函数曲线的凹凸性.ppt

例如 y arctan x,

定义 设f ( x)在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) 2
f ( x2 ) ,那末称
f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）;
如果恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 ) ,那末称 f ( x)
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
一阶和二阶导数,若在 (a,b)内
(1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的;
(2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
证 任取x0 (a, b), 泰勒公式
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
三、曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法 方法1: 设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点;
f ( x)
0
0
f ( x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (2 3 ,1127)
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
思考：设 f ( x)在 x0处具有三阶导数, 且 f ''( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 那末 x0是否为 函数 f ( x)的拐点？
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
7 x2 4 .
f (3) 2 0,
4
f (7) 2 0,
4
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 是常量)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的 一条水平渐近线.
0
不妨f
( x0
)
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
0
f ( x)在x0 两侧异号，
x0 是拐点。
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
(1) (2)
0
f ( x1 ) f ( x1 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x1 x2 2x0 )
2 f ( x0 )
即 f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ).
2
2
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
§6.6 曲线的凹凸性与拐点及渐近线
曲线的凹凸性定义 凹凸性的判定 曲线的拐点及其求法 渐近线 小结 思考题 作业
一、曲线凹凸的定义 y
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
(
2!
)
(
x
x0
)2
x (a,b),
(在x0与x之间)
曲线y f ( x)在x0处的切线
若f (x) 0
f ( x) [ f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )]
f
(
2!
)
(
x
x0
)2
0 x (a,b)
即 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
4
4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例4 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
四、渐近线
当曲线 y f (x) 上的一动点P 沿着曲线 移向定无义穷: 点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
(2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
对 x1, x2 (a, b) ，令 x0
x1
2
x2
,则
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x1 x0 ) (1)
f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x2 x0 ) (2)