大学物理下 磁介质,电磁波习题册解答

图6-2
答案：B mq mq A） 在线圈的下缘放一小磁针， 使磁针与线圈平面垂直，磁针 不会转动； （B） 线圈中没有感应电流； C） 线圈中有感应电流； 图6-2 （D） 如果把线圈平面转过90度，使其平面与纸面平行， 并位于两极板的中央，如图所示，此时有感应电流。 解：在图6-2a中磁场方向与线圈平面的法线垂直，磁通量 为零，线圈中没有感应电流。（A）中，在振荡过程中， 极板上的电荷周期性的变化，极板间的电场又周期性的改 变。变化的电场要产生感应磁场，感应磁场的方向与线圈 平面平行，在该磁场的作用下，磁针将会转动；（D）中 把线圈平面转过90度（图6-2b），感应磁场的力线将穿过 它，然而它位于两极板的中央，穿过它的总磁通量仍然为 零，没有感应电流
2
+q
r
−q
r E
图 6-5
解：（1）两极板间的位移电流 I d = （2）以轴线为中心取一半径为r 的圆形回路，通过此回路的位移 电流
dΦD dE dE = Sε 0 = π R 2ε 0 dt dt dt
dE Id = π r ε0 dt
2
（2）以轴线为中心取一半径 为r的圆形回路，通过此回路 的位移电流
1 1 B2 ε0E2 = 2 2 µ0
S = 2.98 × 1013 wm −2
解：电磁波中电场的能量密度与磁场能量密度相等，有
1 1 B0 2 ε 0 E0 2 = 2 2 µ0
E0 =
1
µ 0ε 0
B0 = cB0 = 3 × 108 × 0.5 = 1.5 × 108 V/m
1 T 1 1 B0 S = ∫ EHdt = E0 H 0 = E0 = 2.98 × 1013 wm −2 T 0 2 2 µ0
I 2 Q 2π rH1 = πr 2 π R1
r ≤ R1
I
R1
I µ r1µ 0 I ∴ H1 = π r ∴ B1 = πr 2 2 2π R1 2π R1
I
R2
同理， 同理，
∴ H2 =
I 2π r
R1 < r < R2 R1 < r < R2
I
µ r 2 µ0 I ∴ B2 = 2π r
故位移电流的最大值为
I d max = CU 0ω = 1.74π × 10−5 = 5 ⋅ 5 × 10−5 A
或者
Q = CU
dQ dU Id = Ic = =C dt dt
故位移电流的最大值为
I d max = CU 0ω = 1.74π × 10−5 = 5 ⋅ 5 × 10−5 A
4．设C是电容器的电容，U是两极板的电势差，则电 容器的位移电流为 。 答案： dU
二、填空题 1．对各向同性的非铁磁质，无论抗磁质与顺磁质， r r B 总与 H 相同；B = µ ，式中 µ 是 量；对于
B 铁磁质， = µ ，式中 H
µ
H
是
量。（后两空填“常”或“变”）。
答案：方向；常；变。
2．图6-3是三种铁磁质的磁滞回线，根据图的序 号填空， 是软磁质； 是硬磁质； 矩磁 质； 宜做计算机的记忆元件； 宜做永磁 体； 宜做变压器等电感元件中的铁心。
Id = C dt
。解：因电容器极板上的电量 所以电容器的位移电流为
q = CU
dq d (CU ) dU Id = = =C dt dt dt
5．麦克斯韦方程组的积分形式：
r r D ⋅ dS = ∑ q ∫
s
① ② ③ ④ 试判断下列结论是包含于或 等效于哪一个麦克斯韦方程式， 将你确定的方程式的代号填在 相应结论后的空白处：（1）变 ； 化的磁场一定伴随有电场 （2）磁感应线无头无尾 ； （3）电荷总是伴随有电场 ； （4）电场的变化可以激发涡旋 磁场 。 答案：②；③；①；④。
∴ H3 = 0
R1
R2 ≤ r R2 ≤ r
I
R2
∴ B3 = 0
2．点电荷q在半径为R的圆周上以角速度 ω 匀速转 动，如图6-4所示，求圆心处O的位移电流密度矢量。
r v v qω (sin ωti − ω cos ωtj ) 答案： jd = 2 4π R
y
解：点电荷 q 在圆心 O 处产生的电场强度 矢量式为
平均能流密度
1 T 1 T x 1 1 ε0 2 S = ∫ EHdt = ∫ E0 H 0 cos 2 ω (t − )dt = E0 H 0 = E0 0 0 T T c 2 2 µ0
例题 有一圆形平板电容器，极板半径为R,极板电量按规律 q = q0 sin ω t 变化，求极板间任一点的磁场强度 解
习题六 一、选择题 1C 2B 3B 4D 5A 2．一个电容器在振荡电路中，在其两极间放入一矩 形线圈，线圈的面积与电容器极板面积相等，并且位 于两极板的中央与之平行，如图6-2a所示。则下列说法 正确的是 [ ] （A） 在线圈的下缘放一小磁针，使磁针与线圈平面 垂直，磁针不会转动； mq mq （B） 线圈中没有感应电流； （C） 线圈中有感应电流； （D） 如果把线圈平面转过90 度，使其平面与纸面平行，并 位于两极板的中央，如图6-2b 所示，此时有感应电流。
B
B
B
O
（a）
H
O
H
O
（c）
H
（b）
图6-3
答案：a；b；c；c；b；a。
3．两个圆形板组成的平行板电容器，电容为 1.0 × 10−12 法拉，加上频率为50周/秒、峰值为1.74×105伏特 的正弦交流电压，极板间位移电流的最大值为 。 ； 答案： I d max = 1.74π × 10−5 = 5 ⋅ 5 × 10−5 A 解：设电容器形板面积为S，板间距离为d，则
ε 0ε r H0 = E0 µ0 µr
Z v H O x
在真空中
ε0 H0 = E0 µ0
磁场强度的振幅为
H0 =
Y
ε 0ε r E0 µ0 µr
r s
x
在真空中 （2）设
ε0 H0 = E0 µ0
Z v H
O
x E = E0 cos ω t − c
x H = H 0 cos ω t − c
,
2S E0 = = 1.548 × 103V / m ε 0c
ε0 H0 = E0 = 4.1A / m µ0
1 di Ei = − µ0 nr 2 dt
×
×
×
Ei 线的方向为逆时针方向；
×
×
× O
× × ×
(2)
1 di 2 S = µ0 n ri 2 dt
×
r S 的方向指向轴心。
视螺线管为无限长，其内部磁场是均匀场：
H = ni
B = µ 0 ni
×
×
r × Ei
×r
× O
×
r
× ×
涡旋电场线是围绕轴线O的同心圆
r v ΦD = D ⋅ S
U = U 0 sin ω t
U D = ε0E = ε0 d
Id = d Φ D ε 0 S dU = dt d dt
根据位移电流的定义
C= Id = C
ε0S
d
所以
dU = ω CU 0 cos ω t dt
所以
Id = C
dU = ω CU 0 cos ω t dt
dE Id = π r ε 0 dt
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+q
r
−q
r E
图 6-5
由全电流定理 得
r r dΦD L H ⋅ dl = dt ∫
2
dE H ⋅ 2π r = π r ε 0 dt
r dE B = µ 0 H = µ 0ε 0 2 dt
4．一个长直螺线管，每单位长度有n匝,载有电流i， di 设i随时间增加， dt > 0 求：（1）在螺线管内距轴线为r处某点的涡旋电场； （2）该点的坡印廷矢量的大小和方向。 答案：（1）
r d r H= (q0 sin ωt ) = ω q0 cos ωt 2 2 S dt 2π R
(r < R)
r>R,
dD H 2π r = π R dt
2
R
r
q q0 sin ωt D =σ = = S S
R 2 d q0 sin ωt R2 H= ( )= ω q0 cos ωt 2 2r dt S 2rπ R q0ω H= cos ωt (r > R) 2π r
r r d Φm E ⋅ dl = − l ∫ dt
r r B ⋅ dS = 0 ∫
s
r r dΦ dΦ D H ⋅ dl = ∑ I + l ∫ dt
6．已知真空中的电磁波，其磁感应强度B的振幅 为 B0 = 0.5T ，则电场强度E的振幅E0为 。其 能流密度的平均值 S 为 . 答案： E0 = 1.5 × 108 V/m
R r
习题激光管功率为10mW，设发出的激光为圆柱形光束， 直径为2mm,求激光的最大电场强度E0和磁场强度H0
P 10 ×10−3 S= = = 3138W / m2 S π (10−3 ) 2
x S = EH = E0 H 0 cos ω t − v
2
1 1 I = S = E0 H 0 = ε 0 cE02 2 2
三、计算题 1如图半径为 1载流 无限长磁介质圆柱其磁导为 µr1外面 如图半径为R 如图半径为 载流I无限长磁介质圆柱其磁导为 的无限长同轴圆柱面， 有半径为 R2的无限长同轴圆柱面，该面也通有电流 I，圆 ， 柱面外为真空， 的分布。 柱面外为真空，且R1<r<R2， µr2 >µr1，求B和 H的分布。 µ 和 的分布 解：根据轴对称性，以轴上一点为圆心在垂直于轴的平面 根据轴对称性， 内取圆为安培回路： 内取圆为安培回路：
r r r ∂B r L E l ⋅ dl = − ∫S ∂t ⋅ dS ∫
×
S
r ×E i
所以
∂B di Ei ⋅ 2π r = − ⋅ S = − µ0 n ⋅ π r 2 ∂t dt
1 di Ei = − µ0 nr 2 dt
因
di >0 dt
故 Ei 线的方向为逆时针方向。
1 di Ei = − µ0 nr 2 dt
v r v E = − E cos ωti − E sin ωtj = − q 4πε 0 R
E= q 4πε 0 R 2
v E
R
⊕
ω
ωt o
x
图6-4
r v (cos ωti + sin ωtj ) 2
v r v ∂D v v v q qω = −ε 0 −ω sin ωti + ω cos ωtj ) = jd = (sin ωti − ω cos ωtj ) 2 ( 2 ∂t 4πε 0 R 4π R
故 Ei 线的方向为逆时针方向。 坡印廷矢量
r S
×
×
r × Ei
×r
× O
×
r r r S = Ei × H
r
× ×
×
S
r ×E i
的方向指向轴心，其大小为
1 di 1 di 2 S = Ei H = µ0 nr ⋅ ni = µ0 n ri 2 dt 2 dt
5．沿x方向传播的平面电磁波，E矢量在y方向振动，振 幅已知。求：（1）磁场强度的振动方向及振幅大小； （2）平均能流密度。 答案：（1） = ε 0 E （2） S = 1 ε 0 E0 2 H0 2 µ0 µ0 0 r 解：（1）磁场强度 H 的振动方向 Y r 沿Z轴，如图所示，设电场振幅 s E0 已知，则磁场强度的振幅为
O处的位移电流密度
3．如图所示，半径为R的两块金属圆板构成平行板电容 器，对电容器匀速充电，两极板间电场的变化率为 dE / dt 求：（1）电容器两极板间的位移电流 （2）距两极板轴线距离为r（ r ≤ R 处的磁感应强度B（忽略边缘效应）。 答案：（1） （2）
dE Id = π R ε 0 dt r dE B = µ 0ε 0 2 dt
r r r ∂D r dD L H ⋅ dl = ∫S ∂t ⋅ dS = dt ∫S dS ∫
R
r
r<R,
dD H 2π r = π r dt
2
q q0 sin ωt D =σ = = S S
r d r H= (q0 sin ωt ) = ω q0 cos ωt 2 2 S dt 2π R
(r < R)