高考数学二轮复习 专题一 第4讲 函数图象的切线及交点个数问题课件 文

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(x+1)ln x,x∈(0,x0], 所以 m(x)=xe2x,x∈(x0,+∞). 当 x∈(0,x0]时,若 x∈(0,1],m(x)≤0;
若 x∈(1,x0],由 m′(x)=ln x+1x+1>0, 可知 0<m(x)≤m(x0); 故 m(x)≤m(x0). 当 x∈(x0,+∞)时,由 m′(x)=x(2e-x x),可得 x∈(x0,2)时, m′(x)>0,m(x)单调递增; x∈(2,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减; 可知 m(x)≤m(2)=e42,且 m(x0)<m(2). 综上可得,函数 m(x)的最大值为e42.
真题感悟 (2015·山东卷)设函数 f(x)=(x+a)ln x,g(x)=xe2x. 已知曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与直线 2x-y=0 平行. (1)求 a 的值; (2)是否存在自然数 k,使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一 的根?如果存在,求出 k;如果不存在,请说明理由; (3)设函数 m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示 p,q 中的较小值), 求 m(x)的最大值.
探究提高 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在 点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点, 点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为 切点. (2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、 切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间 的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率 之间的关系,进而和导数联系起来求解.
当 x∈[2,+∞)时,h′(x)>0, 所以当 x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增, 所以 k=1 时,方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根. (3)由(2)知方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0. 且 x∈(0,x0)时,f(x)<g(x), x∈(x0,+∞)时,f(x)>g(x),
热点一 函数图象的切线问题 [微题型1] 单一考查曲线的切线方程 【例 1-1】 (1)(2015·陕西卷)函数 y=xex 在其极值点处的切线方程
为________. (2)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1)) 处的切线过点(2,7),则 a=________.
考点整合
1.求曲线 y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0,y0),求 y=f(x)过点 P 的切线方程:求出切线 的斜率 f′(x0),由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为 k,求 y=f(x)的切线方程:设切点 P(x0, y0),通过方程 k=f′(x0)解得 x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点),求 y=f(x)的切线方程:设切点 P(x0, y0),利用导数求得切线斜率 f′(x0),再由斜率公式求得切线斜率, 列方程(组)解得 x0,再由点斜式或两点式写出方程.
2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下,由于当x→∞时,函 数值也趋向∞,因此只要按照极值与零的大小关系确定其 零点的个数即可.存在两个极值点x1,x2且x1<x2的函数f(x)= ax3+bx2+cx+d(a≠0)的零点分布情况如下:
a的符号 a>0
(f(x1)为极大值, f(x2)为极小值) a<0
解析 (1)设 y=f(x)=xex, 由 y′=ex+xex=ex(1+x)=0,得 x=-1.当 x<-1 时,y′<0;当 x >-1 时,y′>0,故 x=-1 为函数 f(x)的极值点,切线斜率为 0, 又 f(-1)=-e-1=-1e,故切点坐标为-1,-1e,切线方程为 y +1e=0(x+1),即 y=-1e. (2)f′(x)=3ax2+1,f′(1)=1+3a,f(1)=a+2. (1,f(1))处的切线方程为 y-(a+2)=(1+3a)(x-1). 将(2,7)代入切线方程,得 7-(a+2)=(1+3a),解得 a=1. 答案 (1)y=-1e (2)1
解 (1)由题意知,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2, 所以 f′(1)=2,又 f′(x)=ln x+ax+1,所以 a=1. (2)k=1 时,方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根. 设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-xe2x, 当 x∈(0,1]时,h(x)<0. 又 h(2)=3ln 2-e42=ln 8-e42>1-1=0, 所以存在 x0∈(1,2),使得 h(x0)=0. 因为 h′(x)=ln x+1x+1+x(xe-x 2), 所以当 x∈(1,2)时,h′(x)>1-1e>0,
[微题型2] 综合考查曲线的切线问题
【例 1-2】已知函数 f(x)=2x3-3x.
(1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值;
(2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值
范围.
(f(x1)为极小值, f(x2)为极大值)
零点个数 一个 两个
三个
一个 两个
三个
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充要条件
f(x1)<0 f(x1)=0或者f(x2)=0
f(x1)>0且f(x2)<0 f(x2)<0
f(x1)=0或者f(x2)=0 f(x1)<0且f(x2)>0
3.研究两条曲线的交点个数的基本方法 (1)数形结合法,通过画出两个函数图象,研究图形交点个数 得出答案. (2)函数与方程法,通过构造函数,研究函数零点的个数得出 两曲线交点的个数.
第4讲 函数图象的切线及交点个数问题
高考定位 在高考试题的导数压轴题中,把求切线和 研究函数的性质交汇起来是一个命题热点;两个函数 图象的交点问题可以转化为一个新的函数的零点问题, 函数图象与函数零点是函数中的两个重要问题,在高 考试题导数压轴题中涉及两个函数图象的交点问题是 高考命题的另一热点.
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