ）故横坐标为ｘ的曲线的纵坐标与切线纵坐标之差为：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（２ｘ）－＇２ｆ（ｘ）（ｘ－２ｘ）而ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，而[]２３ｘ，ｘ⊂Ｉ，故ｆ（ｘ）在[]２３ｘ，ｘ内连续，在（２３ｘ，ｘ）上可导，所以ｆ（ｘ）在[]２３ｘ，ｘ上满足拉格朗日中值定理，即ξ∃∈１（２３ｘ，ｘ），ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３２）－ｆ（ｘ）＝ξ＇１３２ｆ（）（ｘ－ｘ）。

由式（３），当ｘ＝ｘ３时，有：ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－＇２ｆ（ｘ）３２（ｘ－ｘ）＝ξ＇１ｆ（）３２（ｘ－ｘ）－＇２ｆ（ｘ）３２（ｘ－ｘ）＝（ξ＇１ｆ（）－＇２ｆ（ｘ））３２（ｘ－ｘ）≥０同理ｆ（ｘ）在[]１２ｘ，ｘ上满足拉格朗日中值定理，即ξ∃∈２（１２ｘ，ｘ），ｓ．ｔ． ｆ（ｘ２１）－ｆ（ｘ）＝ξ＇２２１ｆ（）（ｘ－ｘ）。